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(1)

1

DYNAMIQUE - FORCES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Frottement proportionnel à la vitesse

1.a.

• La relation fondamentale de la dynamique de translation peut sʼécrire : m

!

a =

!

F =

!

"k v. On en déduit que tout le mouvement se fait suivant la direction et le sens de la vitesse initiale, et quʼalgébriquement : v^• = -λv dʼoù on tire, compte tenu des conditions initiales : v = v₀ e^-λt.

• La distance parcourue en une durée t est : x(t) =

!

v t

( )

^dt

0

"

t ⁼

!

v₀e^"#tdt

0

$

t ⁼

!

v₀

" ^{(1 - e}

-λt).

1.b.

• La distance totale que peut parcourir le point est : D =

!

v t

( )

^dt

0

"

#

⁼

!

v₀

" donc : λ =

!

v₀

D ^{= 0,02 s}

-1.

2.

• Dʼune façon analogue : ℓ_i =

!

v t

( )

^dt

0 t_i

"

⁼

!

v₀

"

(

1#e^#"tⁱ

)

^{et t}ⁱ⁼^!

ln 1!"!_i v₀

#

$% &

'(

" = !

ln 1!!_i D

"

#$ %

&

'

( ^.

• Lʼapplication numérique donne : t₁ = 34,6 s ; t₂ = 230 s.

3.

• Puisque la force n'est pas constante, il faut calculer le travail infinitésimal sur un petit déplacement élémentaire, puis intégrer sur le déplacement total.

• Dʼaprès : dW =

!

F•dOM =

!

"k v•v dt = -kv₀² e^-2λtdt on obtient : W_i =

!

"kv₀²e^"2#tdt

0 t_i

$

⁼

=

!

1

2mv₀²

(

e^"2#tⁱ"1

)

^.

◊ remarque : on retrouve le théorème de lʼénergie cinétique.

• Lʼapplication numérique donne : W₁ = -1,50 mJ ; W₂ = -1,9998 mJ ≈ -2,00 mJ (le travail limite nʼest pas encore atteint, mais la différence est inférieure à lʼincertitude de mesure).

◊ remarque : W_i < 0 car le travail du frottement est résistant.

II. Frottement proportionnel au carré de la vitesse

1.a.

• La relation fondamentale de la dynamique de translation peut sʼécrire : m

!

a =

!

F =

!

"k v v. On en déduit que tout le mouvement se fait suivant la direction et le sens de la vitesse initiale, et quʼalgébriquement : v^• = -λv² c'est-à-dire :

!

dv

v² = -λ dt.

• Compte tenu des conditions initiales, on en tire :

!

1 v⁼

!

1

v₀ + λt puis v(t) =

!

v₀ 1+v₀"t^.

• La distance parcourue en une durée t est : x(t) =

!

v t

( )

^dt

0

"

t ⁼

!

v₀ 1+v₀"t

0

#

t ^dt⁼

!

ln 1+

(

v₀"t

)

" .

1.b.

• La distance D parcourue par le point est : D =

!

v t

( )

^dt

0

"

T ⁼

!

v₀ 1+v₀"t

0

#

T ^dt⁼

!

ln 1+

(

v₀"T

)

" .

• Il est impossible dʼobtenir λ explicitement à partir de la relation : D =

!

ln 1+

(

v₀"T

)

" ; mais on peut

résoudre implicitement par approximations successives, et on trouve ainsi : λ = 0,0251 m^-1.

2.

• Dʼune façon analogue : ℓ_n =

!

v t

( )

^dt

0 t_n

"

⁼

!

ln 1+

(

v₀"t_n

)

" et donc : t_n =

!

1

"v₀

(

e^n"D#1

)

^.

• Lʼapplication numérique donne : t₂ = 225 s.

(2)

2

3.

• Puisque la force n'est pas constante, il faut calculer le travail infinitésimal sur un petit déplacement élémentaire, puis intégrer sur le déplacement total.

• Dʼaprès : dW =

!

F•dOM =

!

"k v v•v dt =

!

" kv₀³ 1+v₀#t

( )

³ on obtient : W_i =

!

" kv₀³ 1+v₀#t

( )

³

0 t_n

$

^dt⁼

=

!

1

2mv₀² 1 1+v₀"t_n

( )

²^#¹

$

%

&

' ( ))^.

◊ remarque : on retrouve le théorème de lʼénergie cinétique.

• Lʼapplication numérique donne : W₂ = -1,99 mJ.

◊ remarque : W_i < 0 car le travail du frottement est résistant.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT III. Calcul d’une réaction

1.

• La courbe est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe horizontal Ox.

2.

• Les variations du vecteur position

!

OM = x

!

u_x + y

!

u_y correspondent à

!

dOM = dx

!

u_x + dy

!

u_y et donc le long de la courbe :

!

dOM dx ⁼

!

u_x +

!

dy x

( )

dx

!

u_y =

!

u_x +

!

"

2"x

!

u_y =

!

u_x +

!

"

y

!

u_y.

• Pour obtenir un vecteur tangent unitaire, il suffit de diviser le vecteur précédent par sa norme, ce qui donne en simplifiant :

!

u_T =

!

y u_x+ "u_y y²+ "²

.

• Pour obtenir un vecteur unitaire normal, on peut appliquer une rotation de -

!

"

2, ce qui change

!

u_x en

!

"u_y, et

!

u_y en

!

u_x :

!

u_N =

!

"y u_y+#u_x y²+#²

=

!

"u_x#y u_y

"²+y² .

• L'expression générale de la vitesse est :

!

OM^• =

!

dOM dt ^{= (}

!

u_x +

!

"

y

!

u_y) x^•.

• L'expression générale de l'accélération est :

!

OM^•• = (

!

u_x +

!

"

y

!

u_y) x^•• -

!

"

y²^y

• x^•

!

u_y avec y^• =

!

"

y x^•, c'est-à-dire :

!

a =

!

OM^•• = (

!

u_x +

!

"

y

!

u_y) x^•• -

!

"² y³^x

•2

!

u_y.

3.

• La relation fondamentale de la dynamique peut sʼécrire : m

!

a = m

!

g +

!

F, donc :

!

F = m

!

a - m

!

g.

• La projection sur la normale donne :

!

F = (- m

!

"² y³^x

•2 + mg)

!

u_y•u_N = m (

!

"² y³^x

•2 - g)

!

y

"²+y² .

◊ remarque : il faut raisonner algébriquement, car on ne connaît pas a priori le sens de

!

F.

• Le théorème de l'énergie mécanique peut s'écrire :

!

1 2^mv

2 + mgy =

!

1 2^mv⁰

2, donc : v² = v₀² - 2gy.

(3)

3

• D'après ce qui précède : v² =

!

1+ "

y

#

$% &

'(

# 2

$

%%

&

'

((x^•2 et par conséquent : x^•2 =

!

v₀²"2gy 1+ #

y

$

%& ' ()

2 .

• On en tire par substitution :

!

F = m (

!

"² y

!

v₀²"2gy

#²+y² ^{- g)}

!

y

"²+y² = m

!

"²v₀²#

(

3"²+y²

)

^gy

"²+y²

( )

^{3/ 2} ^.

• On constate que, peu après le départ, la réaction est dans le sens de

!

u_N, c'est-à-dire vers la droite : pour déplacer le mobile le long du rail, il faut qu'une force s'exerce vers la droite ; or, cela ne peut pas être le poids (vertical).

• Au contraire, lorsque le mobile monte "suffisamment", soit (3α² + y²) gy > α²v₀², la réaction est dans le sens contraire de

!

u_N, c'est-à-dire vers la gauche : lorsqu'il monte, le mobile finit par s'arrêter et redescendre, mais si on raisonne sur la projection horizontale du mouvement, il faut pour cela qu'une force s'exerce vers la gauche ; or, cela ne peut pas être le poids (vertical).

◊ remarque : la tendance intuitive à s'imaginer que l'action de

!

F est principalement de compenser le poids, donc vers le haut, et fausse ; ceci n'est valable que dans des conditions "assez" voisines d'une situation d'équilibre, donc c'est éventuellement à peu près envisageable au voisinage de la position la plus haute du mouvement, mais c'est faux au début.