H103 - Les chaînes de puissance
Solution
La première chose à faire est d’identifier tous les couples d’entiers (a,b) ab tels que a+b est une puissance de 2,3,5,6.. puis de les représenter dans un graphe où les arcs reliant deux sommets décrivent les couples possibles.
Le tableau ci-après donne ces couples pour les valeurs de a et b comprises entre 1 et 18.
D’où le graphe associé à ce tableau :
Une chaîne de puissances (1-n) peut être établie s’il existe un parcours passant une fois et une seule par chacun des sommets numérotés de 1 à n (pas nécessairement dans cet ordre.
On vérifie aisément sur le graphe que pour les valeurs de n=2,3,4,5 et 6 il n’existe pas de chaîne de puissances. Avec n=6, la chaîne est presque réalisée 2,6,3,5,4 mais 1 reste isolé. Il faut attendre n=7 pour avoir le parcours ci-après repéré en rouge : 1,7,2,6,3,5,4. La parcours
sommets arc 1 arc 2 arc 3 arc 4
1 3 7 8 15
2 6 7 14
3 1 5 6 13
4 5 12
5 3 4 11
6 2 3 10
7 1 2 9 18
8 1 17
9 7 16 18
10 6 15 17
11 5 14 16
12 4 13 15
13 3 12 14
14 2 11 13 18
15 1 10 12 17
16 9 11
17 8 10 15
18 7 9 14
en sens inverse est également réalisable. L’autre parcours possible est défini par la séquence : 4, 5, 3, 1, 7, 2 et 6 et bien entendu la séquence lue en sens inverse.
Avec n=8, c’est toujours possible car 8 est relié à 1 et l’on a :8,1,7,2,6,3,5,4.
Avec n=9,10,11,12,13,14, il est impossible d’établir une chaîne de puissances. En effet pour n=9, le sommet 9 n’est relié qu’au sommet 7 et dès lors il est impossible de passer par les sommets 1,8 et 9 sans passer deux fois par le sommet 7. Pour n=10, le sommet 10 qui est relié seulement au sommet 6 crée à nouveau un autre sommet isolé. Mêmes remarques pour
n=11,12,13,14. Il faut atteindre la valeur n=15 qui permet de relier les sommets 1 et 10 et de réaliser les parcours ci-après : 8, 1, 15, 10, 6, 3, 13, 12, 4, 5, 11, 14, 2, 7 et 9 d’une part et 9, 7, 2, 6, 10, 15, 12, 4, 5, 11, 14, 13, 3, 1 et 8 d’autre part.
A partir de n=16, il existe toujours au moins une chaîne de puissances reliant tous les entiers compris 1 et n. Les 4 graphes ci-après donne des parcours (ce ne sont pas les seuls) pour n=16,17,18,19 et 20.
