H101- Le solitaire bulgare [***** à la main]
Solution
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1) Jeu de six cartes
On part des 11 partitions possibles de 6 cartes : (6), (1,5), (2,4), (3,3), (1,1,4), (1,2,3), (2,2,2), (1,1,1,3), (1,1,2,2), (1,1,1,1,2) et (1,1,1,1,1,1). Le solitaire bulgare* permet de passer d’une partition à une autre. A chaque manipulation, on soustrait une unité à chaque nombre de la première partition et on forme un nouveau nombre égal au nombre d’unités soustraites. Par exemple, si l’on part de la partition (1,1,4) on fait disparaître les deux tas d’une carte chacun, les tas de 4 cartes est ramené à 3 cartes et on crée un nouveau tas de 3 cartes. D’où (1,1,4)
(3,3) puis (3,3) (2,2,2) et ainsi de suite.
On peut ainsi représenter sur un seul graphe l’ensemble des 11 partitions assimilées aux sommets du graphe et les arcs qui permettent de passer d’un sommet à l’autre. On constate qu’il y a une seule partition qui est stable (1,2,3) . C’est la racine de l’arborescence et toutes les partitions finissent par y aboutir. La partition plus éloignée de la racine est (1,1,2,2) et il faut six manipulations pour arriver à la racine. Le jeu s’achève nécessairement en six étapes au plus quelle que soit la structure initiale.
* D’après Martin Gardner l’origine du problème est inconnue mais tous les mathématiciens européens l’appellent ainsi…
2) Jeu à 10 cartes
La démarche est la même qu’avec un jeu à 6 cartes. On établit l’inventaire des 42 partitions possibles et on les ordonne selon l’arborescence ci-après :
On observe que la racine qui représente la partition stable vers laquelle converge toutes les autres partitions est (1,2,3,4). Il existe trois chemins de longueur maximale qui partent des trois partitions supérieures (1,2,2,2,3), (1,1,1,2,2,3) et (1,1,2,3,3) et on atteint la fin du jeu en 12 étapes.
3) Jeu à 15,21,28,36,45,…n(n+1)/2 cartes
Quelle que soit la structure initiale du jeu à n(n+1)/2 cartes, le jeu s’achève après un nombre fini de manipulations et la configuration d’équilibre est toujours de 1,2,3,…,n cartes
La démonstration complète a été établie en 1981 par le mathématicien danois Jorgen Brandt.
Jean Moreau de Saint Martin l’a adaptée en version française.
