DS 01

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Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Ds 01 Seconde – Septembre 2007

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Nom : vendredi 28 Septembre 2007

Prénom : DS de Mathématiques n°I

Classe : (durée : 2h , calculatrice interdite)

Exercice n° I (4.5 points)

I) Lorsque cela est possible (répondre sur le sujet) :

1) Donner un rationnel non décimal plus grand que 2:

2) Donner un réel non rationnel plus petit que 5 : 3) Donner un décimal non rationnel :

4) Donner un irrationnel compris entre 2 3_et

3 5_:

II) En justifiant précisément votre réponse, dites si 2

3 est un rationnel

III) 1) Résoudre dans D l’équation suivante : -3x + 5 = 12 2) Résoudre dans Z l’équation suivante : 3x² + 6 = 33

Exercice n°II (4 point)

1) parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ? Justifier vos réponses.

2013 ; 145 ; 41 ; 73 ; 143

2) a) Déterminer la décomposition en produits de facteurs premiers de 315 et 975 b) Déterminer le PGCD des deux nombres précédents

c) simplifier la fraction suivante 975 315

Exercice n°III : effectuez les calculs suivants : (4 points)

A = 7- 4 ( 1- 3 1 1 1)

2

B =

3 2 5 2 4

3 ) 5 4 ( 2 3

− +

+

− C = 1+

4 1 1

1 +

(2)

2

Exercice n°IV : Simplifier les expressions suivantes : (4 points)

A =

27 2 3

24 9 2

11 4

3 6

×

× B = ₅₈ ₅₉

10 1 10

1 − C= (5 ⁻²×3 ) ³

Exercice n° V Simplifier le plus possible les expressions suivantes (4 points)

1) 2 3−3 2+ 8−2 32 2) 4 27 7 3

3

5 +

−+ 3) 5−(2+ 3) ²

Exercice bonus (1.5 points)

« On choisit de façon arbitraire quatre entiers naturels consécutifs et non nuls.

On effectue le produit du plus petit par le plus grand. A ce produit on retranche le produit des deux autres entiers. On obtient toujours -2. »

Lire soigneusement ce texte, puis répondre aux questions suivantes : 1) Vérifier que le texte est vrai avec les entiers consécutifs 1, 2, 3, 4.

2) Vérifier que le texte est vrai avec un autre exemple de votre choix.

3) Pour démontrer que le texte est vrai dans le cas général, on désigne par a le plus petit des quatre entiers naturels. Comment s’écrivent les autres ? Démontrer alors l’affirmation du texte.

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3

CORRIGE Exercice n° I.

I.

1. 7

3 est un rationnel non décimal plus grand que 2.

2. π est un réel non rationnel plus petit que 5.

3. Il n’existe pas de nombre décimal non rationnel puisque ID⊂ℚ. 4. 2

π est irrationnel compris entre 2 3_et

3 5_.

II. Prouvons que 2

3 est un irrationnel.

Raisonnons par l’absurde et supposons que 3

2 ∈ℚ. Il existe donc deux relatifs a et b tels que 3 2

a

=b et

donc 2

3 a

= b .

Mais comme d’après le cours 3 est irrationnel, cette dernière conclusion est impossible et donc l’hypothèse « 3

2 ∈ℚ » est absurde : ainsi 2

3 est un irrationnel.

III.

1. On a 7

3 5 12 3 7

x x x 3

− + = ⇔ − = ⇔ = − : mais 7 3 ID

− ∉ donc dans ID, cette équation n’admet aucune solution.

2. 3x² + 6 = 33^⇔³^x² ⁼²⁷^⇔^x² ^{= ⇔}⁹ ^x²^{− = ⇔}³² ⁰

(

^x⁻³

)(

^x^{+ =}³

)

⁰ soit x = -3 ou x = 3 : ces deux solutions sont bien dans ℤ.

Exercice n° II.

1.

2013 n’est pas premier car il est divisible par 3 (somme des chiffres divisible par 3.

145 n’est pas premier car il est divisible par 5.

41 est premier : pour le vérifier, il suffit de tester tous les diviseurs premiers inférieurs à 41≈6.4, cad 2, 3 et 5.

73 est premier : pour le vérifier, il suffit de tester tous les diviseurs premiers inférieurs à 73≈8.5, cad 2, 3, 5 et 7.

143 n’est pas premier : pour le vérifier, il suffit de tester tous les diviseurs premiers inférieurs à 143≈11, 9 : on constate alors que 11 divise 143.

2a.

On a 315= ×5 63= × × = × ×5 7 9 3² 5 7. On a 975= ×5 195= ×5² 39= × ×3 5² 13.

(4)

4

2b.

Pour en déduire le pgcd de 315 et 975, on regarde les facteurs premiers communs et on garde les plus grandes puissances communes. Ici pgcd= × =3 5 15.

2c. On en déduit que 315 15 3 7 21 975 15 5 13 65

= × × =

× × .

Exercice n° III.

2 2

1 2 4 63 16 47

7 4 1 7 4 7 4

3 3 9 9 9 9

A    

= −  −  = −   = − × = − =

    .

B =

32 54 2

3 ) 52 4 ( 3

− +

+

− =

26 19

3 15 15 19

2 32 15

2 15 15

 

− 

  = =

+

×15 19 32 =32 C = 1+

4 1 1

1 + ⁼

1 4 9

1 1

5 5 5

4

+ = + = .

Exercice n° IV.

A = ⁶ ³ ⁶

( )

² ³ ³ ⁹ ⁷

4 11 4 11 3 7 11 2

2 3 3 2

2 9 24 2 3 1

3 2 27 3 2 3 3 2 2

× × ×

× × = = × =

× × × × ×

B = 1₅₈ 1₅₉ 10₅₉ 1₅₉ 9₅₉ 10 −10 =10 −10 =10 C= ⁽⁵⁻²^×³⁾³ ⁼

( )

⁵⁻² ³^{× =}³³ ⁵⁻⁶^×³³

Exercice n° V.

1. 2 3 3 2− + 8−2 32=2 3 3 2− + 2²× −2 2 4²× =2 2 3 3 2− +2 2−8 2 =2 3 9 2−

2. Déjà

( )( )

5 3 3 7

5 3 12 3 38 6 3 19

3 49 23

3 7 3 7 3 7

− −

− = = − = − −

+ + − − . Ensuite 4 27=4 9 3× =12 3.

Par conséquent 5 3 6 3 19 270 3 19

4 27 12 3 ..

23 23

3 7

 

−+ + = − − + = = + .

(5)

5

Exercice Bonus.

« On choisit de façon arbitraire quatre entiers naturels consécutifs et non nuls.

On effectue le produit du plus petit par le plus grand. A ce produit on retranche le produit des deux autres entiers. On obtient toujours -2. »

Lire soigneusement ce texte, puis répondre aux questions suivantes : 1. On a 4 1 3 2× − × = − = −4 6 2 : affirmation vérifiée.

2. De même, pour 7, 8, 9 et 10, on a : 10 7 8 9× − × =70 72− = −2 , affirmation vérifiée.

3. Si a est un entier naturel quelconque, les entiers successifs sont a+1, a+2 et a+3.

On a : ^{a a}⁽ ^{+ − +}³⁾

(

^a ¹

)(

^a^{+ =}²

) (

^a²⁺³^a

) (

⁻ ^a²⁺³^a^{+ = −}²

)

² donc l’affirmation du texte est vérifiée.