D30253. Tri` edre baladeur
Un tri`edre trirectangle se d´eplace de fa¸con que les trois arˆetes restent en contact avec un cercle donn´e. Quel est le lieu du sommet du tri`edre ? Solution
SoientA, B, C les points de contact avec le cercle des arˆetes Su, Sv, Sw du tri`edre. Je note SA=a, SB=b, SC=c; en outre OA=OB =OC=r.
Par rapport au tri`edre Suvw on a les coordonn´ees A(a,0,0) ; B(0, b,0) ; C(0,0, c).
Les coordonn´ees (u, v, w) deO dans ce tri`edre satisfont l’´equation du plan du cercle
u/a+v/b+w/c= 1.
Pour ´evaluer l’expressionSO2−r2 dans le tri`edreSuvw on a SO2−OA2 =SO2−OB2 =SO2−OC2=
= 2ua−a2 = 2vb−b2= 2wc−c2 =
=a2(2u/a−1) =b2(2v/b−1) =c2(2w/c−1) =
= 2u/a+ 2v/b+ 2w/c−3
1/a2+ 1/b2+ 1/c2 = −1
1/a2+ 1/b2+ 1/c2
=−SH2,
H ´etant la projection de S sur le plan du cercle, car SH= 1/p1/a2+ 1/b2+ 1/c2.
Six, y, z sont les coordonn´ees de S dans un rep`ere d’origineO (le plan du cercle ´etant z= 0),
SO2−r2=x2+y2+z2−r2 =−SH2 =−z2,
et le lieu deS, d’´equation x2+y2+ 2z2 =r2, est l’ellipso¨ıde de r´evolution aplati ayant pour ´equateur le cercle donn´e, et pour demi-petit axer/√
2.
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