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Étude d’une famille de fonctions
22/09Soitkun réel strictement positif, on considère la famille de fonctionsfkdéfinies surRparfk(x) =x−k(x+ 1)e−x.
On noteCkla courbe représentative defkdans un repère orthonormal O;−→
ı ,→−
. 1. À l’aide d’une calculatrice représenter les courbesCk pourk= 0,5 ,k= 1,
k= 3. Formuler des conjectures concernant a) les limites defk en±∞.
b) l’existence d’un point commun à toutes les courbesCk. c) l’existence d’un minimum pour chaque fonctionfk.
2. a) Montrer qu’il existe un point commun à toutes les courbes de la famille.
b) Étudier les positions relatives deCk et Ck+1. 3. a) Déterminer la limite defk en−∞et +∞.
b) Montrer que pour toutk >0,Ck admet une droite asymptote (∆) dont on donnera une équation.
c) Préciser les positions relatives deCk et (∆).
4. a) Calculerfk′(x)
b) Déterminer une équation de la tangenteTk,O à la courbeCk au point d’abscisse 0.
Que peut on dire de toute les tangentes Tk,O? c) Montrer quefk′(x) est du signe deex+kx.
d) Soit la fonctiongk définie surRpargk(x) =ex+kx.
Montrer que l’équation gk(x) = 0 admet surRune solutionak unique.
e) En déduire quefk admet un minimum unique enak et vérifier que : fk(ak) =ak+ 1 + 1
ak
.
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