Théorème de Rothstein–Trager
Arnaud Girand 17 juin 2012
Référence :
– [SP99], p. 153–155
Proposition 1 (Rothstein–Trager)
SoientP, Q∈Q[X]premiers entre eux tels quedeg(P)<deg(Q).
On suppose de plus Qunitaire et sans facteur carré.
Soit K/Qune extension dans laquelle on puisse écrire1 :
Z P Q=
n
X
i=1
ciln(Pi) (1)
Quitte à regrouper, on peut supposer lesci∈K∗deux à deux distincts. La nature deQnous permet également2de supposer lesPi unitaires sans facteurs carrés, non constants3et premiers entre eux deux à deux.
Alors :
(i) pour tout i∈[n] on a :
Pi= (P−ciQ′)∧Q (ii) lesci sont exactement les racines du polynôme suivant :
R(Y) := ResX(P −Y Q′, Q)∈K[Y]
Démonstration :
(i) Commençons par poser, pouri∈[n]:
Ui:=Y
j6=i
Pj
Ensuite, si on dérive (formellement) la relation ( 1 ) on obtient :
P Q=
n
X
i=1
ci
Pi′ Pi
D’où :
P
n
Y
j=1
Pj =Q
n
X
j=1
cjPj′Uj
On déduit de cette dernière relation que, dansK[X]: Q |
n
Y
i=1
Pi et∀i∈[n], Pi |
n
X
j=1
cjPj′Uj
Soiti∈[n]; alors pour tous lesj 6=i,Pi|Uj et donc on déduit de la seconde relation ci–avant que :
Pi | ciQPi′Ui
1. On a existence d’une telle extension par théorème de décomposition en éléments simples.
2. Toujours par décomposition en éléments simples.
3. cardeg(P)<deg(Q).
1
OrPiest sans facteur carré doncPi∧Pi′= 1. En sus,Pi∧Pj = 1sij6= 1doncPi∧Ui = 1: le théorème de Gauss nous permet alors de conclure quePi|Q, ergo (comme lesPisont premiers entre euxdeux à deux) :
n
Y
i=1
Pi | Q Les polynômesQn
i=1Pi etQsont donc unitaires associés, d’où in fine : Q=
n
Y
i=1
Pi
Soiti∈ [n]; on se propose à présent de démontrer que Pi|P −ciQ′. On déduit du résultat que l’on vient de démontrer surQque :
Q′ =
n
X
j=1
Pj′Uj
Ergo :
P−ciQ′=
n
X
j=1
cjPj′Uj−ci n
X
j=1
Pj′Uj
=
n
X
j=1
(cj−ci)Pj′Uj
Or la quantité(ci−cj)Pj′Ujest nulle sii=jet divisible parPisinon d’où le résultat attendu : Pi | P−ciQ′
Remarquons à présent que, sii∈[n]: (P−ciQ′)∧Q= (P−ciQ′)∧
n
Y
j=1
Pj
=
n
Y
j=1
((P−ciQ′)∧Pj)car lesPj sont premiers entre eux deux à deux
Or, sij6=i:
(P −ciQ′)∧Pj=
n
X
k=1
(ck−ci)Pk′Uk
!
∧Pj
= (cj−ci)Pj′Uj∧Pj carPj divise les termes pour
= 1 carPj′∧Pj=Uj∧Pj = 1 D’où :
(P−ciQ′)∧Q= (P−ciQ′)∧Pi
=Pi carPi | P−ciQ′
(ii) On déduit du point(i)que pour tout i∈[n] ci est tel queP −ciQ′ et Qont un pgcd non trivial ; il est de fait racine du résultantR.
Réciproquement, sicest une racine deRdans une extensionL/K, alorsS:= (P−cQ′)∧Q∈L[X] est de degré strictement positif. Si on se donneT un facteur irréductible de S dansL[X]on a alors :
T | P −cQ′ etT | Q CommeQ=Q
iPi avec lesPi premiers entre eux deux à deux, T doit alors nécessairement diviser un et un seul desPi, soitPi0. Mais :
P−cQ′=
n
X
i=1
(ci−c)Pi′Ui
2
CommeT divisePi0 donc tous lesUi pouri6=i0 et queT|P−cQ′ on a alors : T | (ci0−c)Pi′0Ui0
MaisT ∤Ui0, ainsi si on suppose quec est distinct de tous lesci on trouveT|Pi′0 et doncPi0
admet un facteur carré, ce qui est absurde et, accessoirement, conclut la preuve.
Références
[SP99] Philippe Saux-Picart. Cours de calcul formel : algorithmes fondamentaux. Ellipses, 1999.
3
