A142-Rien que des 1 Solution
La réponse aux deux questions est oui :
Question n°1
Contrairement aux carrés qui se terminent exclusivement par 0,1,4,5 et 6 et dont la suite finale la plus longue est 444, les cubes peuvent se terminer par tous les chiffres de 0 à 9 et par n’importe quelle suite de n fois le chiffre i pour i=0 à 9.
S’agissant du nombre 1, on sait que 13 1, 713357911 et 4713104487111. Peut-on généraliser avec une suite finale de 2004 fois le chiffre 1 ?
On raisonne par récurrence. C’est vérifié pour les suites de longueur 1,2,3. On suppose que c’est vérifié jusqu’au rang k et qu’il existe un entier N tel que k
fois) (k 1111...111 A.10
N3k k1 avec A entier >0.
Soit Nk1Nk B.10k avec B entier > 0 à déterminer. On en déduit
2k 2
k k 3
k 3 k k
3 1
k (N B.10 ) N 3.10.B.N multiplede10
N . Les k derniers chiffres de N3k1
sont ceux de N3k et sont donc composés exclusivement de 1.Soit A le (k+1)ième chiffre de
3
Nken partant de la fin. L’homologue dans l’expression 3.10k.B.N2k est le chiffre des unités de 3B. Donc le (k+1)ième chiffre en partant de la fin de N3k1 est le chiffre des unités de
l’expression A+3B. Or pour n’importe quel chiffre A prenant les valeurs de 0 à 9, il existe un chiffre B tel que A+3B se termine par 1 comme le montre le tableau ci-après :
Ce tableau permet de déterminer très simplement à partir de l’entier N dont le cube se k termine par k fois le chiffre 1 l’entier Nk1 dont le cube se termine par (k+1) fois le même chiffre 1. Ci-après les résultats obtenus pour k variant de 1 à 7.
A titre d’exemple, le cube de 8 471 est 607 860 671 111 qui se termine par 4 fois le chiffre 1.
Le cinquième chiffre à partir de la fin de ce dernier nombre est 7. L’abaque ci-dessus montre
k
1 1 1
2 71 357 911
3 471 104 487 111
4 8 471 607 860 671 111
5 88 471 692 472 942 511 111
6 288 471 24 005 263 647 111 111 7 8 288 471 569 407 609 691 831 111 111
Nk 3
Nk
A B unité(A+ 3B)
0 7 1
1 0 1
2 3 1
3 6 1
4 9 1
5 2 1
6 5 1
7 8 1
8 1 1
9 4 1
que pour A=7, B=8. On en déduit l’entier suivant 8 471 + 8*10 000 = 88 471 dont le cube se termine par 5 fois le chiffre 1 et ainsi de suite jusqu’à 2004.
Question n°2
On énumère tous les nombres formés de 1 : 1, 11, 111, 1 111, 11 111,….jusqu’à 2004. Le nombre maximum de restes possibles quand tous ces nombres sont divisés par 2004 est 2004.
On ajoute un chiffre 1 de plus. D’après le principe des tiroirs, deux nombres de cette liste au moins auront le même reste de la division par 2004 et sont par conséquent congruents modulo 2004.
Or la différence de deux nombres qui sont congruents modulo 2004 est congruente à 0 modulo 2004 ce qui signifie que cette différence est un multiple de 2004.
On en déduit qu’en soustrayant le plus petit nombre du plus grand nombre ayant la même reste dans la division par 2004, on obtient une nombre de la forme cherchée avec une succession de chiffres 1 puis une succession de chiffres 0.
