Livret de Leçons de Mathématiques

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Livret de Leçons de Mathématiques

de la 5^e à la 3^e

P

P^RÉAMBULE^RÉAMBULE ::

Ce livret est à conserver durant toutes les années au collège. En cas de perte, vous pouvez le télécharger pour le réimprimer depuis le site du collège.

Les paragraphes précédés d’un D sont des définitions.

Les paragraphes précédés d’un P sont des propriétés ou théorèmes.

Les paragraphes précédés d’un V concernent le vocabulaire.

Les paragraphes précédés d’un R sont des règles à suivre.

Des fiches d’accompagnement à l’apprentissage seront données au fur et à mesure.

Pour chaque chapitre, tu pourras compléter le cours par internet avec un ordinateur, une tablette ou un smartphone. Ces compléments seront ajoutés au fur et à mesure de l’année.

En cas de perte de ce livret, vous pourrez le réimprimer en le téléchargeant depuis le site du collège.

Table des matières

1. Proportionnalité...2

2. Traitement de données...6

3. Probabilités...11

4. Les fonctions...13

5. Les nombres entiers...18

6. Nombres décimaux...22

7. Fractions...24

8. Priorités de calcul...29

9. Les nombres relatifs...30

10. Puissances...33

12. Calcul littéral...36

13. Le triangle...44

14. Angles...47

15. Le triangle rectangle...50

16. Transformation de figures, Thalès...53

17. Géométrie dans l’espace...57

18. Objets géométriques...64

19. Grandeurs de base...70

20. Grandeurs composées...76

21. Programmation, algorithmie...77

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1. P

ROPORTIONNALITÉ

1.1. Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

On peut représenter les valeurs de grandeurs proportionnelles dans un tableau appelé tableau de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la 2^e ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la 1ʳᵉ ligne par un même nombre : le coefficient de proportionnalité.

Exemple 1 : Une bouteille de lait coute 1,20 €. Le prix est proportionnel au nombre de bouteilles.

On peut construire un tableau de proportionnalité avec le nombre de bouteilles et leur prix correspondant.

Nombre de bouteilles 1 2 3

Prix (€) 1,20 2,40 3,60

1,20 est le coefficient de proportionnalité.

Exemple 2 : Un enfant de 12 ans mesure 1,40 m. On ne peut pas calculer la taille qu’il aura à 24 ans, la taille et l’âge ne sont pas des grandeurs proportionnelles.

1.2. Reconnaitre un tableau de proportionnalité ou de non proportionnalité

Vérifier si les tableaux suivants représentent une situation de proportionnalité :

a)

^{Grandeur A} ^3,2 ^1,3 ^5,4

b)

^{Grandeur C} ^0,8 ^1,5 ^1,25

Grandeur B 22,4 9,1 37,8 Grandeur D 2,4 4,5 3,9

On divise la ligne du bas par la ligne du haut pour voir s’il y a un coefficient de proportionnalité.

a)

22,4 : 3,2 = 7 9,1 : 1,3 = 7 37,8 : 5,4 = 7

Le quotient est le même : Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est 7.

b)

2,4 : 0,8 = 3 4,5 : 1,5 = 3

3,9 : 1,25 = 3,12 ≠ 3

Le quotient n’est pas le même. Il ne s’agit pas d’un tableau de proportionnalité.

1.Proportionnalité

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2

× 1,20

http://bref.jeduque.net/cycle4chap01

(3)

1.3. Compléter un tableau de proportionnalité en déterminant le coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité s’obtient en divisant un nombre de la seconde ligne par le nombre du dessus.

Exemple : Un célèbre robinet de lavabo fuit. Au bout de 50 min, il s’est écoulé 2,5 L d’eau. Quel volume d’eau s’écoule-t-il en 1 heure ?

Le problème se résume avec le tableau suivant sachant que 1 h = 60 min.

Durée (min) 50 60

Volume (L) 2,5 3

On trouve le coefficient 0,05 en divisant 2,5 par 50. (2,5÷50 = 0,05) En 1 heure, il s’écoule 3 litres d’eau.

1.4. Compléter un tableau de proportionnalité avec des opérations sur les colonnes

On peut obtenir une nouvelle colonne en multipliant ou divisant une colonne existante par un nombre non nul.

Exemple 1 : Une fabrique vend du café. 20 g coutent 0,50 € et le prix de ce café est proportionnel à la masse achetée. Calculons le prix de 200 g de café :

masse du paquet (g) 20 200

prix du café (€) 0,50 5

On peut obtenir une nouvelle colonne en ajoutant ou retranchant deux colonnes existantes.

Exemple 2 : Une fabrique vend du café. 20 g coutent 0,50 € et le prix de ce café est proportionnel à la masse achetée. Calculons le prix de 220 g de café :

masse du paquet (g) 20 200 220

prix du café (€) 0,50 5 5,50

1.Proportionnalité

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3

× 10

+

× 0,05

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1.5. Compléter un tableau de proportionnalité avec les produits en croix

Dans un tableau de proportionnalité de quatre cellules contenant trois valeurs connues, on peut calculer la quatrième valeur inconnue : cette valeur s’appelle la quatrième proportionnelle.

Exemple : Le prix des pommes est proportionnel à la masse. Combien coutent 7 kg de pommes ? Prix des pommes (en €) 9,60 x Le prix de 1 kg est : 9,6 ÷ 6 = 1,6

Le prix de 7 kg est : 7 × 1,6 = 11,2

Nombre de kilos 6 7

Donc x = 11,2 7 kg de pommes coutent 11,20 €

On peut aussi calculer directement en utilisant l’égalité des produits en croix:

7 × 9,60 = 6 × x

donc x = 7 × 9,60 ÷ 6 = 11,2

1.6. Relier la proportionnalité et une représentation graphique

(1) Toute situation de proportionnalité se représente graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère.

(2) Réciproquement, tout graphique dont les points sont alignés avec l'origine du repère, représente une situation de proportionnalité.

Exemples :

Proportionnalité Non proportionnalité

1.7. Calculer un pourcentage

Un pourcentage est une proportion de dénominateur 100. Il peut s’écrire sous forme de pourcentage, de fraction ou de nombre décimal.

Exemples 1 : 27 % = 27

100 = 0,27 153 % = 153

100 = 1,53

50 % = 50 100 = 1

2 = 0,5 100 % = 100

100 = 1

25 % = 25 100 = 1

4 = 0,25 75 % = 75

100 = 3

4 = 0,75

1.Proportionnalité

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4

0

₁

1

0

¹

1

0

¹

1

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Exemple 2 : Une automobile qui coutait 8 000 € est vendue 6 800 €.

A quel pourcentage du prix initial correspond la remise ?

Pour calculer un pourcentage de réduction, on calcule d’abord le montant de la réduction : 8 000 – 6 800 = 1 200 La réduction est de 1 200 €

Méthode 1 : Calcul à l’aide d’un tableau de proportionnalité Observez les données de l’énoncé pour réaliser le tableau.

Ancien prix (€) 8 000 100

Réduction(€) 1 200 x

x = 100 × 1 200 : 8 000 = 15

Le pourcentage de réduction est de 15 %.

Méthode 2 : Calcul avec des fractions

Chercher le pourcentage de réduction revient à se poser la question :

« Dans la réalité la réduction est de 1200 sur 8000, quelle est la réduction sur 100 ? » Soit : 1200

8000= ? 100

Donc : ? = 1 200 × 100 : 8 000 = 15 Le pourcentage de réduction est de 15 %.

1.8. Appliquer un pourcentage

Exemple : Un article coute 89 €. Son prix est réduit de 20 %. Calculer son nouveau prix.

Méthode 1 : On calcule 20 % de 89 € : 20

100 × 89 = 0,2 × 89 = 17,80 €

Le montant de la réduction est de 17,80 €.

89 € – 17,80 € = 71,20 € Le nouveau prix est de 71,20 €.

Méthode 2 : La réduction étant de 20 %, il reste 80 % à payer : Le nouveau prix vaut 80 % de 89 €.

On calcule 80 % de 89 € : 80

100 × 89 € = 0,8 × 89 €

= 71,20 € Le nouveau prix est de 71,20 €.

Méthode 3 : A l’aide d’un tableau de proportionnalité :

Ancien prix (en €) 89 100

Nouveau prix (en €) x 80

x = 89 € × 0,8 = 71,20 €. Le nouveau prix est de 71,20 €.

1.Proportionnalité

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5

× 0,8

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1.9. Utiliser une échelle

L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre la distance sur le plan et la distance réelle, exprimées avec la même unité.

échelle du plan=distance sur le plan distance en réalité

Exemple : A quelle distance réelle correspond une longueur mesurée de 8,3 cm sur une carte à l’échelle ¹

1000 ?

1 cm sur la carte représente 1 000 cm en réalité.

On complète les données de l’énoncé dans un tableau de proportionnalité :

Distance sur la carte (en cm) 1 8,3

Distance réelle (en cm) 1 000 x

X = 8,3 × 1 000 cm = 8 300 cm = 83 m.

La distance réelle est égale à 83 m.

2. T

^RAITEMENT ^DE ^DONNÉES

Exemple A : On a interrogé les 25 élèves d’une classe de 5^e au sujet de leur sport préféré. Les réponses obtenues sont les suivantes :

football – basket – danse – handball – football – danse – basket – handball – football – football – basket – tennis – danse – danse – football – basket – football – tennis – football – basket – danse – danse – football – basket – tennis.

2.1. Vocabulaire 2.1.a. Vocabulaire

En statistiques, on étudie sur une population, un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs.

Exemple A (ci-dessus) :

• Dans cette enquête, la population étudiée est les élèves d’une classe de cinquième.

• Le caractère étudié est le sport pratiqué.

• Les valeurs possibles de ce caractère sont : football, basket, danse, handball, tennis.

2.Traitement de données

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6

×1000

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2.1.b. Définitions :

On considère une liste de données.

Effectif : l’effectif est le nombre de fois où une donnée apparait dans la liste.

L’effectif total est le nombre total de données de la liste.

Fréquence : La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par l’effectif total. La fréquence peut s’écrire sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

Fréquence d’une valeur = effectif de la valeur effectif total Exemple A (données ci-dessus) :

Pour cette classe de 5e, l’effectif de la valeur « football » est 8, car il y a 8 élèves qui pratiquent le football et l’effectif total est 25, car il y a 25 élèves.

La fréquence de la valeur « football » est : 1 4+1

4+1 4=3

4 (fraction)

ou 0,32 (nombre décimal) ou 32 % (pourcentage).

2.2. Utiliser des tableaux et diagrammes 2.2.a. Lire et interpréter un tableau :

Éléphants Lions Ours Singes Loups

Petits 1 4 2 2 5

Mâles 3 1 2 3 6

Femelles 2 4 3 9 6

TOTAL

On peut lire sur ce tableau que :

• Le zoo comprend 9 singes femelles (la case 9 fait croiser « singes » et « femelles »).

• Le zoo comprend 14 petits en tout (j’additionne toutes les cases « petits »).

• Le zoo comprend 7 ours en tout (j’additionne toutes les cases « ours »).

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Des titres ( ils disent ce que représentent les nombres).

Des lignes

Des colonnes

Des cases donnent les informations croisées des lignes et des colonnes.

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2.2.b. Construire un tableau

On rassemble souvent les résultats d’une enquête statistique dans un tableau montrant les valeurs, les effectifs et les fréquences des réponses :

Exemple A (données page précédente) :

Valeurs Football Basket Handball Tennis Danse Total

Effectifs 8 6 2 3 6 25

Fréquences (en fractions) 8

25

6 25

2 25

3 25

6 25

25 25

Fréquences (en nombre décimal) 0,32 0,24 0,08 0,12 0,24 1

Fréquences (en pourcentage) 32 % 24 % 8 % 12 % 24 % 100 %

2.2.c. Représenter graphiquement :

On peut présenter les résultats d’une étude statistique sous forme de graphique.

2.2.c.i)

Diagramme en barre (ou en bâtons) :

Football Basket

Handball Tennis

Danse 0

4 8

Sport préféré

Nombre d'élèves

Les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs.

2.2.c.ii)

Diagramme circulaire :

Football Basket Handball Tennis Danse

Les mesures des angles sont proportionnelles aux effectifs.

Effectif 25 8 6 2 3 6

Mesure des secteurs

(arrondi au degré près) 360 115 86 29 43 86

Remarque : le total ne fait pas 360° à cause des arrondis.Cela n’est pas gênant pour le dessin pour lequel on tolère des erreurs de 1°.

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8

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2.2.d. Utiliser des regroupements en classe : 2.2.d.i)

Exemple

À la pêche : on mesure la taille des poissons lors d’un concours de pêche.

On regroupe les données en classes d’amplitude 5 cm.

Taille des

poissons (cm) [5 ; 10 [ [10 ; 15 [ [15 ; 20 [ [20 ; 25 [ Total

Effectif 52 35 16 12 115

2.2.d.ii)

Histogramme :

On utilise un histogramme pour représenter des données numériques regroupées en classes. Les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs de chaque classe.

La représentation de l’exemple est un histogramme.

2.3. Moyenne

Moyenne = somme des valeurs effectif total

Pour calculer la moyenne des valeurs d’une série : - on additionne les valeurs de la série

- on divise par le nombre total de valeurs de cette série

La moyenne est la valeur « égalitaire » de la série.

Exemple 1 : Série :9 ; 12 ; 13 ; 9 ; 15 ; 11 ; 12 ; 9 Moyenne de la série=9+12+13+9+15+11+12+9

8 =90

8 =11,25 La moyenne de la série est 11,25.

Interprétation : Si tous les nombres de la série avaient été les mêmes, avec le total de 90, ils vaudraient tous 11,25.

Exemple 2 : On donne les résultats de la 3^e B au contrôle de Mathématiques :

Note 8 9 10 11 12 13 Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Effectif 1 5 4 6 4 5

Il y a 1 élève qui a eu 8 et 5 élèves qui ont eu 9 On calcule l’effectif total : 1 + 5 + 4 + 6 + 4 + 5 = 25 Moyenne de la classe =somme des valeurs

effectif total =8×1+9×5+10×4+11×6+12×4+13×5

25 ≈11,7

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9

C’est la moyenne pondérée.

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La moyenne à ce contrôle est d’environ 11,7.

Interprétation : Si tous les élèves avaient eu la même note, pour le même total, ils auraient eu 11,7 environ.

2.4. Médiane (indicateur de position)

Les valeurs d’une série statistique étant rangées dans l’ordre croissant, la médiane de la série est un nombre tel que :

- au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à ce nombre.

- au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à ce nombre.

Exemple : Série : 9 ; 12 ; 13 ; 9 ; 15 ; 11 ; 12 ; 9

On range les valeurs dans l’ordre croissant : 9 – 9 – 9 – 11 – 12 – 12 – 13 – 15 on peut faire deux groupes de 4 valeurs.

La médiane se trouve entre la 4^e et la 5^e valeur : c’est par exemple 11,5.

Interprétation : Au moins la moitié des élèves ont eu une note supérieure à égale à 11,5.

Remarque : Lorsqu’il y a un nombre pair de valeurs, la médiane n’est pas toujours une valeur de la série.

Lorsqu’il y a un nombre impair de valeurs, la médiane est une valeur de la série, la « valeur centrale ».

2.5. Étendue (indicateur de dispersion)

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite valeur de la série.

Exemple : Voici les notes de Manon et Thomas en Mathématiques ce trimestre : Manon : 5 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 15

15 – 5 = 10 L’étendue des notes de Manon est 10.

Thomas : 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 13 ; 13

13 – 9 = 4 L’étendue des notes de Thomas est 4.

Interprétation : L’étendue indique que les notes de Thomas sont moins dispersées que celles de Manon.

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Plus grande valeur Plus petite valeur Plus grande valeur Plus petite valeur

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3. P

ROBABILITÉS

3.1. Notion de probabilité et vocabulaire

On dit d’une expérience qu’elle est aléatoire lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connait tous les résultats possibles de l’expérience : ce sont les issues.

– le résultat n’est pas prévisible ;

– on peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions.

Exemples :

• On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure. (Les issues sont Pile ou Face)

• On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.

(Il y a six issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6)

Un évènement aléatoire est un ensemble d’issues que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire. Il est constitué d’une ou plusieurs issues de l’expérience.

Un évènement réalisé par une seule issue est un évènement élémentaire.

Exemples : On lance un dé à six faces.

• « Obtenir un nombre pair » est un évènement réalisé par les issues 2 ; 4 ou 6.

• « Obtenir 6 » est un évènement élémentaire.

Vocabulaire : Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Exemple : Lors du lancer d’un dé à 6 faces, les évènements « obtenir 1 » et « obtenir un nombre pair » sont incompatibles.

Vocabulaire : L’évènement contraire d’un évènement E est celui qui se réalise quand E ne se réalise pas.

Exemple : Lors du lancer d’un dé à 6 faces, l’évènement contraire de « obtenir 1 » est « obtenir 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6 »

3.2. Calculer une probabilité

Dans une expérience aléatoire où toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser (cas d’équiprobabilité), la probabilité d’un évènement est égale au quotient :

P=Nombre d'issues favorables à l'événement Nombre d'issues possibles

3.Probabilités

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Exemple : On fait tourner la roue et on observe la couleur obtenue.

Quatre issues sont possibles : Noir ; Blanc ; Gris ; Hachuré.

On les schématise sur un arbre des possibles : Il y a 3 secteurs avec la couleur grise.

La probabilité de l’évènement « obtenir gris » est 3 8

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1.

La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.

3.3. Réaliser une expérience aléatoire à 2 épreuves

Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves.

Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »

On trace l’arbre des possibles.

La probabilité de chacune des issues est de 1

2×1 2=1

4 .

On multiplie les probabilités sur une même branche.

La probabilité de l’évènement E est : p(E) = 1

4+1 4+1

4=3 4 .

3.Probabilités

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(P; P) 1 2×1

2=1 4

(F ; F) 1 2×1

2=1 4 (P; F) 1

2×1 2=1

4

(F ; P) 1 2×1

2=1 4

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4. L

^ES ^FONCTIONS

4.1. Connaitre la notion de fonction

Le processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre nombre unique s’appelle une fonction.

Exemples et notations :

a) La distance parcourue par un véhicule en une heure est fonction de sa vitesse.

b) L’aire d’un carré est fonction de son côté.

c) On peut définir une fonction, appelée f, par un programme de calcul :

« calculer le carré du nombre choisi, puis ajouter 1 »

De façon générale : par la fonction f, à un nombre x, on fait correspondre le nombre x² + 1.

On note : f : x  x² + 1 ou f(x) = x² + 1

se lit : « la fonction f qui à x fait correspondre x² + 1 » se lit : « f de x égal x² + 1 »

Remarque :

Il ne faut pas confondre f et f(x). f est une fonction (un processus de calcul) alors que f(x) est un nombre (l’image par f du nombre x).

4.2. Trouver image et antécédent

Le nombre de départ s’appelle l’antécédent.

Le nombre correspondant s’appelle l’image.

Exemples : On considère la fonction f : x x ² + 1

f : 7 7² + 1 = 50 L’image de 7 par la fonction f est 50.

50 a pour antécédent 7 par la fonction f.

f (8) = 8² + 1 = 65 8 a pour image 65 par la fonction f.

8 est l’antécédent de 65 par la fonction f.

f : – 8 (– 8)² + 1 = 65 Remarques :

• Un nombre ne peut avoir qu’une seule image par une fonction.

• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction.

(65 a pour antécédents 8 et –8 par la fonction f ci-dessus).

4.Les fonctions

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4.3. Représenter une fonction

Une fonction peut être représentée sous la forme :

a) d’une expression : Soit f la fonction telle que : f : x x² + 1 b) d’un tableau de valeurs :

antécédent x – 3 – 2 – 1,5 – 1 0 1 1,5 2 3

image f(x) 10 5 3,25 2 1 2 3,25 5 10

f(-3) = (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10

c) d’une courbe représentative : Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) d’une fonction f est formée de tous les points M de coordonnées (a ; b) où a est un nombre et b = f(a).

Par exemple, f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10 donc le point A de

coordonnées (3 ; 10) appartient à la courbe représentative de la fonction.

4.4. Définir une fonction linéaire

Une fonction f est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme f : x a × x

où « a » est un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.

Le nombre relatif « a » est un coefficient de proportionnalité.

Exemples :

f : x 3 x est une fonction linéaire dont le coefficient a = 3.

g( x ) = 5( x – 2) + 10 est aussi une fonction linéaire, car 5( x – 2) + 10 = 5 x – 10 + 10 = 5x Elle est bien de la forme : x a × x avec a = 5.

4.Les fonctions

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4.5. Méthode 1 : représenter graphiquement une fonction linéaire

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Le coefficient « a » est appelé coefficient directeur.

Exemple : Représenter graphiquement la fonction f(x) = – 2 x.

f est une fonction linéaire dont le coefficient est – 2 .

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine. Il suffit donc de trouver les coordonnées d’un autre point pour la tracer.

x – 3

f(x) On calcule l’image de – 3 par f f(– 3) = – 2 × (– 3) = 6 Coordonnées des points (– 3 ; 6)

On place le point de coordonnées (– 3 ; 6) dans le repère puis on trace la droite qui passe par ce point et l’origine, c’est la représentation graphique de la fonction linéaire f définie par f(x) = – 2 x.

4.6. Méthode 2 : déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire.

4.6.a. par la donnée d’un nombre non nul et de son image :

Exemple :

Déterminons la fonction linéaire f dont l’image de 8 est –12.

Cela signifie que f(8) = – 12 a = – 12 : 8 = – 1,5

donc f(x) = – 1,5 x

4.6.b. à l’aide de sa courbe représentative :

Le point de coordonnées (1 ; 2,5) appartient à la droite, donc g (1) = 2,5 a = 2,5 : 1 = 2,5 donc g(x) = 2,5 x.

Remarques :

• Si le coefficient « a » est négatif, la droite « descend »

• si le coefficient « a » est positif, la droite « monte ».

4.Les fonctions

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4.7. Relier fonction linéaire et pourcentage

Calculer avec des pourcentages :

- Prendre t % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par t 100 .

- Augmenter un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par

(

¹⁺¹⁰⁰^t

)

^.

- Diminuer un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

^.

Exemples :

Prendre 15 % de x c’est effectuer x × 15

100 = x × 0,15 fonction linéaire f(x) = 0,15 x Diminuer un nombre x de 12 % c’est effectuer x × (1− 12

100 ) = x × 0,88. fonction f(x) = 0,88 x Augmenter un nombre x de 3 % c’est effectuer x × (1+ 3

100 )= x ×1,03. fonction f(x) = 1,03 x

4.8. Définir une fonction affine

Une fonction est affine si elle peut s’écrire sous la forme f (x) = a × x + b où a et b sont des nombres relatifs fixés.

Exemples :

f : x 3 x + 2 est une fonction affine avec a = 3 et b = 2 g( x ) =5x−2

4 est aussi une fonction affine car 5x−2 4 =5x

4 −2 4 Elle est bien de la forme : x a × x + b avec a = 5

4 et b = −2 4 Remarque :

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (pour laquelle le nombre b est 0).

4.Les fonctions

Livret de leçons de Maths 2018 -

16

(17)

4.9. Représenter graphiquement une fonction affine

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

Le coefficient « a » est appelé coefficient directeur le nombre « b » est appelé ordonnée à l’origine.

Exemple : Représenter graphiquement la fonction f (x) = – x + 2

f est une fonction affine de la forme f (x) = a × x + b où et a = – 1 et b = 2 La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

Il suffit dont de deux points pour la tracer.

x 0 4

f(x) f(0) = – 0 + 2

= 2

f(4) = – 4 + 2

= – 2 Coordonnées

des points (0 ; 2) (4 ; – 2)

On place les deux points de coordonnées A (0 ; 2) et B (4 ; – 2) dans le repère puis on trace la droite passant par ces deux points.

On obtient alors la représentation graphique de la fonction affine f définie par f ( x ) = – x + 2

4.10. Déterminer graphiquement une fonction affine

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine par la donnée de son graphique.

Propriété : Pour toute fonction affine f(x) = a x + b, les accroissements de x et de f(x) sont proportionnels.

Le coefficient de proportionnalité est « a » : il détermine la pente de la droite.

Le coefficient b indique en quel point la droite coupe l’axe des ordonnées.

Exemple :

Déterminons la fonction affine f représentée dans le repère suivant Le coefficient directeur de la droite est 2 car a = 2

1=2 ou a = 4 2=2 L’ordonnée à l’origine est 3 : donc b = 3

L’expression algébrique de la fonction représentée est : f(x) = 2 x + 3 Remarque :

Attention à la précision des lectures graphiques.

4.Les fonctions

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17

+1 +2+2

+4

(18)

4.11. Calculer un antécédent par une fonction affine

Exemple :

Soit f (x) = – 4 x + 5. C’est une fonction affine de coefficient – 4 et d’ordonnée à l'origine 5.

Calculer l’(es) antécédent(s) de 25.

On cherche x tel que f (x) = 25 C’est-à-dire – 4 x + 5 = 25

Il faut donc résoudre l'équation – 4 x + 5 = 25

– 4 x + 5 – 5 = 25 – 5 – 4 x = 20 – 4 x : 4 = 20 : 4

– x = 5 x = – 5 Donc un antécédent de 25 par la fonction f est (– 5)

5. L

^ES ^NOMBRES ^ENTIERS

5.1. Définir la division euclidienne

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0.

Pour effectuer la division euclidienne de a par b, il faut déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que :

a = b × q + r et r < b - a est le dividende - b est le diviseur

- q s’appelle le quotient entier - r s’appelle le reste.

Exemple : On a 155 = 4 × 38 + 3 et 3 < 4

Dans la division euclidienne de 155 par 4, le quotient entier est 38 et le reste est 3.

Avec la calculatrice, il est possible d’avoir directement le quotient et le reste :

CASIO Autre calculatrices

la touche permet de faire une division euclidienne

Exemple

Le Quotient de 35 par 6 est 5, le Reste est 5

Sur d’anciens modèles ou d’autres marques, on a les touches

CASIO :

Texas Instrument :

5.Les nombres entiers

Livret de leçons de Maths 2018 -

18

(19)

5.2. Poser et effectuer une division euclidienne

Méthode : Pour diviser 973 par 6

→

je vais utiliser la table de 6.

➀

➁

➂

➃ 973 = 6 × 162 + 1 et 1 < 6

5.3. Diviseurs et multiples

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0

On dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro.

Remarque : b est un diviseur de a signifie que a est dans la table de multiplication de b.

Exemples :

➢ 2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 (18 = 2 × 9)

➢ 18 est un multiple de 2.

➢ 5 n’est pas un diviseur de 48 car 48 n’est pas dans la table de 5 car 5 × 9 = 45 et 5 × 10 = 50 13 est il un diviseur de 8 021 ?

Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 8 021.

8021 = 13 × 617, on peut dire ainsi :

• 13 est un diviseur de 8 021.

• 617 est un diviseur de 8 021.

• 8 021 est un multiple de 13.

• 8 021 est un multiple de 617.

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19

En combien je partage ?

diviseur

Le résultat de la division

quotient reste

Le nombre que je partage

dividende

➀ Dans 9 centaines, combien il y a de fois 6 centaines ? Il y a une seule fois (6 × 1 = 6) Je calcule 9 – 6 = 3. Il me reste 3 centaines à partager.

➁Je descends le 7. J’ai donc 37 dizaines à partager. Dans 37 dizaines, combien de fois 6 dizaines ? Il y en a 6 (6 × 6 = 6)

Je calcule 37 – 36 = 1. Il me reste 1 dizaine à partager.

➂Je descends le 3. J’ai donc 13 unités à partager. Dans 13 unités, combien de fois 6 unités ? Il y en a 2 (6 × 2 = 12)

Je calcule 13 – 12 = 1.

➃ Il me reste 1 unité.

5

2 8

3 4

2 -

1

3 7

9 6

2 6 1 6

-

7 3

6 3 -

3 1

2 1 -

1

1 2 0

8 1 3

7 1 6 2

2 1 9

0

(20)

Remarque :

Tous les nombres entiers admettent au moins comme diviseurs évidents : 1 et le nombre lui-même.

5.4. Connaitre les critères de divisibilité

Critères de divisibilité usuels

Règle Exemples

Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.

14 est divisible par 2 ou 2 est un diviseur de 14.

27 n’est pas divisible par 2.

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.

35 est divisible par 5 ou 35 est un multiple de 5.

120 est divisible par 5.

Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

70 est divisible par 10 ou 10 est un diviseur de 70.

Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4.

20 512 est divisible par 4 car 12 est divisible par 4.

64 818 n’est pas divisible par 4 car 18 n’est pas divisible par 4.

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

714 est divisible par 3 car

7 + 1 + 4 = 12 et 12 est un multiple de 3.

523 n’est pas divisible par 3 car

5 + 2 + 3 = 10 et 10 n’est pas un multiple de 3.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

9 801 est divisible par 9 car :

9 + 8 + 0 + 1 = 18 et 18 est un multiple de 9.

523 n’est pas divisible par 9 car 5 + 2 + 3 = 10 et 10 n’est pas un multiple de 9.

5.5. Définir les nombres premiers

Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui- même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sont les nombres premiers inférieurs à 30.

Remarques : Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur.

La liste des nombres premiers est infinie.

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20

(21)

5.6. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers 5.6.a.

Méthode manuelle

On divise successivement par les nombres premiers de la liste pour trouver la décomposition.

Exemple : Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.

Il est important de bien connaitre le début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13…

On commence pas tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier).

La réponse est « oui » car 300 se termine par un chiffre pair.

Et on a : 300 ÷ 2 = 150

On recommence, en testant si 150 est divisible par 2.

La réponse est « oui » et 150 ÷ 2 = 75

La réponse est « non » !

On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.

Est-ce que 75 est divisible par 3.

La réponse est « oui » car 7+5=12 est divisible par 3.

Et on a : 75 ÷ 3 = 25

La réponse est « non » !

On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.

Est-ce que 25 est divisible par 5.

La réponse est « oui » et on a 25 ÷ 5 = 5.

La réponse est « oui » et on a 5 : 5 = 1.

C’est fini, on trouve 1 !

La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite.

300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5²

5.6.b. Méthode avec la calculatrice

avec la calculatrice CASIO collège avec la calculatrice TI collège

écrire le nombre puis EXE écrire le nombre puis

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21

(22)

6. N

^OMBRES ^DÉCIMAUX

6.1. Numération de position – décompositions

Dans l’écriture décimale d’un nombre, on utilise les dix chiffres et une virgule pour séparer la partie entière de la partie décimale. La valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre :

Remarque : 73 est la partie entière et 0,25 est la partie décimale.

Suivant sa position dans la partie décimale d’un nombre décimal, un chiffre peut indiquer : les dixièmes, les centièmes, les millièmes, les dix-millièmes, les cent- millièmes…

Partie entière

,

Partie décimale

centaine dizaine unité

,

^dixième ^centième ^millième _millième^dix- _millième^cent-

2 0 3

,

⁵ ⁸ ¹ ⁹ ⁶

5 est le chiffre des dixièmes de 203,581 96.

8 est le chiffre des centièmes de 203,581 96.

6.2. Multiplier des décimaux

Le produit comporte autant de chiffres après la virgule qu’il y en a dans les facteurs.

Ici il y a trois chiffres après la virgule pour les facteurs donc le résultat comporte trois chiffres après la virgule.

6.Nombres décimaux

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22

7 3, 2 5

70 3 5

100 2

10 Partie décimale Partie entière

7 4 2, 1

× 3, 5

5 3 2 6

0 1 4 7 3

5 4 6 3, 4

= 1247 × 5 = 1247 × 30

(23)

6.3. Effectuer une division décimale

Pour effectuer la division décimale de 82,6 par 28, on peut écrire la table de multiplication de 28.

28 × 1 = 28 28 × 2 = 56 28 × 3 = 84 28 × 4 = 112 28 × 5 = 140 28 × 6 = 168 28 × 7 = 196 28 × 8 = 224 28 × 9 = 252

On obtient : 82,6 : 28 = 2,95.

8 2, 6 2 8

- 5 6 2, 9 5

2 6 6 - 2 5 2

1 4 0 - 1 4 0 0 Remarques :

• La division est terminée lorsque le reste devient nul.

• Si la division ne se finit pas alors le résultat n’est pas un nombre décimal, on peut alors donner une valeur approchée de ce résultat.

6.4. Déterminer les valeurs approchées

6.4.a. Donner une valeur approchée par excès, par défaut.

Pour déterminer les valeurs approchées au dixième de 45,789, on donne l’encadrement suivant : 45,7 < 45,789 < 45,8

6.4.a. Donner une valeur arrondie.

L’arrondi d’un nombre correspond à la valeur approchée par excès ou par défaut la plus précise.

On peut déterminer rapidement l’arrondi d’un nombre, en étudiant le chiffre situé au rang précédent de la précision donnée :

(1) si le chiffre des dixièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4 alors l’arrondi à l’unité est égal au nombre entier inférieur.

(2) si le chiffre des dixièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9 alors l’arrondi à l’unité est égal au nombre entier supérieur.

6.Nombres décimaux

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23

Valeur approchée par défaut au dixième près ou troncature au dixième

Valeur approchée par excès au dixième près

(24)

Exemples d’arrondis à l’unité

3,327 ≈ 3 15,199 9 ≈ 15 365,08 ≈ 365

26,634 ≈ 27 320,801 2 ≈ 321 1 232,5 ≈ 1 233 Autres exemples

Nombre 23,462 105,698 7,324

Arrondi au dixième 23,5 105,7 7,3

Arrondi au centième 23,46 105,70 7,32

7. F

^RACTIONS

7.1. Se repérer sur une demi-droite graduée

Chaque point peut être repéré par une fraction, appelée son abscisse.

Notation : l’abscisse d’un point est généralement écrite avec le nom du point suivi de l’abscisse entre parenthèses.

Le point A est repéré par la fraction 9

4 . On dit que 9

4 est l’abscisse du point A.

On note : A ( 9 4 ).

7.2. Trouver des fractions égales et simplifier

3 4

On partage chaque secteur en deux parts égales. La

proportion en gris reste la même.

3

4=3×?

4×?=6 8

6 8

3 4

On partage chaque secteur en trois parts égales. La proportion en gris reste la même.

3

4=3×? 4×?= 9

12 9

12

7.Fractions

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24

0 1 2

A

(25)

On ne change pas une fraction quand on MULTIPLIE son numérateur et son dénominateur PAR UN MÊME NOMBRE non nul.

Exemple : Trouver des fractions égales.

Pour chacune des fractions suivantes, trouver deux fractions égales : 4 3 ; 5

2 ; 9 5 a) 4

3=4×2 3×2=8

6 et 4

3=4×10 3×10=40

30 b) 5

2=5×3 2×3=15

6 et 5

4=5×4 2×4=20

8 c) 9

5=9×2 5×2=18

10 et 9

5=9×6 5×6=54

30 On a vu que 3

4=6 8= 9

12 . En lisant cette égalité de la droite vers la droite, on trouve que...

On ne change pas une fraction quand on DIVISE son numérateur et son dénominateur PAR UN MÊME NOMBRE non nul.

Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec des nombres entiers les plus petits possibles.

Exemple 1 : Simplifier la fraction 49 63 .

49 et 63 appartiennent à la même table de multiplication. La table de 7 : 7 × 7 = 49 et 7 × 9 = 63 On peut donc diviser le numérateur et le dénominateur par 7

49

63=49 :7 63 :7=7

9

Exemple 2 : Simplifier la fraction 1680 1470 .

On cherche un diviseur commun aux deux nombres et ainsi de suite.

8 7 56 49 168 147 1680

1470  

7.Fractions

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25

:10 : 3 : 7

: 7 :10 : 3

(26)

7.3. Prendre une fraction d’un nombre

Prendre la fraction d’une quantité, c’est multiplier cette fraction par cette quantité.

Exemple 1 : Les 3

4 de 12 kg.: Pour calculer les 3

4 de 12 kg, on effectue le calcul : 3 4×12 Il y a trois méthodes :

a) 3

4×12 = 12×3

4 = 12 × 3 : 4 = 36 : 4 = 9 b) 3

4 ×12 = 12 : 4 × 3 = 3 × 3 = 9 c) 3

4 × 12 = 3 : 4 × 12 = 0,75 × 12 = 9

Exemple 2 : Le quart de deux tiers de litre: 1 4×2

3=1×2 4×3= 2

12=1 6 . Le quart de deux tiers de litre représente 1

6 de litre.

Exemple 3 :

En décembre pour les fêtes, M. Marchand dit avoir vendu les quatre cinquièmes de sa marchandise.

En janvier, pendant les soldes, il a encore vendu les trois quarts de ce qu’il restait.

Quelle fraction de sa marchandise a-t-il vendu en tout ?

La valeur totale de sa marchandise est de 262 000 €. Quelle somme représente sa vente globale ? Après les fêtes, il restait 1 cinquième. Calculons les trois quarts de un cinquième.

3 4×¹

5= ³

20 de sa marchandise représentent ce qu’il a vendu en décembre.

En tout : ⁴ 5+ ³

20 = 16 20 + ³

20= ¹⁹

20 de sa marchandise.

Calculons les 19 vingtièmes de 262 000 : ¹⁹

20 × 262 000 = 248 900 € Il a vendu globalement pour 248 900 €.

7.4. Effectuer une addition ou une soustraction

Pour ajouter (ou soustraire) deux fractions, il faut les écrire avec le même dénominateur.

Lorsqu’on additionne deux fractions qui ont le MÊME DÉNOMINATEUR, on additionne les numérateurs a + b et on garde le dénominateur D.

a D+ b

D  a+b D

7.Fractions

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26

(27)

Lorsqu’on soustrait deux fractions qui ont le MÊME DÉNOMINATEUR, on soustrait les numérateurs a - b et on garde le dénominateur D.

a D- b

D  a-b D Exemples :

1) 3 8+3

4=3

8+3×2 4×2=3

8+6 8=9

8 2) 4

30− 1 10= 4

30− 1×3 10×3= 4

30− 3 30= 1

30 3) 4

5+1=4 5+5

5=9

5 4) 11

13+3=11

13+3×13 13 =11

13+39 13=50

13

7.5. Multiplier et simplifier des fractions

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : - On multiplie les numérateurs entre eux.

- On multiplie les dénominateurs entre eux.

Exemples : 7 2×3

4=7×3 2×4=21

8 Cas particulier : 5×3 4 = 5

1×3

4=5×3 1×4=15

4 Remarque: Bien observer les simplifications possibles avant de multiplier.

Exemples : 6

4× 9

12=3×2

2×2×3×3

3×4=3×3 2×4=9

8 Cas particulier : 7

6×6 4=7

4

On simplifie si possible avant de multiplier « en ligne » ! Exemples :

1) −7 18× 81

−56= 7×81

18×56= 567

1008=? Maladroit !!! Il est trop tard pour pouvoir simplifier ! Il vaut mieux faire comme ceci :

−7 18× 81

−56= 7×81

18×56=7×1×9×9

9×2×7×8=1×9 2×8= 9

16 2) −3

30×36

7 =−3×36

30×7 =−3×6×6

6×5×7 =−3×6

5×7 =−18 35

7.Fractions

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27

a b´ c

d  a´c b´d

(28)

7.6. Diviser avec des fractions 7.6.a. Inverse d’un nombre :

Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

Exemples :

► L’inverse de 2 est 0,5 (ou 1

2 ) car 2 × 0,5 = 1.

► L’inverse de 8 est 0,125 car 1

8 = 1 : 8 = 0,125.

► L’inverse de 9 est 1 9

► Quel est l’inverse de 2 7 ? 2

7×7 2=14

14=1 L’inverse de 2

7 est . 7 2 .

7.6.b. Règle de calcul :

Diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

Justification : a et b sont des nombres avec b ≠ 0 a÷b=a×1÷b=a×1 b

Conséquence : 4 7:5

3=4 7×3

5=12 35 .

4 7 5 3

=4 7×3

5=12 35

7.7. Fractions irréductibles

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

(on ne peut pas écrire la fraction plus simplement)

Exemple : Rendre irréductible la fraction 60 126

Pour rendre irréductible la fraction, on décompose son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

On a ainsi les décompositions de 60 et 126 :

donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7 On a : 60

126=2×2×3×5

2×3×3×7=2×5 3×7=10

21 10

21 est la fraction irréductible égale à 60 126 .

7.Fractions

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28

(29)

8. P

^RIORITÉS ^DE ^CALCUL

8.1. Calculer sans parenthèses

- Quand il n’y a que des additions et des soustractions (et pas de parenthèses), on effectue les calculs de gauche à droite.

- Quand il n’y a que des multiplications et des divisions (et pas de parenthèses), on effectue les calculs de gauche à droite.

- Quand il n’y a pas de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Exemples :

2+3×5=2+15=17 Remarques pratiques :

Lorsqu’on additionne plusieurs nombres, on peut commencer par ceux que l’on veut : 999 + 657 + 1 = 1 000 + 657

= 1 657

Lorsqu’on multiplie plusieurs nombres, on peut commencer par ceux que l’on veut : 25 × 33 × 4 = 100 × 33

= 3 300

8.2. Calculer avec des parenthèses

Les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

Exemple : (3+5)×7=(3+5)×7=8×7=56

8.3. Écrire les quotients

Lorsque la division est indiquée par « un trait de fraction », on n’est pas obligé d’écrire entre parenthèses les calculs au numérateur et au dénominateur, car ils sont prioritaires.

208+468

26−13 ⁼(208 + 468) : (26 – 13 )

8.Priorités de calcul

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29

(30)

9. L

^ES ^NOMBRES ^RELATIFS

9.1. Se repérer sur une droite graduée.

Sur une droite : Chaque point est repéré par un nombre relatif, appelé son abscisse.

Origine de la droite graduée Unité de longueur

Notation : L’abscisse du point A est +3 ou 3 On note : A (3) L’abscisse du point B est –2 On note : B (– 2)

9.2. Se repérer dans le plan

Un repère du plan est constitué de deux droites graduées de même origine O.

Si les deux droites sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal.

Le point O est appelé l’origine du repère.

Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres relatifs appelés les coordonnées de ce point. Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal est

l’abscisse et le second, lu sur l’axe vertical est l’ordonnée.

9.Les nombres relatifs

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30

On note les coordonnées des points entre parenthèses en commençant par l’abscisse.

A (2 ; 3) B (– 2 ; 1) C (– 3 ; – 2) D (0 ; 4) E (2 ; – 2) F (3 ; 0) O (0 ; 0)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 1 2

x y

O

(31)

9.3. Ajouter deux relatifs

9.3.a. Opposé d’un nombre relatif :

Deux nombres relatifs sont opposés si leur somme est nulle.

Conséquence : deux nombres opposés ont des signes différents et la même distance à zéro.

Notation : l’opposé d’un nombre a s’écrit –a.

Exemples :

120,25 et – 120,25 sont deux nombres opposés.

L’opposé de – 7 est le nombre 7.

9.3.b. Addition de deux nombres relatifs :

On sait déjà que la somme de deux nombres positifs est positive.

La somme de deux nombres opposés est nulle

Exemple : 4 + (– 4) = 0

La somme de deux nombres négatifs est négative et obtenue en ajoutant les distances à zéro.

Exemple : (–3) + (–8) = (–11)

Interprétation : une dette de 3 € qui s’ajoute à une dette de 8 € donne une dette totale de 11 €.

La somme de deux nombres de signes contraires a le signe du terme le plus éloigné de zéro et sa valeur est obtenue en enlevant la plus petite distance à zéro à la plus grande.

Exemples :

8,1 + (–3) = 5,1 Le résultat est positif car 8,1 (le nombre le plus loin de zéro) est positif.

Interprétation : Un gain de 8,10 € qui s’ajoute à une perte de 3 € donne un gain total de 5,10 €.

3 + (–8,1) = –5,1 Le résultat est négatif car – 8,1 (le nombre le plus loin de zéro) est négatif.

Interprétation: Un gain de 3 € qui s’ajoute à une perte de 8,10 € donne une perte totale de 5,10 €.

Livret de leçons de Maths 2018 -

31

x

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Distance à zéro : 7 unités Distance à zéro : 7 unités

(32)

9.4. Soustraire un nombre relatif

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Exemple 1 : 12 – (– 4) = 12 + (+ 4) = 16

On soustrait (– 4) On ajoute l’opposé de (– 4), c’est-à-dire (+ 4) Exemple 2 : – 4 – 12 = – 4 – (+ 12) = – 4 + (– 12)= – 16

On soustrait (+ 12) On ajoute l’opposé de 12, c’est-à-dire – 12

9.5. Multiplier des nombres relatifs

Règles des signes du produit de deux nombres : - Le produit de deux nombres de même signe est positif.

- Le produit de deux nombres de signes contraire est négatif.

Remarque : La distance à zéro s’obtient en multipliant les distances à zéro des facteurs.

Exemples : – 6 × 7 = – 42 – 3 × (– 8) = 24 Règle des signes générale

- S’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif, - S’il y a un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.

Exemple : – 2 × (– 3) × (– 5) × 6 = – 180

Il y a un nombre impair de facteurs négatifs, donc le résultat est négatif.

9.6. Diviser

Règles des signes du quotient de deux nombres : - Le quotient de deux nombres de même signe est positif.

- Le quotient de deux nombres de signes contraire est négatif.

Livret de leçons de Maths 2018 -

32

(33)

Remarques :

• La règle des signes est la même que pour les produits.

• La distance à zéro s’obtient en divisant les distances à zéro des nombres.

Exemples : a) −4

−5=4 5=0,8 b) −4

5 = 4

−5=−4

5=−0,8 Conséquences :

-a -b  a

b

et

^-a

b  a -b -a

b

10.P

^UISSANCES

10.1. Connaitre les définitions et vocabulaire

Pour tout nombre a relatif et n entier supérieur à 2 aⁿ=a

⏟

×a×…×a

n facteurs

.

Exemples : a⁴ = a × a × a × a.

À l’oral 3 exposant 4 – 3 exposant 3

Notation 3⁴ (–3)³

Calcul 3 × 3 × 3 × 3 (–3) × (–3) × (–3)

Écriture décimale 81 – 27

Cas particuliers :

• a¹ = a pour tout nombre a

• a⁰ = 1 pour tout nombre a

• 1ⁿ = 1 pour tout nombre entier n

• 0ⁿ = 0 pour tout nombre entier n

Avec la calculatrice :

Attention à l’écriture des calculs :

Pour calculer (–3)⁴, il ne faut pas oublier les parenthèses.

(–3)⁴ = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 81 alors que – 3⁴= – 3 × 3 × 3 × 3 = – 81

10.2. Calculer avec les puissances d’exposant négatif 10.2.a. Définition

11. Pour tout nombre a relatif et n entier relatif non nul, a^{– n}=1 aⁿ

10.Puissances

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33

CASIO Texas

Instrument

(34)

Notation : a^–¹=1

a est l’inverse de a.

11.1.a. Calculs de base

Exemples :

Écrire les quotients sous la forme a⁻ⁿ

A= 1

3×3×3×3×3= 1 3⁵=3⁻⁵

B= 1

(−6)×(−6)×(−6)= 1

(−6)³ =(−6)⁻³

Écrire sous la forme d’un nombre décimal : C =2⁻⁴=1

2⁴= 1

2×2×2×2= 1

16=0,0625 D=(−5)⁻³= 1

(−5)³= 1

(−5)×(−5)×(−5)= 1

−125=−0,008

11.2. Connaitre les priorités opératoires

Règles de priorités : Dans un calcul, on effectue d’abord les parenthèses, ensuite les puissances, ensuite les multiplications et les divisions et enfin les additions et les soustractions.

Exemples : ► 2 × 3² = 2 × 9 = 18 ► (2 × 3)² = 6² = 36

► 3 + 5² = 3 + 25 = 28 ► (3 + 5)² = 8² = 64

11.3. Calculer avec les puissances de 10

Pour tout nombre entier positif non nul n :

• 10ⁿ=10×…×10

⏟

n facteurs

=1 0

⏟

…0

n zéros

• 10⁻ⁿ= 1

10ⁿ= 1 10×...×10

⏟

n facteurs

=0,0...0

⏟

n zéros

1

Exemples : 10⁶=1 000000

⏟

6 zéros

10⁻⁴=0,000

⏟

4 zéros

1

11.4. Connaitre le vocabulaire :

Préfixe

Notation en puissance

de 10

En français Préfixe

Notation en puissance de

10

En français

Téra (T)

10

¹² ^Billion ^{déci (d)}

10

⁻¹ ^Dixième

Giga (G)

10

⁹ ^Milliard ^{centi (c)}

10

⁻² ^Centième

Méga (M)

10

⁶ ^Million ^{milli (m)}

10

⁻³ ^Millième

kilo (k)

10

³ ^mille ^{micro (μ)}

10

⁻⁶ Millionième

hecto (h)

10

² ^cent ^{nano (n)}

10

⁻⁹ Milliardième

deca (da)

10

¹ ^dix ^{pico (p)}

10

⁻¹² Billionième

10.Puissances

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34

(35)

11.5. Calculer avec les puissances 11.5.a. Formules

Le produit de deux puissances d’un même nombre s’obtient en ajoutant les exposants : a^m×a^p=a^m+^p

Le quotient de deux puissances d’un même nombre s’obtient en soustrayant les exposants : a^m

a^p=a^m−p

La puissance d’une puissance d’un nombre s’obtient en multipliant les exposants : (a^m)^p=a^{m x p}

Produit de deux puissances de même exposant : aⁿ×bⁿ=(a×b)ⁿ Quotient de deux puissances de même exposant : aⁿ

bⁿ=

(

^a^b

)

ⁿ

Exemples :

Écrire sous la forme aⁿ ou a⁻ⁿ :

A=10⁴×10⁷=10⁴⁺⁷=10¹¹ B=8⁷

8²=8⁷⁻²=8⁵ C=(3⁵)³=3^5×3=3¹⁵ D=3⁵×7⁵=(3×7)⁵=21⁵ E=12⁶

3⁶ =

(

¹²³

)

⁶⁼⁴⁶

11.6. Écriture scientifique

La notation scientifique ou écriture scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de ce nombre sous la forme : a×10ⁿ

a un nombre décimal compris entre 1 et 10 (mais pas 10) et n un entier relatif

Exemples : L’écriture scientifique du nombre 732 800 est 7,328

⏟

entre 1 et 10

× 10

⏟

⁵

puissance de 10

Remarques :

• 507,234×10²=50723,4 . Chaque chiffre de 507,234 gagne 2 rangs car 10²=100 .

• 351,03×10⁻²=3,5103 . Chaque chiffre perd 2 rangs car 10⁻²=0,01 Exemples : Donner la notation scientifique des nombres suivants.

A = 8 300 000 A = 8,3 × 10⁶

B = 0, 000 000 456 B = 4,56 × 10^–7

D = 147,3 × 10⁵ D = 1,473 × 10² × 10⁵ D = 1,473× 10⁷

E = 0,0125 × 10^–2 E = 1,25 × 10^–2× 10^–2 E = 1,25 × 10^–4

10.Puissances

Livret de leçons de Maths 2018 -

35

(36)

11.7. Les carrés parfaits

Les carrés de nombres entiers sont appelés des carrés parfaits :

1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20² = 400

12.C

^ALCUL ^LITTÉRAL

12.1. Vérifier une égalité

Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le signe d’égalité. Les deux membres d’une égalité doivent être de valeurs équivalentes.

Exemples : 3 + 5 = 4 × 2 2 × x – 4 = x – 1

12.2. Tester une égalité

Méthode :

➢ On écrit séparément les deux membres.

➢ On remplace chaque lettre par sa valeur numérique.

➢ On calcule chaque membre puis on compare leurs résultats.

 S’ils sont égaux, l’égalité est vraie

 S’ils sont différents, l’égalité est fausse.

Exemple : Tester l’égalité ci-dessous pour x = 2.

3 × x – 1 = x + 3

Membre de gauche : Membre de droite :

3× x – 1= 3 × 2 – 1 x + 3 = 2 + 3

= 6 – 1 = 5

= 5

Puisque les deux membres de l’égalité sont égaux, l’égalité est vraie pour x = 2.

12.Calcul littéral

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36

Écrire un nombre sous forme scientifique

avec la calculatrice CASIO collège Écrire un nombre sous forme scientifique avec la calculatrice TI collège

(37)

12.3. Simplifier une expression

Convention : On peut supprimer le symbole « × » devant une lettre ou devant une parenthèse ouvrante.

Exemples : 3 × a s’écrit 3 a 4 × (a – 2 ) s’écrit 4 ( a – 2 ) a × b s’écrit a b 15 + 4 × a s’écrit 15 + 4 a Attention :

➢ 2 × 3 ne s’écrit pas 23 !

➢ Pour simplifier 2 × a, on écrit 2a, on n’écrit pas a2 pour ne pas confondre avec a².

Notations : Nombres au carré, nombres au cube Exemples :

➢ 3 × 3 s’écrit 3² et se lit « 3 au carré »

➢ 6 × 6 s’écrit 6² et se lit « 6 au carré »

➢ 5 × 5 × 5 s’écrit 5³ et se lit « 5 au cube »

➢ x × x s’écrit x ² et se lit « x au carré »

➢ x × x × x s’écrit x ³ et se lit « x au cube »

Égalités évidentes : Pour tout nombre a : 1 × a = a et 0 × a = 0

12.4. Développer

Développer un produit signifie le transformer en une somme ou une différence.

24 × ( 3 + 5 ) = 24 × 3 + 24 × 5

Exemples :

➢ Calcul mental :

 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 – 13 × 1 = 1 300 – 13 = 1 287

 25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 25 × 100 + 25 × 4 = 2 500 + 100 = 2 600

➢ Développement d’une expression littérale :

 3(5a +7) = 3 × (5 a + 7) = 3 × 5 a + 3 × 7 = 15 a + 21

 −2(5 + 4 x) = −2 × (5 + 4 x) = −2 × 5 + (− 2) × 4 x = −10 − 8 x.

12.5. Utiliser la double distributivité

(a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

12.Calcul littéral

Livret de leçons de Maths 2018 -

37

(38)

Exemples :

A = (5 x + 1) (2 + 3 x) A = (5 x + 1) × (2 + 3 x)

A = 5 x × 2 + 5 x × 3 x + 1 × 2 + 1 × 3 x A = 10 x + 15 x ² + 2 + 3 x

A = 15 x² + 13 x + 2

B = ( – t – 3 )(t – 4 ) B = ( – t – 3 )×(t – 4 )

B = ( – t + (– 3) )×(t + (– 4) )

B = – t × t + ( – t )×( – 4) + (– 3) × t + (– 3) × (– 4) B = – t² + 4 t – 3t + 12

B = – t² + t + 12

12.6. Suppression des parenthèses

- S’il y a un signe « + » devant la parenthèse, on peut supprimer la parenthèse et le signe qui la précède sans changer le signe des nombres entre parenthèses.

- S’il y a un signe « − » devant la parenthèse, on peut supprimer la parenthèse et le signe qui la précède en changeant tous les signes des nombres entre

parenthèses.

Exemples :

C = 45 + x + (3 x – 12 ) C = 45 + x + 3 x – 12 C = 4 x + 33.

D = 12 x – ( – 4 x + 8) D = 12 x + 4 x – 8 D = 16 x – 8.

12.7. Identités remarquables

(a + b)² = a² + 2 ab + b² (a – b)² = a² – 2 ab + b² (a – b)(a + b) = a² – b² Exemples :

( x + 3)² = x ² + 2× x × 3 + 3²

= x ² + 6 x + 9

(2 x + 5)² = (2 x)² + 2× 2 x × 5 + 5²

= 4 x ² + 20 x + 25

(4 x – 3)² = (4x )² – 2 × 4 x × 3 + 3²

= 16 x ² – 24 x + 9 (3 + 7 x)(3 – 7 x) = 3² – (7 x)²

= 9 – 49 x ²

12.Calcul littéral

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