Une tr`es br`eve histoire thermique de la Terre

(1)

Une tr` es br` eve histoire thermique de la Terre

Un mod` ele simple de refroidissement. Cf. chapitre 13 de Schubert, Turcotte, Olson (2001).

M1 STE

19 mars 2008

TUE534T Une tr`es br`eve histoire thermique de la Terre

(2)

L’´ equation de la temp´ erature pour un fluide newtonien incompressible s’´ ecrit :

ρCp

„∂T

∂t

+

−→

v

·−−→

gradT

«

= div

“

k

−−→

gradT

”

+ h + Φ, (1)

o` u T est la temp´ erature, t le temps,

−→

v la vitesse, k la conductivit´ e thermique,

ρ

la masse volumique, C

p

la capacit´ e calorifique, et h la puissance radioactive

´ emise par unit´ e de volume. Le terme Φ correspond ` a la dissipation visqueuse : Φ =

µ∂

v

i

∂xj

„∂vi

∂xj

+

∂vj

∂xi

«

=

µ

2

„∂vi

∂xj

+

∂vj

∂xi

«2

,

avec

µ

la viscosit´ e dynamique. Nous supposons que le manteau ne re¸ coit pas de chaleur du noyau, et que les propri´ et´ es physiques sont constantes.

ρ

= 4000 kg.m

⁻³

C

p

= 1000 J.kg

⁻¹

.K

⁻¹

k = 4, 2 W.m

⁻¹

.K

⁻¹

1

On note f

_}

la valeur d’une quantit´ e moyenn´ ee sur le volume du manteau terrestre

}

:

f

}

= 1 V

m

Z

}

fdV

,

o` u V

m

est le volume du manteau. Montrer comment cette op´ eration, appliqu´ ee ` a Eq. (1), conduit ` a

ρCp

∂T}

∂t

= k S ext V

m

∂T

∂r

˛

˛S

ext

+ h

_}

+ Φ

_}.

(2)

(3)

Dans cette ´ equation, S ext est la surface ext´ erieure du manteau, et

∂T

∂r

˛

˛S

ext repr´ esente la moyenne surfacique du gradient radial de temp´ erature sur S ext.

R

Le terme convectif :

1 Vm

Z

}

−

→v ·−−→

gradTdV= Le terme diffusif :

1 Vm

Z

}

div

“ k−−→

gradT

” dV =

2

Nous mod´ elisons la pr´ esence de sources radioactives de chaleur (

238

U,

²³⁵

U,

²³²

Th,

⁴⁰

K) par un seul terme source dont la loi d’´ evolution est

h

}

(t) = h

}

(0)e

^−λt.

(3)

Rappeler pourquoi une telle ´ ecriture est compatible avec une loi de d´ esint´ egration classique. Qu’appelle-t-on la demi-vie ?

R

dN =

−λNdt

h

}

(t) = h

}

(0)/2

⇒τ

= ln 2/λ Pour la suite on prendra

(4)

λ= 1,4.10⁻¹⁷s⁻¹, h}(0) = 1,7.10⁻⁷W.m⁻³.

3

Sur le terme de dissipation visqueuse : Estimer l’ordre de grandeur de Φ

_}

. Cela justifie-t-il de le faire disparaˆıtre du bilan ?

R

Φ

_} ≈

2µ

„∂

v

i

∂xj

«2

≈

2µ

„ V L(=

d)

«2

≈

2 10

²¹

»π10⁻²/(π10⁷

) 1000 10

³

–2

≈

2.10

⁻⁹

W.m

⁻³.

IE un facteur 100 par rapport au h

}

(0). Pas ´ evident de n´ egliger ce terme au bout de quelques

τ. En fait, dans le cadre de l’approximation de Boussinesq, ce

terme de dissipation est

exactement

compens´ e par la puissance apport´ ee par le flux de flottabilit´ e thermique (on peut se dire que la dissipation produit de la chaleur qui est convertie pour d´ eplacer le fluide, c’est la bonne vieille

´ equivalence chaleur-travail). Voir l’annexe 3 de Jaupart, Labrosse et Mareschal, Temperatures, Heat and Energy in the Mantle of the Earth, volume 7 du Treatise on geophysics, sous presse.

4

Param´ etrisation de la convection thermique :

(5)

1 Le nombre de RayleighRadéterminant la vigueur de la convection du manteau est déterminé par :

Ra= gα(T_}−TS)d³

κν ,

oùTS est la température à la surface de la Terre,dl’épaisseur du manteau, g l’accélération de la gravité,κla diffusivité thermique, etνla viscosité cinématique. Que représente-t-il physiquement ?

R

Un rapport sans dimension du terme moteur (flottabilit´e) aux termes dissipatifs (visqueux et de conduction thermique).

2 En effectuant un raisonnement aux dimensions, justifier l’´ecriture de k ^∂T_∂r

˛

˛Sext

sous la forme

k ∂T

∂r

˛

˛Sext

=−kT}−TS

d

„Ra Rac

«1/3

, (4)

oùRac est la valeur critique du nombre de Rayleigh dans cette configuration (géométrie, conditions aux limites, mode de chauffage).

(6)

R

Le flux de chaleur conductif à la surface de ce système est donné par q=k∆T

δ ,

oùδest l’épaisseur de la couche limite thermique, et ∆Tle saut de température à travers la couche limite. Clairement, ∆T=T}−TS. Quant àδ, l’analyse dimensionnelle indique qu’il doit s’écrire

δ=L(=d)f

„Ra Rac

« ,

avecf = 1 siRa=Rac (au seuil).f est une fonction puissance, de la forme f

“Ra Ra_c

”

= hRa

Ra_c

iβ

.Soit

δ=d

»gα(T_}−TS)d³ Racκν

–β

.

Pour queδne soit plus fonction ded(qui n’est pas la longueur pertinente pour caractériser la convection développée), il faut

β=−1/3.

3 Montrer alors que l’´equation de refroidissement s´eculaire peut finalement se mettre sous la forme :

∂T_}

∂t =Ae^−λt−B(T}−TS)^4/3, (5)

(7)

avec

A= h_} ρCP

, B= k ρCp

„ αg Racκν

«1/3

.

Calcul. . .

(8)

5

Une premi` ere r´ esolution num´ erique de l’´ equation de refroidissement s´ eculaire du manteau terrestre :

!==================

program cooling

!==================

implicit none

! Parameters

double precision, parameter :: g = 10.

double precision, parameter :: rho = 4.e3 double precision, parameter :: mu = 1.e18 double precision, parameter :: Cp = 1.e3 double precision, parameter :: k = 4.2 double precision, parameter :: alpha =3.e−5 double precision, parameter :: lambda = 1.4e−17 double precision, parameter :: h0 = 1.7e−7 double precision, parameter :: yr = 365.25*86400 double precision, parameter :: rac = 1100.

double precision, parameter :: rearth = 6370.e3 double precision, parameter :: rcmb = 3480.e3 double precision, parameter :: nu0 = 1.65e2 double precision, parameter :: A0 = 7.e4

! Variables

double precision :: surf,vol, pi double precision :: kappa, nu, nu_temp double precision :: A, B, C double precision :: dt ! timestep size double precision :: t

double precision :: temp0,temp,tempsurf double precision :: temp02,temp2 double precision :: fint integer :: it, nt_dump

! Useful constants pi = 2.*asin(1.)

vol = (4./3.)*pi*(rearth**3−rcmb**3) surf = 4.*pi*rearth**2

!

kappa = k/(rho*Cp) nu = mu/rho

!

A = h0/(rho*Cp)

B = (kappa*surf/vol)*(((alpha*g)&

/(kappa*nu*rac))**(1./3.)) C = (kappa*surf/vol)*(((alpha*g)&

/(kappa*nu0*rac))**(1./3.)) write(6,*) ’Les constantes (SI)’

write(6,10) A, B, C write(6,*)

10 format (’A=’,1pe12.5,2x,&

’B=’,1pe12.5,2x,&

’C=’,1pe12.5,2x)

!

26 nov 07 22:32 cooling.f90 Page 1/2

! set timestep size dt = 1.e6*yr

!

! One dump every million year nt_dump = max(1,int((1.e6*yr/dt)))

! t = 0.

temp0 = 3273.

temp02 = temp0 tempsurf = 273.

it = 0

write (2,11) t/(1.e9)*yr,temp0,temp02 nu_temp = nu0 * exp (A0/temp02) write (3,11) t/(1.e9*yr),nu_temp

! Time loop, stops when t = t_today do while (t<4.55e9*yr) t = t + dt it = it + 1

fint = A*exp(−lambda*t) &

−1.*B*(temp0−tempsurf)**(4/3) temp = temp0 + dt*fint

!

fint = A*exp(−lambda*t) &

−1.*C*exp(−A0/(3.*temp02))&

*(temp02−tempsurf)**(4/3) temp2= temp02+ dt*fint

! update temp0 = temp temp02 = temp2

! dump temperature for both models in file if (mod(it,nt_dump)==0) then nu_temp = nu0 * exp (A0/temp02) write (2,11) t/(1.e9*yr),temp,temp2 write (3,11) t/(1.e9*yr),nu_temp end if

end do

!

11 format(3(1pe12.5,2x))

!======================

end program cooling

!======================

26 nov 07 22:32 cooling.f90 Page 2/2

ImprimÃ© par

lundi 26 novembre 2007 cooling.f90

1 Calculez les valeurs deAetB, en prenantg= 10 m.s⁻²,µ= 10¹⁸Pa.s, α= 3.10⁻⁵K⁻¹,Rac= 1100.

(9)

R Je trouve

A= 4,25.10⁻¹⁴SI,B= 5,98.10⁻¹⁸SI

(10)

2 Intégrer numériquement l’équation de refroidissement séculaire, entret= 0 ett= 4,55 Ga, en prenant comme température initiale

T}(t= 0) = 3273 K etTS = 273 K.

R

0 1 2 3 4

temps en milliards d’annees 2000

2500 3000 3500 4000

Temperature moyenne (K)

1 Myr 10 Myr 100 Myr 1000 Myr

3 Ce mod`ele est-il satisfaisant ?

(11)

R

Non. Cette plan`ete passe par une phase de surchauffe. Un syst`eme naturel ne peut pas avoir ce type de comportement.

6

La proximit´ e du solidus dans le manteau incite ` a tenir compte de la d´ ependance de la viscosit´ e ` a la temp´ erature. Une possibilit´ e est d’´ ecrire

ν

=

ν0

e

^A⁰^/T^},

(6)

o` u A

0

est une temp´ erature d’activation. Dans la suite, nous prendrons A

0

= 7.10

⁴

K,

ν0

= 1, 65.10

²

m

²

.s

⁻¹

.

1 Que représente cette loi ? Qu’implique-t-elle sur la fa¸con dont la convection aurait évolué au cours de l’histoire de la Terre ?

R

Une dépendance violente de la viscosité à la température. Il s’agit de rendre compte (de manièread hoc) de la possibilité d’être au moins partiellement fondu, c’est-à-dire beaucoup moins visqueux. Au début de l’histoire de la Terre (température plus élevée, h}plus grand), la convection est beaucoup plus vigoureuse.

2 Montrer que l’´equation du refroidissement s´eculaire devient

∂T_}

∂t =Ae^−λt−C(T}−TS)^4/3e^−A⁰^/(3T^}⁾, (7) o`uC est une constante que vous expliciterez.

(12)

R Je trouve

C = k ρCp

Sext Vm

„ αg Racκν0

«1/3

. L’application num´erique donneC= 6,87.10⁻¹⁴SI.

3 Intégrez numériquement cette équation ; vous représenterez également la variation de la viscositéνdu manteau en fonction du temps.

(13)

R

Pour ce cas, l’intégration est instable si on prend ∆tégal à un milliard d’années.

0 1 2 3 4 5

temps en milliards d’annees 2000

2500 3000 3500 4000

Temperature moyenne (K)

1 Myr 10 Myr 100 Myr

On perd un millier deKsur l’histoire de la Terre. Passée une première phase de refroidissement rapide, la tendance est linéaire, ∆T_}=−100 K/Gyr.

(14)

R

La viscosit´e croˆıt de 3 `a 4 ordres de grandeur.

0 1 2 3 4

temps (milliards d’annees) 1e+11

1e+12 1e+13 1e+14 1e+15 1e+16

viscosite cinematique (m^2s^-1)

1 Myr 10 Myr 100 Myr

4 Qu’illustre cette histoire thermique ?

(15)

R

L’importance de la rétroaction (feedback) non-linéaire de la température sur l’écoulement via la loi rhéologique introduite. Cette régulation conduit à un refroidissement initial rapide, suivie d’une phase assez calme, durant laquelle la terre se refroidit essentiellement en épaississant sa couche limite thermique supérieure (sa lithosphère).

0 1 2 3 4

time t (Gyr)

0 0

1000 1000

2000 2000

3000 3000

4000 4000

5000 5000

6000 6000

7000 7000

8000 8000

9000 9000

10000 10000

11000 11000

12000 12000

13000 13000

14000 14000

boundary layer thickness (m)

(16)

Note

La param´etrisationad hoca ses limites :

0 1 2 3 4

time t 1000

1500 2000 2500 3000 3500 4000

mean temperature (K)

A0 = 7e4 A0 = 5e4 A0 = 9e4

7