D163. Retour à la fourmilière Traduisons l’énoncé :
Soit une fourmi A qui déambule sur une droite D_A, avec une vitesse v1.
Soit une fourmi B qui retourne à la maison sur une droite D_B avec une vitesse v2.
(eh-oh, eh-oh, on rentre du boulot / eh-oh, eh-oh, on rentre du boulot….) Les 2 droites se coupent en O et font entre elles un angle
Au temps t1=0, la fourmi A se trouve en A1 (OA1=a), la fourmi B en B1 (OB1=b) et A1B1=d1=87 cm.
Au temps t2=18s, la fourmi A se trouve en A2 (OA2=a+v1.t2), la fourmi B en B2 (OB2=b+v2.t2) et A2B2=d2=75 cm.
Au temps t3=88s, la fourmi A se trouve en A3 (OA2=a+v1.t3), la fourmi B en B3 (OB3=b+v2.t3) et A3B3=d3=65 cm.
D’une manière générale :
au temps t, la fourmi A se trouve en A (OA=a+v1.t), la fourmi B en B (OB=b+v2.t).
Il vient :
AB2 = d2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos( )
d2 = (a+v1.t)2 + (b+v2.t)2 – 2. (a+v1.t). (b+v2.t).cos( ) d2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos( )
+ t2.(v12+v22-2.v1.v2.cos( )) + t.(a.v1+b.v2- (a.v2+b.v1).cos( )) Soit d2 = d12 + A.t2 + B.t (1)
Il vient:
A.t22 + B.t2 = d22 – d12 A.t32 + B.t3 = d32 – d12
On en tire les valeurs de A et B :
A = [-t3.d22 + t2.d32 + d12(t3-t2)] / [t2.t3.(t3-t2)] = 1 B = [t32.d22 - t22.d32 + d12(t3-t2)] / [t2.t3.(t3-t2)] = -126
Cherchons la distance d minimum : dérivons (1) et annulons : tm = - B/2A = 63 s Et
dm2 = d12 + A.tm2 + B.tm = d12 – B2/4A
dm = 60 cm
Commentaire: par comparaison avec la difficulté de tas de problèmes, je mettrais 1 seule étoile à celui-ci.
