AUSGLEICHUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN OUADRATE BEI GRUPPENWEISER ANORDNUNG DER
BEOBACHTUNGEN.
V o ~ N. E. NORLUND
in KOPENIfAGEN.
I. I n der A u s g l e i c h u n g s r e c h n u n g b e g n i i g t m a n sich n i c h t d a m i t , die w a h r - s c h e i n l i c h s t e n W e r t e der U n b e k a n n t e n zl, z~ . . . . zn zu b e s t i m m e n , s o n d e r n m a n s u c h t zugleich a u c h die r e l a t i v e G e n a u i g k e i t dieser G r S s s e n zu finden. O f t i s t es a u s s e r d e m y o n B e d e u t u n g , den m i t t l e r e n F e h l e r #F e i n e r F u n k t i o n F(zl, z2, . . . zn) tier U n b e k a n n t e n zu finden. H i e r z u d i e n t ein S y s t e m y o n n ~ Multi- p l i k a t o r e n Qij (i, j = I, 2, . . . n); sie sind die E l e m e n t e d e r M a t r i x , welche r e z i p r o k zu der a u s d e n K o e f f i z i e n t e n der N o r m a l g l e i c h u n g e n g e b i l d e t e n q u a d r a t i s c h e n :Matrix ist. E i n A u s g l e i c h u n g s p r o b l e m k a n n als gelSst a n g e s e h e n w e r d e n , w e n n m a n die d a z u g e h 5 r e n d e n :Multiplikatoren b e s t i m m t hat.
n ~ m l i e h
W i e b e k a n n t h a t m a n O F O F
Oz~ Ozj
einer Beobachtung ist.I. I )
H i e r a u s f o l g t i n s b e s o n d e r e , wo # d e r m i t t l e r e F e h l e r
dass der m i t t l e r e F e h l e r tt~i y o n zi aus
#~i - - tt ~ Qii fiir i - - I, 2, . . . n (I. 2) b e s t i m m t wird. Qi~ ist also d a s r e z i p r o k e G e w i c h t v o n z/, w e n n das G e w i c h t e i n e r B e o b a c h t u n g gleich I g e s e t z t wird. W e i t e r g i l t
Zj = Z QijPi f i i r j = I , 2, . . . qz ( I . 3) i~1
wo Pj, Pc, . . . P,~ die l i n k e n S e i t e n in d e n N o r m a l g l e i c h u n g e n sind. D i e n u m e - r i s c h e n W e r t e d e r G r 6 s s e n
Q~j
k S n n e n d u r c h den y o n G a u s s a n g e g e b e n e n Algo- r i t h m u s b e s t i m m t w e r d e n . D i e s e r f i i h r t a b e t zu weitli~ufigen u n d w e n i g iiber- s i c h t l i c h e n R e c h n u n g e n , u n d z w a r b e s o n d e r s d a n n , w e n n die A n z a h l d e r Un- b e k a n n t e n gross ist. D i e verhiiltnismiissig w e n i g e n Fiille, wo m a n i m s t a n d e ist,Qij
explizit als F u n k t i o n d e r in ein A u s g l e i c h u n g s p r o b l e m e i n g e h e n d e n P a r a m e t e r zu b e s t i m m e n , sind d e s h a l b y o n I n t e r e s s e , w e n n m a n b e u r t e i l e n will, wie d a s G e w i c h t e i n e r F u n k t i o n der U n b e k a n u t e n yon diesen P a r a m e t e r n abhiingt.I n e i n e r vor k u r z e m e r s c h i e n e n e n A b h a n d l u n g h a t P r o f . I. B o n s d o r f f I den Fall b e t r a c h t e t , wo zur B e s t i m m u n g d e r D i f f e r e n z e n z w i s c h e n n U n b e k a n n t e n zl, z2, 9 9 9 z~ n G r u p p e n y o n r gleich g e n a u e n B e o b a c h t u n g e n l~', 1, /i, 2 . . . . l~. r vor- liegen, die F e h l e r g l e i c h u n g e n y o n d e r F o r m
(::i
l~, ~ + ;~, ~ = ki + z ~ + ~ - j (I. 4)
1, 2, ~
m i t z,~+~ ~ z~ geben, u n d e r h a t die F r a g e a u f g e w o r f e n , wie das G e w i c h t d e r U n b e k a n n t e n v o n den g a n z e n Z a h l e n n u n d r abhiingt. Die G r u p p e n k o n s t a n t e n k~ sind O r i e n t i e r u n g s g r S s s e n , die zu b e s t i m m e n k e i n I n t e r e s s e d a r b i e t e t ; sie w e r d e n d e s h a l b v o r t e i l h a f t e r w e i s e e l i m i n i e r t .
I m f o l g e n d e n b e h a n d e l n w i r in w 2 - - 12 d e n a l l g e m e i n e r e n Fall, w o n G r u p p e n yon m B e o b a c h t u n g e n /el,
I~,2,... l~,~
v o r l i e g e n , die F e h l e r g l e i c h u n g e n yon d e r F o r mli, ~ + Z~, ~ ~- k~ + as, ~ z~+,-~
,v=l I , 2 , ~
mi~
z~+~--~z~
geben.den, dass
I n d e m d i e U n b e k a n n t e n zl, z ~ , . . , z , so b e s t i m m t wer-
i = 1 s = l
ein M i n i m u m wird, wollen w i r e i n f a c h e M e t h o d e n zur B e s t i m m u n g aller Hilfs- g r S s s e n
Qij
a n g e b e n ; a u s s e r d e m w e r d e n w i r zeigen, dass sich Q~'j fiir n - ~ ac e i n e m G r e n z w e r t n ~ h e r t . D i e M u l t i p l i k a t o r e n g e n i i g e n e i n e r l i n e a r e n n i c h t h o m o g e n e n D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g . W i r w e r d e n b e w e i s e n , d a s s k e i n e d e r Null- stellen fiir die z u g e h S r i g e c h a r a k t e r i s t i s c h e F u n k t i o nf(z)
a u f d e m R a n d e des x Verhandlungen der in Kaunas abgehaltenen Io. Tagung der Baltischen Geodiitischen Kom- mission, S. I2o, I938.Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 285 Einheitskreises liegt. Diese Eigenschaft setzt uns instand, Qij durch f ( z ) aus- zudriicken.
In w 13--29 behandeln wir dann ausfiihrlicher die Gleichungen (I. 4). Die charakteristische Funktion f ( z ) h a t in diesem Fall eine Nullstelle zweiter Ord- nung im P u n k t e z = I, w~hrend alle anderen Nullstellen einfach sind und einen von I verschiedenen absoluten W e r t haben. Die Multiplikatoren kSnnen ent- weder mit Hilfe einer Kettenbruchentwicklung oder mit Hilfe einer bemerkens- werten Klasse yon Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestimmt werden.
Auch werden wir zeigen, dass Q~ durch die LSsungen gewisser linearer homo- gener Differenzengleichungen mit einfachen h n f a n g s b e d i n g u n g e n ausgedriickt werden kann.
K A P I T E L I.
I
aus den Koeffizienten der Fehlergleichungen gebildete Matrix
I a l l a l ~ . . . a i r 1
H e r l e i t u n g der G e w i c h t s g l e i c h u n g e n .
2. W i r betrachten die n . m Fehlergleichungen (I. 5), die alle das Gewicht haben sollen. Wir nehmen an, dass m > r u n d n > 2 r - - 2 sowie dass die
W i r bilden nun zuerst die /~ormalgleichung fiir ki, die
gibt. Mit ttilfe dieser Gleichung eliminieren wir ki aus den Fehlergleichungen (I. 5) und bekommen dann die reduzierten Fehlergleichungen
li, j + ~i j ___I li 8 = a j ~ . as~ Z i + , - - 1
' ~Tt ' m
s = l v = l s = l
l n d e m man diese Gieichungen mit a j ~ - - I 2a~, multipliziert a n d addiert, bekom- m
men wir die par~iellen Normalgleichungen. Da wir n u r die rechten Seiten der den R a n g r + 1 hat.
nach Division m i t m
2 . I )
m
- - = - - a s ~ z i T v - - 1
m " m '
s = l v = l s = l
G l e i c h u n g e n brauchen, begniigen wir uns damit, diese aufzuschreiben; sie h a b e n folgende F o r m :
a ~ a ~ a,~ as~ zi+lz--1 ~ = I~ 2~ . . . Y.
/~=1 8 = 1 ~n s = l $--1
W i r finden im ganzen n solche G r u p p e n yon r partiellen N o r m a l g l e i c h u n g e n e n t s p r e c h e n d i = I, 2 . . . . n. Zu z~ gehSrt die I. G l e i c h u n g in der / t e n Gruppe, die 2. G l e i c h u n g in der ( i - - I ) t e n Gruppe, . . . die rte G l e i c h u n g in der (i -- r + I)ten Gruppe. I n d e m m a n diese r G l e i c h u n g e n gliedweise addiert, erh~lt m a n die N o r m a l g l e i c h u n g fiir z~., wovon die rechte Seite l a u t e t
CrZi "~ Cr--l(~i+l "~- 2'i--1) Ji- Cr--2(Zi+2 21- 2~/--2) "~- " ' " -~ C l ( ~ i + r - - I @ Zi--r-bl). (2. 2) Das ganze System yon N o r m a l g l e i c h u n g e n erhiilt m a n dadurch, dass m a n i die Wer~e I, 2, . . . n gibt u n d sich d a r a n erinnert, dass zn+_8--z_+~ ist. H i e r h a b e n wir kiirzehalber gesetzt
)
= E - - gist, Cts,~-t-p i - ~ = O ~ I~ . . . r - - I .
(2.3)
Cr--p as, ~ as, ~ + p ~ft '
~,=1 s = l s = l e = l
Die G e w i c h t s g l e i c h u n g e n gehen n u n aus den N o r m a l g l e i c h u n g e n hervor, indem m a n deren rechte Seite gleich o oder I setzt. Aus (z. 2) f o l g t daher, dass die G e w i c h t s g l e i c h u n g e n folgende F o r m haben:
crQi, j q- c r - l ( Q l + l , j + Q i - I , j ) q- c r - 2 ( Q i + 2 , j q- Q i - 2 , j ) q - . . .
q- c l ( Q i + r - l , j -}- Q i - r + i , j ) - ~ 9]i,j (2. 4 ) WO
Q+,,~ = Q,~+~,j (z.
5)
u n d
[ ~ fiir i ~ j
~i. j = ffir i = j.
Zur B e s t i m m u n g der n" M u l t i p l i k a t o r e n @j haben wir somit n ~ lineare Gleichungen, die m a n d a d u r e h erhitlt, dass m a n in (z. 4) den GrSssen i u n d j die W e r t e I, 2, . . . n gibt. Alle diese G l e i c h u n g e n k S n n e n zu den beiden G l e i c h u n g e n (2.4) u n d (z. 5) z u s a m m e n g e f a s s t werden. Abet (z. 4) ist eine lineare n i c h t homo- gene Differenzengleichung, u n d die B e s t i m m u n g der M u l t i p l i k a t o r e n ist deshalb d a r a u f reduziert, eine periodische L S s u n g der D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g m i t der Periode
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 2 8 7
n zu finden. W i r werden zur LSsung dieser Differenzengleichung eine sehr ein- fache Methode angeben, aber zuvor wollen wir elnen fiir das folgende nfitzlichen Hilfsatz herleiten.
Die eharakteristisehe Gleiehung.
3. Unsere Differenzengleichung ist yon der Ordnung 2 ( r -
I).
Koeffizienten bilden wir ein Polynom f(z) vom Grade 2 (r -- I):
Aus ihren
f(~)
z r _ 1 - - Z C s ( ~ r - - s -~-~-~+~)
+ Cr. (3" I)Wir nennen f ( z ) die charakteristische Funktion, und die Gleichung f(~) = o
wird als chamkteristische Gleichung bezeichnet. Diese ist offenbar eine reziproke Gleichung. Wir wollen beweisen, dass keine der Wurzeln der charakteristlschen Gleichung auf dem Einheitskreis liegt. Setzen wir
~S = as1 x r - 1 "~ t~s2 x r - 3 "~- t~s3X ~'-5 -~ "'" "-}- a s r X - ( r - l )
~s = a s l X - ( r - l ) "~- a s 2 x - ( r - 3 ) -~- a s 3 X - ( r - 5 ) -~- " ' ' + a s r X r - 1 dann ist
- ~ = .:,~ + Y a~,~.~,~§ ~ + x-~)
r--2
+ Z a s " g l s ' ' § + x - 4 ) + " ' " + as'las'r(x2r--2 + x - - 2 r § qv~l
Aus dieser Beziehung in Verbindung mit (2.3) folgt .f(x '~1 __ ~_~ a~fl~ I
~ _ ~ - ~ E ~ s Z ~ (3.2)
s = l 8 = 1 8 = 1
Die rechte Seite k a n n mit Hilfe der I d e n t i t ~ t 1
s ~ l s : l 8 ~ 1 s = l p = l
( 3 . 3 )
umgeformt werden.
1 RAGNAR FRISCtt: Sur les s e m i - i n v a r i a n t s e t m o m e n t s e m p l o y 6 s darts l ' 6 t u d e des d i s t r i b u - t i o n s s t a t i s t i q u e s , S k r i f t e r u t g i t t av D e t N o r s k e V i d e n s k a p s - A k a d e m i i Oslo, Hist.-Filos. K l a s s e
1926, No. 3, S. 26.
Setzen wir x = e iw, wo w reell ist, u n d n e h m e n wir an, dass die Koeffizien- t e n as, in den F e h l e r g l e i c h u n g e n reell sind, so sind as u n d fls k o n j u g i e r t e kom- plexe Zahlen, u n d wir e r h a l t e n
i ~
2 m e - - 2 ( , ' - - l ) i ~ , f ( e 2 i ~ ) =_
las--a l
S : I p : l
Diese S u m m e y o n Q u a d r a t e n k a n n n i c h t Null w e r d e n ; denn h i e r z u w~re erfor- derlich, dass as e i n e n yon s u n a b h g n g i g e n k o n s t a n t e n W e r t C h~tte, das heisst, dass zwischen den Zahlen as, l i n e a r e B e z i e h u n g e n y o n der F o r m
a s l e i w ( r - 1 ) q - a s 2 e t w ( r - 3 ) q - . . . q - a s r e - i w ( r - 1 ) ~ C 8 - = I , 2 , . . . m
bestgnden. H i e r a u s wiirde a b e r folgen, dass der R a n g fiir die M a t r i x (2. I) ~ r wgre, was im W i d e r s p r u c h zu u n s e r e r V o r a u s s e t z u n g steht. F o l g l i c h b e f r i e d i g t die c h a r a k t e r i s t i s c h e F u n k t i o n die U n g l e i c h u n g
f ( z ) :> o (3.4)
2,r---1
auf dem R a n d e des Einheitskreises.
4. Die D e t e r m i n a n t e J der G e w i c h t s g l e i c h u n g e n k a n n d u r c h die charak- teristische F u n k t i o n a u s g e d r i i c k t werden. M a n h a t
, J =
r O r - - 1 C r - - 2 9 9 9 C 1 0 0 . . . C 1 C 2 C 3 . . . O r - - 1
C r - - 1 Cr C r - - 1 . . . C 2 C 1 0 . . . 0 C 1 C 2 . . . C l ~ 2
C r - - 2 C r - - 1 Cr . . . C 3 C 2 C 1 . . . 0 0 C 1 . . . O r - - 3
C r - - 1 C ~ 2 C r - - 3 . . . 0 0 0 . . . C 2 C 3 Ca . , . Or
(4. I)
Alle E l e m e n t e in d e r t I a u p t d i a g o n a l e sind cr, u n d jede Zeile g e h t aus der dar- i i b e r s t e h e n d e n d u r c h zyklische V e r s c h i e b u n g der E l e m e n t e h e r v o r . M u l t i p l i z i e r t m a n diese D e t e r m i n a n t e , die yon der O r d n u n g n ist, m i t der D e t e r m i n a n t e
D =
I 8 1 81 . . . 8 t
2 ?l--1
I 8 2 8 2 . . . 8~
2 n - - 1
I 8 n 8 n 9 9 9 8 n
(4.
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate.
wo 81, 8.2 .. . . Sn die W u r z e l n der G l e i c h u n g X n ~ I sind, so finder m a n
H i e r a u s f o l g t
D a a b e r ist, h a t m a n
~ / D =
.f(el) e l f ( E l ) . , e~--lf(81) f(e2) 8, J ( ~ ) . 8'~--1f(8.2)
8 r - - 1 ~ ; - - 1 8 ; - - 1
f(Sn) 8nf(8.) 8~--lf(',,)
8 r - - 1 r--1 8 , - - 1
~ 8 n n
J = f ( 8 , ) f ( ~ , ) . . , f(Sn)
81 8 2 . . . 8n) r-1
< 8, . . . ~,, = ( - I) ~-~
LJ r = ( - - I ) ( r - - l ) ( , , - - l ) f ( 8 , ) f ( 8 , a ) . . . f(8,,).
289
(4.3)
(4.4) D a wir n u n bewiesen h a b e n , dass die c h a r a k t e r i s t i s c h e F u n k t i o n a u f dem Ein- h e i t s k r e i s e n i c h t v e r s c h w i n d e n kann, sieht man, dass J fiir alle W e r t e yon n y o n o v e r s c h i e d e n ist. Die G e w i c h t s g l e i c h u n g e n h a b e n deshalb due u n d n u r eine LSsung, u n d es g i b t n u r eine L S s u n g der D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g (2.4), die p e r i o d i s c h m i t der P e r i o d e n ist. D a J a u c h die D e t e r m i n a n t e der N o r m a l g l e i c h u n g e n ist, f o l g t hieraus ausserdem, dass diese G l e i e h u n g e n eine e i n d e u t i g b e s t i m m t e L S s u n g & haben.
L i i s u n g d e r D i f f e r e n z e n g l e i e h u n g .
5. W i r wollen n u n die M u l t i p l i k a t o r e n Qi, j b e s t i m m e n . W i r setzen P(Qi) ~ Cr Qi q- C r - i ( Q i + l -q- Qi-1) J r - . . . q- C l ( Q i + r - 1 q- Q i - r + l ) . D i e G l e i c h u n g e n (2.4) k S n n e n d a n n so g e s c h r i e b e n w e r d e n :
P(Q;~) = v;~ (i, j - - ~, 2 , . . . , ) Es seien wie oben e~ (v = I, 2 , . . . n) die n t e n E i n h e i t s w u r z e l n . M a n h a t
r--lq-i--j (C r + + e71) + "'" + el (8 r--1 +
8~--'r+1)):
~-Jf(B~).p ( , , ) = 8 r - ' + ' - j Cr--1(8~ . ,
37--39615, Acta mathematica. 72. Imprim6 lo 26 juin 1940.
(5. i)
W i r wollen zeigen, dass
n ~ r - - l - ~ i - - j
Dieser A u s d r u e k k a n n hie sinnlos werden, weil der ~ e n n e r f(s~) n a c h dem, was wir eben gesehen haben, n i c h t v e r s c h w i n d e n kann. Der A u s d r u c k (5.2) stellt eine periodische F u n k t i o n yon i m i t der Periode ,n dar, weil ~ = I. Se~zg m a n (5.2) in (5. I) ein, so b e k o m m t m a n
P(Qii) = I_ /) (~r-- l+i--j)
. /(,~)
q~=-I
I n . .
= ;~ ~ ' ~ - ~ = v...
Der A u s d r u c k (5.2) befriedigt also die Differenzengleichung.
(5.2) so geschrieben werden:
Setz~ m a n
Ausfiihrlicher k a n n
Cr Jr Or--1 (~v -~- 8~-1) _[_ . . . _~_ el ( ~ r - - 1 _[_ ~ - r + l )
u n d ersetzt v d u r c h n - v, so erh~tlt mun d u r c h gliedweise A d d i t i o n der beiden d a d u r c h g e f u n d e n e n G l e i c h u n g e n
.-~ co~ - j )
I ~ ( 5 . 3 )
~=0 Cr ~- 2 Cr--l COS ~ -~- 2 Cr--2 C O S ~- " ' " "~ 2 C 1 C O S
Tt n ~
Die n ~ GrSssen Qij sind n i c h t alle verschieden. Aus dem letzten h u s d r u c k g e h t hervor, dass Qij eine symmetrische F u n k t i o n der beiden Variablen i u n d j ist, die n u r y o n der Differenz i - - j abh~ngt, so dass Qi+j,j y o n j u n a b h i i n g i g ist;
ausserdem ist es eine gerade F u n k t i o n von i. Es geniig~ folglich, einen einzigen W e r t y o n j, z. B. j = I, zu betrachten, u n d m a n h u t
Q i + I , 1 = Q n - - i + l , 1 .
S~mtliche M u l t i p l i k a t o r e n Qi: sind ~lso gleich einem der f o l g e n d e n Q1,1 Q~.I Qa, 1 . . . Qn+I
2 ' 1
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 291 wenn n u n g e r a d e ist, u n d gleich e i n e m der f o l g e n d e n :
w e n n n g e r a d e ist.
Aus (5.2) f o l g t
weft
Q1,1 Q2,1 Q 3 , 1 . . . Qn+l,1
2
I
E Q~j =f(I)
(5.4)i = 1
I + g~ + ~ + " ' " + t ? t - 1 = O
w e n n ~ eine yon I v e r s c h i e d e n e ~te E i n h e i t s w u r z e l ist.
S e t z t m a n in (5.3) J = i , so b e k o m m t m a n fiir das r e z i p r o k e G e w i e h t Qi~
yon
zi
i i ( 5 . 5 )
9 = 0 Cr -~- 2 Cr--1 COS - - -~- ' " 9 -~" 2 C 1 COS
Wie m a n e r w a r t e n musste, ist diese GrSsse positiv, was aus der U n g l e i c h u n g (3.4) h e r v o r g e h t . Sie ist u n a b h ~ n g i g yon i, so dass alle z~ dasselbe G e w i c h t h a b e n u n d
L a s s e u wir n - ~ oo gehen, d a n n k o n v e r g i e r t Q;~. geffen e i n e n e n d l i c h e n G r e n z w e r t . Aus (5.3) b e k o m m t m a n n~mlieh
1
lim
Q,j : f
cos2 (i - j ) z x dx
(5.6)n~oc Cr 2t- 2 Or--1 c o s 2 z x - ~ - 2 Or--2 c o s 4 z x - ~ - " ' ' "~- 2 c 1 c o s 2 ( r - - I ) 7 / : x 0
Dieses I n t e g r a l is~ k o n v e r g e n t , weil der N e n n e r im I n t e g r a n d e n im I n t e r v a l l o _--< x ~ I infolge (3.4) n i c h t N u l l w e r d e n k a n n .
6. D e r soeben g e f u n d e n e A u s d r u c k (5.3) ist zur B e r e e h n u n g der GrSssen
Qij
g u t geeignet. :Man k a n n j e d o c h e i n w e n d e n , dass m a n h i e r b e i G e b r a u c h y o n i r r a t i o n a l e n Gr5ssen m a c h t , u m eine r a t i o n a l e F u n k t i o n d e r K o e f f i z i e n t e n c 1, c~., . . . cr in der c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g zu finden. W i r wollen d e s h a l b a n d e r e Ausdriicke fiirQij
h e r l e i t e n , die explizit die M u l t i p l i k a t o r e n in r a t i o n a l e r F o r m geben. Aus den n ~ l i n e a r e n G l e i c h u n g e n , die m a n d a d u r c h erh~lt, dass m a n i n ( 2 . 4 ) i u n d j die W e r t e I, 2, . . . n gibt, finder m a nQij
als ein Verh~iltnis zwischen zwei D e t e r m i n a n t e n . Diese sind a b e r y o n so h o h e r O r d n n n g , dass sieunbequem zu benutzen sind. Es liegt nahe, dass man die Ordnung zu reduzieren versucht, und zwar mit Hilfe eines Systems partikuliirer LSsungen der zur Differenzengleichung (2.4) geh5renden homogenen Gleiehung mit passend ge-
wis Anfangsbedingnngen, die eine bequeme Berechnung dieser GrSssen
erlauben.
Die Gleichung (4.4) zeigt, dass z/ bis auf das Vorzeichen die Resultante yon
f(z)
undzn--i
ist. Die Resu[tante kann aber auch in der bekannten Sylvesterschen Determinantenform geschrieben werden:n Zeilen
2 r -- 2 Zeilen
C 1 C , 2 C a 9 , . C r 9 9 9 C 2 C 1 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0
0 C 1 C 2 . 9 9 ( ~ r - - 1 9 9 9 C 3 C,~ C I 0 . . . 0 0 0 . . . 0
0 0 C 1 9 9 9 O r - 2 9 9 9 C 4 e 3 C 2 C 1 . . . 0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0 . , . 0 0 0 0 . . . C 1 C 2 C 3 . 9 9 C 1
- - I O O . . . O . . . O O O O . . . O I O . . . O
O - - I O . . . O . . . O O O O . . . O O I . . . O
0 0 0 . . . 0 . . . ~ I 0 0 0 . . , 0 0 0 . , . I
(6
Diese Determinante der Ordnung n + 2 r - - 2 ist g l e i c h f ( ~ ) f ( , . z ) . . , f(,~). W e n n man zur iten Spalte die (n + i ) t e Spalte addiert ( i = I, 2 , . . . 2 r - - 2 ) , so ent- steht eine Determinan~e, in welcher alle Elemente in den 2 r - - 2 letzten Zeilen 0 sind, ausser dem Element in der Hauptdiagonale, das I i s t . W i r kSnnen deshalb die 2 r - - 2 letzten Zeilen und Spalten streichen und erhalten dadurch eine Determinante der Ordnung n, die sich yon d nur durch die Reihenfolge der Zeilen und Spalten unterscheidet. W i r k5nnen aber die obige Determinante auch auf folgende Weise reduzieren. Es seien A~) ( i = o , I, 2, . .. 2 r--3) Zahlen, die der Differenzengleichung
r - - 1
Cr A~ ) + Z Or-s,lA (i),+s + A(i)~s) = o (6.2)
s=l und den Anfangsbedingungen
A~) = ,2,~ v , i = o , 1,2 . . . . 2 r - - 3 (6.3) geniigen.
Im folgenden wollen wir Cl # o annehmen. Unsere Bedingungen bestimmen dann A~') eindeutig fiir a l l e v . I n der Determinante (6. I) multiplizieren wir nun die vte Spalte mit A ~ ' ~ ), wo v die Werte I, 2 , . . . n + 2 r - - 2 annimmt; danaeh
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 293 a d d i e r e n wir zur i t e n Spalte alle a n d e r e n Spa!ten. Diese A d d i t i o n wird 2 r - - 2 mal ausgeffihrt, i n d e m wir i der R e i h e n a c h die W e r t e I, 2, . . 2 r - - 2 geben.
I n der d a d u r c h e n t s t e h e n d e n D e t e r m i n a n t e sind in d e n 2 r - - 2 e r s t e n S p a l t e n alle E l e m e n t e Null, a u s s e r d e n j e n i g e n , die in den 2 r - - 2 l e t z t e n Zeilen stehen.
Diese D e t e r m i n a n t e ist deshalb gleich der aus d e n l e t z t g e n a n n t e n E l e m e n t e n g e b i l d e t e n D e t e r m i n a n t e yon der O r d n u n g 2 r - - 2 multiplizier~ m i t d e r e n alge- b r a i s c h e m K o m p l e m e n t , das eine D e t e r m i n a n t e d e r O r d n u n g n ist, w o r i n a!le E l e m e n t e fiber der H a u p t d i a g o n a l e Null sind, wiihrend die E l e m e n t e in der H a u p t d i a g o n a l e alle ci sind. Die l e t z t g e n a n n t e D e t e r m i n a n t e ist deshalb gleich c':, u n d wir finden die G l e i c h u n g
]A(n 0 ) - I A ~ ) . . . A(n2 r - 3 ) [
A (~ A (1) ~ I A ( 2 r - 3 )
f ( * l ) f(*_9) ... f ( e n ) = c? n+l n+l ' " " n+l . (6. 4)
D a die linke Seite infolge (3.4) y o n N u l l v e r s c h i e d e n ist, muss die D e t e r m i n a n t e a u f der r e c h t e n Seite ebenfalls y o n Null v e r s c h i e d e n sein. Es sei n u n p eine g a n z e Zahl im I n t e r v a l l - - (r - - 2) _--<p _--< n + r - - , 2 . W i r wollen zeigen, dass
A(n~ I A(ni) . . . A(n 2 r - 4 ) A(,? r - 3 ) A(O) n+l A n + 1 (1) _ I . . . A ( 2 r - 4 ) n+l A(2r-3) n+l (0) A(1) . . A ( 2 r - ~ ) . - - I A (2r-3)
A n + 2 r - 4 n+2r--~t * n~-2r--a n+2r--4:
A (~ A ( ' ) A ( 2 r-- 4) A (2 r - ~)
I p+r--2 p+r--2 ' ' " p+r--2 p+r--2
q~+~... = (6. 5)
c~ IAlO)_ I AI:) . . . A(:r-3)
A ~ A (1) - - I /[(2r--3)
n+l n+l . . . n+l
[ A ( ~ 3 A(n 1!^ ~ 9 A ( 2 r y - 3 ) ~ l
W e n n p a u s s e r h a l b des g e n a n n t e n I n t e r v a l l s liegt, wird Qp+j,j d u r c h die Periodizit~ttsbedingung (2. 5) bestimmt. W e n n also z. B. 2~ d e m I n t e r v a l l - - (r - - 2) - - ~ ~ p ~ r - - 2 angehSrt, ist a u f der r e c h t e n Seite in (6. 5) P d u r c h p + n zu ersetzen. W i r b e k o m m e n s o m i t zwei v e r s c h i e d e n e Ausdrficke ffir Qp +j,j, sofern - - ( r - 2 ) ~ p ~ r - 2 , a b e r die Differenz zwischen diesen Ausdrficken ist e i n
Bruch yon der F o r m (6. 5), wo im Z~hler die E l e m e n i e d e r letzten Zeile zu er- setzen sind dureh beziehungsweise
(0) _ A(0) A(~) _ A(1) A(2r-3) _ A(2r-3)
A n + p + r - 2 p + r - 2 ~ n + p T r - 2 p T r - 2 ~ " " 9 n + p + r ~ 2 p + r - - 2 "
Die D e t e r m i n a n t e im Zi~hler enthiilt d a n n zwei gleiche Zeilen u n d ist folglich Null.
I n Qp+J,i geben wir n u n p die W e r t e i - - j , i - - j +_+ I , . . . i - - j +_ ( r - - I ) u n d setzen die aus (6.5) hergeleiteten Ausdriicke in die Differenzengleichung (2.4) ein. Die linke Seite dieser G l e i c h u n g k a n n d a n n zu einem B r u c h yon der F o r m (6.5) z u s a m m e n g e z o g e n werden, m i t d e m Unterschied, dass in der Ziihlerdeter- m i n a n t e fiir i ~ j alle E i e m e n t e der letzten Zeile d u t c h N u t l zu ersetzen sind, well die Z a h l e n
AT~
die Differenzengleichung (6.2) befriedigen. W e n n d a g e g e n i ~ j , so sind die E l e m e n t e der letzten Zeile zu ersetzen d u r c h beziehungsweise(1) _ A(1) ~ ( A { 2 r - - 3 ) _ _ A(2r--3) /~(o) _ n(o)__~), cj (A2~_ 3 ,,+2~-v, " Clx'-2r--3 --n+2r--3/
C l [ x ' ~ 2 r _ 3 X l n + 2 9 .
wie m a n d a d u r c h einsieht, dass m a n (6.5) fiir den einen W e r t p : r - - I benutzt, u n d fiir die iibrigen in B e t r a c h t k o m m e n d e n W e r t e p d u r c h iv + n ersetzt. A b e t diese E l e m e n t e sind beziehungsweise gleich
-- c, A~~ - - e~ A (~) ' ~ + 2 r - - 3 ~ . . . .- - c~ A(2 ~-4) . n + 2 r - - 3 ~ - - (~1 ~ (A (2 ~-~) - - I). n + 2 r - - 3
Die D e t e r m i n a n t e im Z~hler ist somit gleich der D e t e r m i n a n t e im N e n n e r multipliziert m i t - cl, u n d wir finden deshalb, dass die linke Seite y o n (2.4) gleich I i s t . Dami~ ist bewiesen, dass der A u s d r u c k (6.5) die B e z i e h u n g e n (2.4) u n d (2.5) befriedigt, u n d da wir oben gesehen haben, dass diese G l e i c h u n g e n n u r elne L S s u n g haben, muss die rechte Seite y o n (6. 5) in d e m a n g e g e b e n e n I n t e r v a l l Qp+j,j darstellen.
Aus (6.2) u n d (6. 3) folgt, dass m a n zur B e s t i m m u n g der E l e m e n t e in der letzten Spa]re der D e t e r m i n a n t e n in (6. 5) folgende G l e i c h u n g e n h a t :
C 1 A ( 2 r - 3 ) + C 2 ~ O
- ~ 2 r - - 2
c I A (2r-s) A(2r--3) + C a = O (6. 6)
2 r - - 1 -{- C 2 X X 2 r - - 2
cIA~ 2r-3) + c 2 A (2r-:*) + ~ A (2r-a) + c4 ~-- o
~ - 2 r - - 1 ~ 3 2 r - - 2
9 . . . . . . . . , . . . . . . . .
woraus m a n leicht der Reihe n a c h alle Zahlen A~ r-3) b e s t i m m e n kann, d a c 1 infolge Voraussetzung von Null verschieden ist. Die E l e m e n t e in den iibrigen Spalten befriedigen i~hnliche S y s t e m e yon R e k u r s i o n s f o r m e l n . Es ist aber leichter,
A u s g l e i c h u n g n a c h der Methode der kleinsten Q u a d r a t e . 295 H i l f e d e r Z a h l e n A~. 2~-3) zu b e r e c h n e n . A u s d e n A n f a n g s b e d i n g u n g e n sie m i t
(6.3) f o l g t n E m l i c h :
el A ~ ~ - 3 - ~ ) = c, A (~*-3) + c2 A ~ : ~ 7 ~ + ... + c~+~ A (~*-a) n + t - - n (6.7)
- - ' A {2~-~) ( 6 . 8 )
Cl A(i)n = - - el A('2 r--3)n--i--1 - - e 2 A ( 2 n - ~ r - 3 } " ' - - C i q - 1 - - n - - 1
ffir i = o, I, 2 , . . . r - - I, w o r a u s i n s b e s o n d e r e fiir i = o h e r v o r g e h t
AlO} = - - ~ ' l - - 1 " (6 9)
A u s d e r D e f i n i t i o n y o n A ~ P ) f o l g t u n m i ~ t e l b a r , d a s s d i e s e Z a h l e n K o e f f i z i e n t e n in d e r R e i h e n e n t w i c k l u n g
C~ __ ~o A(O}
f ( z ) ~ z ~ (6. IO)
9 = 2 r - - 2
sind, die k o n v e r g i e r t , w e n n I z[ g r 5 s s e r ist als d e r a b s o l u t e W e r t d e r a b s o l u t g r S s s t e n W u r z e l fiir die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g .
7. W i r l e i t e n . U m
~p(z) u n d q~(z) v o m G r a d e m u n d n:
~p (z) = Co z m + el z ' n - 1 + e2 z " ~ - 2 + . . . + & , Co ~ o
~P ( 2') = t) 0 2 ' n - ~ b 1 ; ~ n - 1 + b~ 2 f l ' t - 2 "-]- " ' " "-J- b n , b 0 ~ o .
F i i r i h r e R e s u l t a n t e R,e, ~ h a t m a n d e n b e k a n n t e n D e t e r m i n a n t e n a u s d r u c k
Cm Cm--1 C m - - 2 9 9 9 C 1 C O 0 . , . 0 0 0
0 Cm Cm--1 9 9 9 C 2 C 1 C O . . . 0 0 0
n Z e i l e n
0 0 C m 9 9 9 C 3 C ~ C ~ . . . 0 0 0
0 0 0 . . . . . . . . . . . C ~ C I C o
bn b n - 1 bn-:~ . . . o o o
0 bn b n - 1 . . . 0 o 0
o o bn . . . o o o m Z e i l e n
o o o bn bn-1 b~-2 b~ bl b0
Die Resultante zweier Polynome.
w o l l e n e i n e n a n d e r e n n o c h e i n f a c h e r e n A u s d r u c k f f i r Q p + j , j h e r - i h n zu e r h a l t e n , b e t r a c h t e n w i r z u e r s t zwei w i l l k i i r l i c h e P o l y n o m e
(7. ')
W i r n e h m e n zun~ichst an, wachsenden P o t e n z e n you z:
dass c~ ~ o, u n d entwickeln den Bruch ~:~p n a c h
q~ (z) __ ~ 0~ z ~. (7.2)
Diese Reihe ist konvergent, w e n n I z] kleiner ist als der absolute W e r t der absolut kleinsten W u r z e l yon ~p(z)= o. Die Koeffizienten By befriedigen die Differenzengleichung:
craBs, -I- c m - l B ~ , - 1 "+ .." .-F e o B ~ , - m ~ bn--~
(7.3)
u n d die A n f a n g s b e d i n g u n g e n
0 - - - 1 = O - - 2 . . . B - m = O.
Fiir v > n sol1 b ~ - , Null sein.
Die D e t e r m i n a n t e (7. I) k a n n a u f folgende W e i s e reduziert werden. V o n der (n + I)ten Zeile s u b t r a h i e r e n wir die I., 2., . . . nte Zeile multipliziert beziehungsweise m i t O0, O1, . . . B n - x . D a d u r c h w e r d e n die n ersten E l e m e n t e in der (n + I)ten Zeile Null. I n der ersten Spalte sind d a n n alle E l e m e n t e Null, ausser dem ersten, das gleich cm ist. W i r k S n n e n d a n n die O r d n u n g d a d u r c h reduzieren, dass wir die x. Zeile u n d I. Spalte streichen u n d die D e t e r m i n a n t e m i t cm multiplizieren. A u f die so e n t s t a n d e n e D e t e r m i n a n t e wird dieselbe Opera- tion a n g e w e n d e t : m a n s u b t r a h i e r t also yon der (n + I)ten Zeile die I., 2 . , . . . ( n - - I ) t e Zeile, beziehungsweise m i t 00, 01 . . . . 0 , - - 2 multipliziert, w o n a e h die O r d n u n g d a d u r c h reduziert wird, dass m a n die I. Zeile u n d I. Spalte streicht u n d m i t c~ multipliziert. Diese Operation wird q m a l ausgefiihrt, wo q die kleinste der Zahlen n u n d m i s t . Die rechte Seite y o n (7. i) wird d a d u r c h reduziert a u f c,q, multipliziert m i t einer D e t e r m i n a n t e , die y o n der O r d n u n g m i s t , w e n n n ~ m . W e n n aber n > m, so ist diese D e t e r m i n a n t e y o n der O r d n u n g n, u n d sie k a n n sofort a u f eine D e t e r m i n a n t e der O r d n u n g m reduziert werden, indem m a n die I. Zeile u n d I. Spalte ( n - - m ) real streicht. Die d a d u r c h e n t s t a n d e n e D e t e r m i n a n t e ist gleich dem P r o d u k t d e r beiden f o l g e n d e n D e t e r m i n a n t e n :
]
B n B n - 1 B . - 2 . 9 9 B . - m + lB n + l B,~ B n - 1 9 9 9 B , ~ - m + 2 B,~+,~-~ B ~ ' + m - ~ " " . ' . . ' B , i " "
Om 0 0 . . . 0 1
- II
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 297 I m l e t z t e n F a k t o r sind alle E l e m e n t e fiber d e r H a u p t d i a g o n a l e :Null, u n d e r ist deshalb gleich c~. Die G l e i c h u n g (7. I) k a n n also r e d u z i e r t w e r d e n a u f
B n B n - 1 Bn--a . . . B n - m + l [ ,,~+,~ B,~+l B,~ B , ~ - i . . . B,~-,,,+~
I
RV~, ~p -~ C m
Bn+~l-1 B n + m - 2 . . . Bn
(7.4)
M a n k S n n t e a u c h y o n der V o r a u s s e t z u n g fiber cm a b s e h e n u n d den B r u c h
~:~p nach fa[lenden P o t e n z e n yon z e n t w i c k e l n :
~ ( z ) _ _ z,~_ ~ ~ C~
~p(z) ~, z~" (7.5)
~ 0
Diese R e i h e ist k o n v e r g e n t , absolut grSssten
G l e i c h u n g e n
wenn [z[ grSsser ist als der absolute W e r t d e r W u r z e l von ~p(z)~ o. Die K o e f f i z i e n t e n Cv w e r d e n aus den
Co Co = bo
eo C~ + e~ Co = b~
Co C~ + c~ C~ + e~ Co = b~
bestimmt, die z u s a m m e n g e f a s s t w e r d e n k S n n e n zu der e i n e n G l e i c h u n g
Co C,, + e~ C~-~ + c,~ C~-2 + ..' + cm (L-m ---- b~ v = o, I, 2, . . . (7.6) m i t den A n f a n g s b e d i n g u n g e n
C-1 = C-2 . . . C - ~ = o
(7.7)
u n d m i t der V o r a u s s e t z u n g b~ : o ffir v > ~,.
I n der D e t e r m i n a n t e (7. I) wollen wir n u n v o n der (n + re)ten Zeile die nte, ( n - - i ) t e , .-.. I. Zeile multiplizier~ b e z i e h u n g s w e i s e m i t Co, C 1 , . . . C,~-1, subtra- hieren. D a d u r c h w e r d e n die n l e t z t e n E l e m e n t e in der (n + re)ten Zeile alle Null. I n der l e t z t e n S p a l t e sind d a n n alle E l e m e n t e N u l l ausser dem, das in der n t e n Zeile s t e h t u n d gleich c o ist. W i r k S n n e n d a n n die O r d n u n g d a d u r c h reduzieren, dass wir die nte Zeile u n d die (n + m)te Spalte s t r e i e h e n u n d die D e t e r m i n a n t e m i t c o multiplizieren. A u f die so e n t s t a n d e n e D e t e r m i n a n t e w i r d dieselbe O p e r a t i o n a n g e w e n d e t ; yon der (n + m - 2)ten Zeile s u b t r a h i e r t m a n die
38--39615. Acta mathematica. 72. Imprlm6 le 26 juin 1940.
( n - - I ) t e , ( n - - 2 ) t e , . . . I. Zeile, m u l t i p l i z i e r t b e z i e h u n g s w e i s e m i t ,Co, C a , . , . C~-2, w o n a c h die O r d n u n g d a d u r c h r e d u z i e r t wird, dass m a n die ( n - - I)te Zeile u n d die (n + m - 1)re Spalte s t r e i c h t u n d mi~ Co mul~ipliziert. So s e t z t m a n fort, bis wir eine D e t e r m i n a n t e der O r d n u n g m b e k o m m e n . Diese ist gleich dem P r o d u k t der b e i d e n f o l g e n d e n D e t e r m i n a n t e n
G G-~ C.-: . .. G-,~+I
G+~ G G-~ ... G-m+~
C n + m - 1 C n + m - 2 . . . , 9 (-/Vn
e o C 1 02 . . . Cm--1 O C O e l . . . Cm--2
0 0 C O . . . Cm--3
o o O . . . c o
I n der l e t z t e n D e t e r m i n a n t e sind alle E l e m e n t e u n t e r der H a u p t d i a g o n a l e N u l l ; sie ist deshalb gleich co m, u n d die G l e i c h u n g (7. I) r e d u z i e r t sich also a u f 1
I G, G-1 G - ~ . . . G-,~+~ ]
/G.,p = c~ +" G+~ G G-~ ... G-,,+~ . (7.8) G+m-~ G+,~-~ . . . G
Diese D e t e r m i n a n t e ist y o n der O r d n u n g m. W e n n e,, = o, k a n n man die O r d n u n g auf m - - I reduzieren, u n d w e n n cm = c~-i - = . . . - - cm-p+l = o, wEhrend c m - ; ~ o, finder m a n bei A n w e n d u n g yon (7.6), dass
/G, ,p - e~ +"-; b~ [
G G,-1 ... G-re+v+1 [ G+~ G ... (A-,,+p+~ I"
G+,,-~-I . . . G ]
|
Man k a n n die v o r h e r g e h e n d e Schlussweise a u c h u m k e h r e n u n d die G l e i c h u n g (7.8) d a d u r c h beweisen, dass m a n alas P r o d u k t der beiden f o l g e n d e n D e t e r m i - n a n t e n y o n tier O r d n u n g n + m bildet
1 F f i r d e n F a l l n < m s i e h e E . ~ETTO, V o r l e s u n g e n f i b e r A l g e b r a , L e i p z i g t 8 9 6 , B d , I , S.
I 6 6 - - I 6 7 . D i e s e V o r a u s s e t z u n g i s t j e d o c h i m f o ] g e n d e n n i c h t e r f i i l l t .
i 0
0 I
0 0 I . . . 0 0 0 . . . 0
9 9 o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . I 0 0 . . . 0
Co C~ Ca... C,,-~ C,
C,,+~ . . . 6~+m-~o Co C , . . . C,,-~ C,,_~ C,, . . . C,,+~-~
0 0 0 . . . 6 ] , - - m C , . . . + 1 C n - m + 2 . . 9 C n
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate 9
o . . . o 0 o . . , 0 c O 0 0 . . . o o
o . . . o o o . . . o c 1 o o o . . . 0 o
c a e a e o . . . 0 o
2 9 9
9 . 9 O
9 9 9 0
9 9 9 O
Cm Cm--1 Cm--2 . . . C O 0 . . . O
0 Cm Cm--1 9 9 9 C t C 0 . . . . 0
O O O O O . . . c o
Diese P r o d u k t d e t e r m i n a n t e u n t e r s c h e i d e t sich yon der r e c h t e n Seite in (7. I) n u r d a d u r c h , dass die Zahlen bo, bl, ba, . . . u n d Co, c j, % , . . . in u m g e k e h r t e r Reihen- folge g e s c h r i e b e n sind, u n d m a n bestiitigt leicht, dass sie gleich dieser D e t e r - m i n a n t e m u l t i p l i z i e r t m i t ( - - I) ~ u n d d a m i t gleich R w , , p ist.
A n d e r e D e t e r m i n a n t e n a u s d r i i c k e ffir (~.
8. S e t z e n wir n u n m = 2 ( r - - I) und
~fl(z) = f ( z ) qD(z) = z n - - I
so n e h m e n die G l e i c h u n g e n (7.4) u n d (7-8) beide die F o r m
I I f ( e ~ ) = c: + 2 ' - '
C . C ~ - 1 . . . C,~-2.+a
C,,+~ C~ 9 C~-~,.+4
C , + ~ , . _ , . . . C ,
an, wo die Zahlen C~ ftir r > - - ( r - - I) die D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g
r--1 (O fiir v ~ n -- r + I
Cr C~, -}- Z C r - - s ( C ~ + s 27 C v - s ) =
{
s=l ( - - I fiir v = n - - r + I
mit den A n f a n g s b e d i n g u n g e n
= I, 2 , . . . 2(;'-- I ) I
C o ~ - - c l
( 8 . I )
( 8 . 2 )
(s. 3)
b e f r i e d i g e n . Diese D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g g i b t uns ein e i n f a e h e s N i t t e l zur Be- r e c h n u n g d e r Z a h l e n C~, die a u c h aus der dami~ iiquivalenten G l e i c h u n g
I - - Z n ~o
v ~ 0
b e s t i m m t w e r d e n kSnnen.
Aus der U n g l e i e h u n g (3.4) folgg, Seige in (8. I) yon Null v e r s e h i e d e n ist.
e i n e n B r u e h y o n der F o r m
(8.4)
dass die D e t e r m i n a n t e auf der r e c h t e n Die G r S s s e n
@+j,~
k S n n e n d a n n d u r c h(JYn (~n--1 * * , (JYn - - 2 r-t- 3
Cn+2r-4 ( J , l - b 2 r - - 5 . . . C ~ 1
Cp+r-2 Cp+r--3 . . , r
Q ~ + ~ , j - (8.5)
Cl C n C n - 1 . . . ( J ~ - - 2 r + 3
C,~+~ (/,~ . . . e , , _ ~ + ~ C,~+2,.-~ 6;,~+2,.-~ . . . C,~
dargestell~ werden, falls - - (r - - 2) _--< p < n - - (r - - 2). D a Q die P e r i o d e n hat, ist dami~ Q fiir alle g a n z z a h l i g e n W e r t e yon p f e s t g e l e g t . Die R i c h t i g k e i t der l e t z t e n G l e i c h u n g bestiitigt sich leicht d a d u r c h , dass m a n die r e c h t e Seite in (2.4) eintr~igt u n d ganz wie in w 6 weiterschliesst.
Bei der H e r l e i t u n g der Ausdriicke (6. 5) u n d (8.5) fiir
Qp+j,j
h a b e n w i t n u r b e n u t z t , dass die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g vom G r a d e 2 r - - 2 ist u n d dass k e i n e i h r e r W u r z e l n a u f d e m R a n d e des E i n h e i t s k r e i s e s liegt. Es l i e g t n a h e , d a r a u s V o r t e i l zu ziehen, dass diese G l e i c h u n g eine r e z i p r o k e G l e i c h u n g ist, u n d diese T a t s a c h e zu b e n u t z e n , u m die O r d n u n g fiir die b e t r e f f e n d e n D e t e r m i n a n - t e n d u r c h passende W a h l der A n f a n g s b e d i n g u n g e n w e l t e r zu reduzieren. Es sei B(, ') (i = o, I, . . . r - - 2) eine g e r a d e F u n k t i o n der g a n z e n Zahl ~, welche die Dif- f e r e n z e n g l e i c h u n gr---1
(B ~i~ + B Z ~ ) = o ( s 6)
cr B ? + 2 ] cr-~, ~+~
u n d die A n f a n g s b e d i n g u n g e n
B~'I--W,~
~, i = o , i , z , . . . r - z (8.7)Ausgleiehung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 301 b e f r i e d i g t , m i t d e r A u s n a h m e , dass B~ ~ gleich 2 sein soll. Dass ein solches System yon L 5 s u n g e n v o r h a n d e n ist, g e h t d a r a u s h e r v o r , dass die G l e i c h u n g e n , die fiir v > o die GrSsse B~ ) als F u n k t l o n d e r A n f a n g s w e r t e b e s t i m m e n , m i t den G l e i c h u n g e n i i b e r e i n s t i m m e n , die B('~ b e s t i m m e n . Aus (8.6) erhiilt m a n speziell ffir v = o
B ~ i ) _ l = _ O r - r O l
B~ ') ist also f e s t g e l e g t fiir 2 r - - 2 a u f e i n a n d e r f o l g e n d e W e r t e , niimlich fiir v = o, + I, + 2 , . . . _+ ( r - - 2 ) , r - - I u n d d a m i t fiir alle W e r t e yon v. Fiir die GrSs- sen Qp+J,i h a t m a n n u n f o l g e n d e n A u s d r u c k
B(:)T1 - - B~t~ B(1)+I - - / ~ L 1 . . B ~ ' + -2) - - n(r---2)'/~.--1 . . 7)(0) - B(1) _ /~(1) . R ( r - - 2 ) _ _ R ( r - - 2 )
B(,~ - - x)n-: .+2 n--2 "" --n+2 --n--2
n + r - - ' 2 B n - - r + 2 n + r - - 2 n - - r + 2 + - - - - ~-
I -Bl~ p "~ B(p 0) B(~ILp -~- -B(p 1) . . . Bn_p(r-2) .~ /~(pr--2)
/~<0) - - R ( " ) B(I> _ _ B ( l n ) l . . . B ( r + ~ ) _ _ ~l~(r--2) ( 8 . 8)
Q
P + J ' J --- - - C1 " U n + l ~ n - - 1 n + l n-t- ~ n - - 1
BI~)+2 - - B(n~ :n]~(l)d- 2 - - B ~ L 2 . . B ~ : g ) _ . . ~t:~(r-2)n_2
B(O) n T r - - - I _ - B ~ ~ ] 3 (1) n + r - - 1 __ B <1) n - - r + l " " " BlrTr2) 1 --- B ( r - - 2 ) t - - n - - r + l
w o f e r n - - ( r - - 2 ) ~ p ~ n + r - - 2 . D a Q eine p e r i o d i s e h e F u n k t i o n v o n p mi~
der P e r i o d e n ist, ist Q d a m i t fiir alle g a n z z a h l i g e n W e r t e von p f e s t g e l e g t . W e n n z . B . - - n - - ( r - - 2) _--<p =< r - - 2, so sind die E l e m e n t e d e r l e t z t e n Zeile im Z~hler zu e r s e t z e n (lurch b e z i e h u n g s w e i s e
B (~ + B~>, - - ( 1 ) + B~), B (r-2) + B~ -2)
n + p ~ n • " " " n + p "
W i r b e k o m m e n also zwei v e r s c h i e d e n e Ausdriicke fiir Qp+j,j, w e n n - ( r - 2 ) - < _ p ~ r - 2 , a b e t die Differenz zwischen diesen A u s d r i i c k e n ist ein B r u c h y o n der F o r m (8.8), wo im Zfihler die E l e m e n t e der l e t z t e n Zeile zu e r s e t z e n sind d u r c h b e z i e h u n g s w e i s e
]:~(nO)+p __ B(nO) p, BI~) p _ B~)__p, B(r=2) __ Bn_p(r-2)
9 " " ~ / t p
D e r Z~hler ist d a n n eine D e t e r m i n a n t e , die e n t w e d e r zwei gleiche Zeilen h a t o d e r zwei Zeilen, d e r e n E l e m e n t e gleich gross sind m i t e n t g e g e n g e s e t z t e n Vor-
zeiehen, oder eine Zeile, worin alle Elemente Null sind. W i r werden spi~ter zeigen, dass der Nenner yon N u l l verschieden ist.
Die Gleichung (8.8) geht unmifltelbar aus der Definition yon B~) dadurch hervor, dass die rechte Seite in (2, 4) eingetragen und wie in w 6 geschlossen wird.
Betrachten wir ferner ein anderes System yon LSsungen /)~) ( i - - I, 2 , . . . r - - I) der Differenzengleichung
r--1
C r D ~ i) + Z c,._st[Vi~,+s -J- D~.Ls ) = 0 ( 8 . 9 )
s = l
die durch die A n f a n g s b e d i n g u n g e n
D~) -- -Z%~ v , i = I , 2 , . . . r - - I
Setzen wir v = o in (8.9), so erh~lt man definiert sind.
(8. io)
erD(~ " ) - - O /== I, 2, . . . r - - I. (8. II) Piir c, haben wir infolge (2.3) und (3.3) den Ausdruek
C r Z ~ 61: ~ I 7~ I (CQ, - - ap, ~,)2.
9 ~'t - - 2 ~Z
Diese Summe yon Quadraten kann nieht versehwinden, und Cr is~ deshMb immer positiv. Aus der Gleiehung (8. I I) folgg deshMb, dass D~) Null ist.
D a die eharakteristisehe Gleiehung eine reziproke Gleiehung ist, folgt aus den Anfangsbedingungen, dass D~ i) eine ungerade Funktion yon v ist. Fiir die GrSssen Qp+j.j finde~ man dann leieht f o l g e n d e n Ausdruek
D ( 1 ) _ _ / ] ( 1 ) __ 2 ~T)(2) _ ~T)(2) D ( r - 2 ) _ .D{r-211 ) Dlr~__:) _ ~)(~Z:)
n + l ~ J n - - 1 n + l ~--1 " " " n + l n - - ~-
D(1) _ D(1) ])(2) _ / ) ( 2 ) _ 2 D ( r - ~ ) _ D ( , - ~ ) ~)(r--l) _ D ( r - ~ )
n + 2 n - - 2 n + 2 n--2 " " * ~ ~-z n - - . n + 2 n ~
. . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o , o , o
D}~! r 2-D~) ~- - - - - . • 2 D (2) n + r - - 2 - D (2) n - - r k 2 " " " D("-2) - D (r-2) n + r - - 2 ~ n - - r + 2 - 2 O~'-(]) 2 - O ( ~ + - - - - + ~
] ~ L p "j- D ( p 1) / ) ( 2 ) .q_ / ) ( 2 ) . . . Dn__p(r-2) .+ / ) ~ . - 2 ) /)(r--1)n__p - } - / ) ~ r . 1 )
(8. i2)
O1 [ D ~ ) q _ l - - D ~ ) _ I - p_, D (2) n + l - - D ( 2 ) n--1 . . . . T ) ( r - 1 ) - - ~ ) ~ n + l - - t )
I
I ~T) (1) - - ~T)(1) /)(2) - - / ) ( 2 ) _ _ 2 D ( r - l ) - - D ( r - J )
I 7 1 + 2 n - - 2 n + 2 ~ - - 2 . . . . . n + 2 n - - ~
9 i . . . . . . 9 9 9 . . . . . . . . . . . . . . * . . .
D ( 1 ) _ D ( 1 ) / ) ( 2 ) - _ / ) ( 2 ) . D ( r - l ) - - 3 ~ ) ( r - l ) - - o
| n + r - - 1 ~ n - - r + l ~ n + r - - 1 ~ n - - r + l " " " n + r - - 1 n - - r & l
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. 303 w o f e r n - - ( r - - 2) _<p_--< n + r - - 2. Dies wird d a d u r c h bewiesen, dass m a n d i e r e c h t e Seite in (2.4) eintrggL u n d wie in w 6 schliesst.
9. Zwischen den F u n k t i o n e n A,, B,, C~ u n d D~ b e s t e h e n v e r s c h i e d e n e ein- f a c h e R e l a t i o n e n . B e t r a c h t e n wir die D e t e r m i n a n t e , gebildet aus d e n W e r t e n der F u n k t i o n e n A ~ ) ( i = 0 , I . . . . 2 r - - 3 ) in 2 r - - 2 a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n P u n k t e n
...
A (2,.-a)
z~r = A(O)*+I A ~ ; 1 " ' " * + 1 ( 9 ' I )
A(O) A(1) A(2r-a)
9 + 2 r - - 3 * + 2 r - - 3 " " " v + 2 r - - 3
E r s e t z t m a n hier v d u r e h v + I u n d b e n u t z t die D i f f e r e n z e n g l e i e h u n g (6: 2), so sieh~ man, dass J ( v + I ) ~ z / ( v ) . Die D e t e r m i n a n t e (9. I) h a t also e i n e n y o n d e r g a n z e n Zahl v unabhi~ngigen k o n s t a n t e n W e r t . S e t z t m a n v = o, so w e r d e n alle E l e m e n t e in d e r H a u p t d i a g o n a l e I u n d alle a n d e r e n E l e m e n t e Null. Die D e t e r m i n a n t e ist also gleich I, u n d die F u n k t i o n e n A(f ( i = o, I , . . . 2 r - - 3 ) bilden d a h e r ein F u n d a m e n t a l s y s t e m yon LSsungen. J e d e L 5 s u n g yon (6.2) ist deshalb y o n der F o r m
2 r - - 3
y, (9, :)
i ~ 0
wo ko, kl, k~ . . . . u n a b h i i n g i g yon v sind. Es bezeichne # eine willkiirliehe g a n z e Zahl u n d s eine der Z a h l e n o, I, 2 , . . . 2 r - - 3. D a A~)+, eine L S s u n g der Dif- f e r e n z e n g l e i c h u n g (6.2) ist, so h a t sie die F o r m (9.2). S e t z t m a n v = i, so fin- d e t m a n k~ = A ('1 # + i ~ w o r a u s folgt, dass
2 r - - 3
A (~1 - - # + ~ , z ~ "~', A ( ' ) # + i A(") ~, " (9.3)
L--O
D a die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g r e z i p r o k ist, so ist A ~ , ebenfalls eine L 5 s u n g der D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g (6. 2) u n d deshalb y o n d e r F o r m (9.2). B e s t i m m t m a n in diesem F a l l ki, i n d e m m a n v = i setzt, so finder m a n
2r--a (9.4)
i ~ 0
S e t z t m a n # ~ 2 r - - 3 , so erhi~lt m a n h i e r a u s A(s) : A(~2~-3-~)
2 r - - 3 - - ~
w a s m a n a u c h in d e r F o r m s c h r e i b e n k a n n
(9. 5)
A ( r - l + s ) - ~ A ( r - 2 - s ) 8 ~ o , I , r - - 2 .
r - - 1 + ~, r - - 2 - - v " " "
V e r g l e i c h t m a n diese G l e i c h u n g m i t (6.9), so s i e h t m a n , d a s s ~-l+,A(~ eine u n g e - f a d e F u n k t i o n y o n v ist.
D a w e i t e r D (~) eine L S s u n g d e r D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g ist, so sieh~ m a n a u f
t ~ + ~
dieselbe W e i s e , d a s s
2 r - - 3
= Z D(.> (9 6)
/~+~ / z T i "
i = 0
Ersetz~ m a n v d u r c h v - - ~ t u n d setz~ m a n ~ g l e i c h - - ( r - - I ) o d e r - - ( r - - 2 ) , so e r h ~ l t m a n h i e r a u s fiir s = I, 2 , . . . r - - I
n ~ ~) --~ j ( r - l + s ) __ A ( r - l - s )
r--l+,
(9.7)
= A ( r - 2 + s ) __ A(r-~
r - - 2 + ~ - - 2 + ~
u n d speziell D ~ -1) = - A(~ ~ . A u f e n t s p r e c h e n d e A r t b e w e i s t m a n , d a s s fiir s = o , I , . . r - - 2 gil~
B~,) = A(r_l+s) + A ( r _ i _ _ s ) _ Cr--s A(0)
r - - l + ~ r - - l + v r - - l H - *
cl (9. S)
A ( r - 2 + s ) + A ( r - i f - s ) _ c"--S A(2r--.~ )
r - - 2 + ~ r - - ~ ~- 9 ~ r---2 +,,, "
C 1
W a s die G r S s s e n 6~ b e t r i f f t , so e r h ~ l t m a n a u s d e n A n f a n g s b e d i n g u n g e n o d e r a u c h d u t c h V e r g l e i c h y o n (6. Io) u n d (8.4)
el C~ = - A(~ 2 ~_2 ~ > v >-- o
C 1 C , = - A ( : ) 2 r _ 2 . ~ A ( ~ 2 r - - 2 " ~ ~ - ? '
IO. N e h m e n w i r an, dass die W u r z e l n as in d e r c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g e i n f a c h u n d y o n N u l l v e r s c h i e d e n s i n & W i r d e n k e n u n s die W u r z e l n so n u m e - r i e r t , dass
[as[ < I, w e n n s < r. (IO. I)
