ESPACES COMPLETS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� ESPACES COMPLETS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

(X, d)désigne un espace métrique non vide.

I. Généralités sur la complétude

[Gou��, §�.�, p��–��]

I. A. Suites de C��

D��. [�� C��]

(xn)nœNœX^Nest dite deC��si’Á>0,÷n₀œN|’p, qØn₀, d(xp, xq)ÆÁ.

P��.

• Toute suite convergente est deC��.

• Une suite deC��est bornée etsupp,qd(up, uq)<+Œ.

• Une suite deC��admettant une valeur d’adhérence¸converge vers¸.

D��. [�� ,�� B��]

Xest dit complet si toute suite deC��deXest convergente.

E��. (R,|.|)est complet.Qn’est pas complet : considérer par exempleun=qn k=0 1

k!

ouu₀>0etu_n+1=^uⁿ⁺₂^un² . [Hau��, §��.�, p��]

I. B. Premières propriétés

T��. [�� ’�� ]

Il existe un espace métrique complet( ˆX,d)ˆ et une isométriei : (X, d) ≠æ ( ˆX,d)ˆ d’image dense. De plus, si( ˆX^Õ,dˆ^Õ)eti^Õconvient également, alors il existe une isométrie bijectiveÏ : Xˆ ≠æXˆ^Õtelle que„¶i=i^Õ.

E��.

• Qˆ =Rpour la distance usuelle (on construit en faitRcomme étant le complété deQ),

• P‚ = C([0,1])pour la norme uniforme, oùPest l’ensemble des fonctions polynomiales sur[0,1][�� W��].

P��. Si(X, d)est complet etAµX, alors(A, d)est complet si et seulement siA est fermé dansX.

P��. Si((Xi, di))1ÆiÆnsont des espaces métriques, alorsrn

i=1Xiest complet pour la distance produit si et seulement si tous les((Xi, di))1ÆiÆnsont complets.

En particulier, un espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

T��. [�� ]

SiXest complet, alors pour toute suite(Fn)_nœNdécroissante de fermés non vides deXdont le diamètre tend vers0,ﬂnœNFnest un singleton.

E��. (R, d)oùd(x, y) =|arctan(x)≠arctan(y)|n’est pas complet.

P��. Un métrique est compact si et seulement si il est précompact est complet.

II. Exemples d’espaces vectoriels normés complets

II. A. Espaces de B��, exemple des applications linéaires continues

[Gou��, §�.�, p��]

D��. [�� B��]

Un espace vectoriel normé complet est un espace deB��.

P��. (E,Î.Î)est un espaceB��si et seulement si toute série à termes dans Eabsolument convergente est convergente.

Soit(E,Î.Î)un espace deB��.

E��. (B(X, E),Î.Î_Œ)et (C^b(X, E),Î.Î_Œ)sont des espaces deB��, et donc (C(K, E),Î.Î_Œ)pourKcompact aussi.

P�� ��. Si F est un espace de B��,L(E, F)est complet pour |||f||| = sup_ÎxÎEÆ1Îf(x)ÎF. Ainsi, le dual topologique d’un e.v.n. est toujours complet.

A��. SiuœL(E)est tel queÎuÎ Æ1, alors(Id≠u)œGL(E)et son inverse est q

nØ0uⁿ. On en déduit queGL(E)est un ouvert deL(E).

II. B. Espaces L

^p [BP��, Ch�, p��–��] [Bre��, ChIV, p��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré. SoitK=RouC.

D��. [��Î.Îp,��L^p] Pourf :E≠æKmesurable, on définitÎfÎp= (s

E|f|^pdµ)^1/plorsquepest fini, etÎfÎ_Œ= inf{M >0||f|ÆM µ-p.p.}. On définit l’espace vectoriel :

L^p(E,A, µ) ={f :E≠æKmesurable |ÎfÎp<+Œ}

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Espaces complets. Exemples et applications.

T��. [�� H��]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf gÎ1Æ ÎfÎpÎgÎq. C��. [�� M��]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf+gÎpÆ ÎfÎp+ÎgÎp. D��. [��L^p]

On noteL^p(E,A, µ) =L^p(E,A, µ)/{Î.Îp= 0}(ouL^p(E), ouL^p) l’ensemble des fonctions deL^p(E,A, µ)quotienté par la relation d’égalitéµ-p.p.. L’applicationÎ.Îppasse au quotient et définit ainsi une application surL^p(E,A, µ)notée égalementÎ.Îppar abus.

C��. Î.Îpest une norme et l’espace(L^p(E),Î.Îp)est un espace vectoriel normé.

E��. [��¸^p]

Cas oùE=Netµest la mesure de comptage.

Sipest fini, on note¸^pl’espaceL^p =L^p={(an)_nœNœK^N|q+Œ

n=0|an|^p<+Œ}.

¸^Œ=L^Œ=L^Œest l’espace des suites bornées.

T��. [�� R��-F��]

L’espace(L^p(E,A, µ),Î.Îp)est un espace deB��.

C��. Toute suite convergente deL^padmet une sous-suite qui convergeµ-p.p..

Contre-exemple : on n’a pas forcément convergence de la suite p.p. : bosses roulantes.

II. C. Le cas des espaces de H��

[Gou��, An.B, p��–��] [Bre��, Ch�, p��–��] [BMP��, §�.�.�, p��–��]

D��. [�� H��]

H est un espace préhilbertien si c’est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. C’est un espace deH��s’il est complet pour la norme issue du produit scalaire.

R��. Toute norme vérifiant l’identité du parallélogramme dérive d’un produit scalaire et est donc une norme hilbertienne. C’est un critère pratique :(C([a, b],K),Î.Î_Œ) n’est pas un espace deH��par exemple.

E��.

• Sir (Hn)nœN est une suite d’espaces de H��, alors H = {(xn)nœN œ

nœNHn | q

nœNÎxnÎ² < +Œ} est un espace deH�� pour le produit scalaire

È(xn)nœN|(yn)nœNÍ^H=q

nœNÈxn|ynÍ^Hn.

• L²(E,A, µ)est un espace deH��pour tout espace mesuré(E,A, µ).

T��. [�� ]

SoitCun convexe fermé d’un espace deH��H. Alors :

’xœH,÷!pœC| Îx≠pÎ=d(x, C)

De plus,pest l’unique élément deCsatisfaisant’cœC,Ÿ(Èx≠p|c≠pÍ)Æ0.

R��. On a en fait juste besoin deCcomplet etHpréhilbertien.

C��. SoitFun sous-espace vectoriel fermé deH. AlorsH=FüF^‹. E��. Contre-exemples :

• lorsqueF n’est pas fermé : prendreH =¸²(N)etFl’ensemble des suites deHnulles à partir d’un certain rang.F^‹ ={0}maisE”=F,

• lorsque H est seulement un espace de B�� : E = (R²,Î.Î_Œ). Les points {(x,0)|≠1ÆxÆ1}minimisent la distance de(0,1)àVect((1,0)).

A��. Existence et unicité de l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire.

A��. SoitT œL(H). Alors il existe un unique opérateurU œL(H)tel que :

’x, yœH,ÈT(x)|yÍ=Èx|U(y)Í

T��. [�� R��-F��]

SoitHun espace deH��. Alors pour toute application„œH^Õ, il existe un uniquef œH tel que’vœH,„(v) =Èf |vÍ.

De plus„‘≠æfest une isométrie (ÎfÎH=Î„ÎH^Õ).

III. Utilisation de la complétude

III. A. Prolongement d’applications

[Gou��, §�.�, p��–��]

T��. SoientEetF deux espaces métriques,Dune partie dense deE. SiF est complet alors toute application uniformément continue deDdansF admet un unique prolongement continu surE. Ce prolongement est de plus uniformément continu.

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C��. SoientEun espace vectoriel normé,Dun sous-espace vectoriel dense deE etFun espace deB��. Alors toute application linéaire continue deDdansFa un unique prolongement linéaire continu surE.

A��. Prolongement de la transformée deF��surL²(R^d,B(R^d),Leb).

III. B. Théorèmes de point fixe

[Gou��, §�.�, p��–��]

T��. [�� P��]

Soit(X, d)un espace métrique complet et„:X ≠æXune applicationk-contractante pour unkœ]0,1[. Alors„admet un unique point fixe. De plus, toute suite à valeurs dansXdéfinie paru_n+1=„(un)converge vers l’unique point fixe de„.

C��. Le résultat reste valable si l’on suppose seulement que l’une des itérées de

„est contractante.

R��. Contre-exemple lorsqueXn’est pas complet :X =]0,1]et„:x‘≠æx/2.

Lorsque l’on a seulementf(„(x),„(y)) < d(x, y), le résultat est faux dans le cas général („:x‘≠æÔ

x²+ 1) mais est vrai siXest compact.

C��. Soit un espace métrique et„: X◊ ≠æXune application continue et uniformément contractante par rapport à , c’est-à-dire il existekœ]0,1[tel que pour tout

⁄œ ,„(.,⁄)estk-contractante. Alors pour tout⁄œ , il existe un unique point fixex(⁄)à

„(.,⁄)et l’application⁄‘≠æx(⁄)est continue.

T��. [�� C��-L��] [Rou��, p��]

SoitÎ.Îune norme surR^m,Iun intervalle deRetf :I◊R^m≠æR^mune application continue globalement lipschtizienne en la seconde variable (c’est-à-dire pour toutK µ Icompact,

÷k >0|’tœK,’y, z œR^m,Îf(t, y)≠f(t, z)Î ÆkÎy≠zÎ).

Alors pourt0œIetxœR^mdonnés, le problème deC��;

y^Õ(t) =f(t, y(t))

y(t0) =x admet une unique solution définie surI.

E��. SoitAœM^m(R). Il existe une unique solutionY œC¹(R,R^m)telle que

; Y^Õ =AY Y(t0) =Y0

III. C. Autour du théorème de B��

[Gou��, An.A, p��–��] [Rud��, Ch�, p��] [Bre��, Ch�, p��–��]

T��. [�� B��]

Si(Un)nœNest une suite d’ouverts denses d’un espace completE, alorsﬂⁿœNUnl’est aussi.

A��. Un espace deB��est de dimension finie ou non dénombrable. Par exempleR[X]n’est complet pour aucune norme.

T��. [�� B��-S��]

SoitEun espace deB��etFun espace vectoriel normé. Soit(ui)iœIune famille d’applications deL^c(E, F)simplement bornée (c’est-à-dire’xœE,sup_iœIÎui(x)Î Æ+Œ).

AlorssupiœI|||ui|||<+Œ.

A��. Existence d’une fonction continue2ﬁ-périodique telle que sa série de F��diverge en�.

A��. SoientE, E1des espaces deB��etE2, Fdes espaces vectoriels normés.

• Soitf : E ≠æ F limite simple d’une famille d’applications deL^c(E, F). Alorsf œ L^c(E, F).

• SoitB : E₁◊E₂ ≠æ Fune application bilinéaire telle que les applications partielles soient continues. AlorsBœL^c(E1◊E₂, F).

T��. [�� ’�� ]

Une application linéaire continue surjective entre espaces deB��est ouverte.

C��. Une application linéaire continue bijective entre espaces deB��est d’inverse continue.

A��. Si un espace deB��est muni de�normes dont l’une est plus fine que l’autre, alors elles sont équivalentes.

C��. [�� ]

Une application linéaire T : E ≠æ F entre deux espaces deB�� est continue si et seulement si son graphe ({(x, T(x))|xœE}) est fermé pour la norme produit.

A��. (admis) SiTetUsont des applications linéaires (pas forcément continues) deH satisfaisant’x, y œ H,ÈT(x) | yÍ = Èx | U(y)Í, alorsT etU sont continues (donc T, UœL(H)).

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��

Lorsque l’on s’intéresse à des limites de familles d’éléments d’un espace, la question de l’existence de la limite peut souvent poser problème. Lorsqu’elle existe, la limite peut aussi ne pas appartenir à l’espace de départ. Les espaces complets sont alors un cadre très pratique car ce sont des espaces dans lesquels les suites convergentes admettent leur limite dans ces espaces.

Travailler dans ces espaces assure donc de nombreux résultats d’existence dont nous allons parler dans cette leçon.

De plus, tout espace métrique peut être complété en un espace complet, et donc dans la pratique on peut assez facilement se placer dans ce contexte.

��

Q Montrer queRn’est pas dénombrable en utilisant le théorème des fermés emboités.

Q On veut montrer que le théorème de l’application ouverte n’est plus valable lorsque l’un des deux espaces n’est pas deB��. Considérerid : (¸²,Î.Î₂)≠æ(¸²,Î.Î_Œ).

R Cette fonction est bien définie, bijective, et on a queidest continue puisqueÎ.Î_Œ Æ Î.Î2. Or, siid^≠1était continue, on aurait l’existence deCtelle queÎ.Î2 ÆCÎ.ÎŒet en prenant xⁿ = (”_iÆn)_iœN, on aboutit à une contradiction.

Q Montrer qu’il existef œC([0,1],R)telle quesup_n_œNú{|ns1

0 f≠qn

k=1f(k/n)|}= +Œ. R On poseun:f ‘≠æ---ns1

0 f≠qn

k=1f(k/n)---. AlorsunœL(E,R)etEetRsont complets.

AnœNfixé, on peut trouverfd’intégrale1/2, de norme infinie1et nulle en les(k/n)0ÆkÆn

(par exemple a�ine par morceaux avecf(2k+ 1/2n) = 1).

On a|un(f)|Æ2nÎfÎ_Œet on trouve une fonction qui atteint cette borne (�sur les(k/n)k,

≠1sur les(2k+ 1/n)k).

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Bre��] H.B��:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Hau��] D.H��:Les contre-exemples en Mathématiques. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Rou��] F.R��:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

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