________ Calcul et analyse ________

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

________ Calcul et analyse ^________

COURS

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section DUT Maths S1.

%

SOMMAIRE

1 POURCENTAGES ET INDICES 3

1.1 PROPORTIONNALITE 3

1.2 INDICES 4

1.3 TAUX ET POURCENTAGES 5

2 MATHEMATIQUES FINANCIERES 8

2.1 CONTEXTE 8

2.2 LES INTERETS SIMPLES 9

2.3 LES INTERETS COMPOSES 10

2.4 LES EMPRUNTS INDIVIS 12

3 METHODES DU 1^ER DEGRE 14

3.1 PRESENTATION ET RESULTATS 14

3.2 SYSTEMES D’EQUATIONS 16

4 1^ER DEGRE : INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE 17

4.1 MISE EN EQUATION DES CONTRAINTES 17

4.2 REPRESENTATION GRAPHIQUE - POLYGONE DES CONTRAINTES 18 4.3 DROITES D'ISO-PROFIT (OU ISO-COUT), OPTIMISATION 18

5 POLYNOMES DU 2^D DEGRE 20

5.1 INTRODUCTION 20

5.2 EQUATION DU SECOND DEGRE 20

5.3 SIGNE DU TRINOME 21

5.4 SENS DE VARIATIONS, EXTREMUM 22

5.5 RECAPITULONS : 22

6 ETUDES DE FONCTIONS 23

6.1 NOMBRE DERIVE D’UNE FONCTION EN UN POINT 23

6.2 FONCTION DERIVEE DE F, VARIATIONS 26

6.3 COMPLEMENTS SUR LA FONCTION LN : LOGARITHME NEPERIEN 29 6.4 COMPLEMENTS SUR LA FONCTION EXP : EXPONENTIELLE DE BASE E 29 6.5 PLAN D’ETUDE D’UNE FONCTION ET CONSEILS GRAPHIQUES 30

1 Pourcentages et indices

1.1 Proportionnalité

1.1.1 Listes proportionnelles

Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.

On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.

Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.

Notons "p" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.

Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70).

Les rapports 7/2, 14/4, 21/6, 35/10, 52,5/15 et 70/20 sont tous égaux à 3,5.

Les listes A et B sont donc proportionnelles.

Le coefficient de proportion de A vers B est 3,5.

Remarque : les rapports peuvent être testés dans le sens inverse.

Les rapports 2/7, 4/14, 6/21, 10/35, 15/52,5 et 20/70 sont tous égaux à 2/7 ≈ 0,2857.

Les listes A et B sont donc proportionnelles.

Le coefficient de proportion de B vers A est 2/7.

1.1.2 Formules rectangulaires

Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, a c

b=d, b et d non nuls.

Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, c) et (b, d) de longueur 2.

Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix :

ad = bc

^.

Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :

a c

b=d permet la notation a b c d ^, qui entraîne les égalités : a b b d c d

c =d, a = c , a =b

3 ...

1 2

1 2 3

n n

b

b b b

a =a =a = =a

1.2 Indices

1.2.1 Présentation et exemple (exigible)

Lorsqu'on veut suivre dans le temps l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de référence ; pour cela, elle est mise en correspondance avec une valeur « ronde », indice initial de référence, au choix : 1, 10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour devenir des indices.

Exemple :

Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2012, 2,12 €/kg en 2013, 1,53 €/kg en 2014. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2012, calculer les indices du cours en 2013 et 2014.

2012 2013 2014

1,84 2,12 1,53

1000 1152,17 831,52

indice 2013 = 2,12×1000/1,84 ≈ 1152,17 indice 2014 : 1,53×1000/1,84 ≈ 831,52

1.2.2 Compléments : définition et propriétés (non exigible)

Un indice est un rapport entre deux valeurs Pi et P0 prises aux époques i et 0 afin de mesurer l’évolution d’un phénomène dans le temps. Les indices synthétiques permettent de combiner l’évolution simultanée de plusieurs phénomènes.

Indice simple ou indice élémentaire

Un indice est dit élémentaire lorsqu’il ne concerne qu’un seul phénomène.

Soient Pi et P0 deux valeurs prises aux époques i et 0, Ii/0 = Pi

P0

.

Ii/0 est l’indice de la valeur P à l’époque i par rapport à l’époque 0 (base).

Il arrive qu’on exprime ce ratio en pourcentage, il suffit donc de le multiplier par 100. Dans ce cas, on dit que la base 100 est à l’époque 0 et les indices suivants seront appelés « pourcentages ».

Indice synthétique

Un indice synthétique permet de mesurer l’évolution de plusieurs grandeurs simultanément. Cela revient à calculer la moyenne des différents indices simples des différentes grandeurs.

L’élaboration d’un indice synthétique pose deux problèmes :

- Le choix d’une moyenne : la moyenne arithmétique est la plus utilisée

- Le choix de la pondération : pour tenir compte de l’importance du poids de chaque composante dans l’ensemble des grandeurs, on pondère les indices élémentaires par un coefficient (quantités pour calculer un indice de prix…). En définitive, il existe un grand nombre de pondérations. On n’en présentera que deux ici :

* Méthode de Laspeyres : les poids sont choisis à l’époque 0

* Méthode de Paasche : les poids sont choisis à l’époque 1

Indices Laspeyres Paasche

Des prix LP(1/0) = Σ (P1 Q0)

Σ (P0 Q0) PP(1/0) = Σ (P1 Q1) Σ (P0 Q1) Des quantités LQ(1/0) = Σ (Q1 P0)

Σ (Q P) PQ(1/0) = Σ (Q1 P1) Σ (Q P )

1.3 Taux et pourcentages 1.3.1 Taux et pourcentages fixes

* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v V ^. Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80%

Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48 ≈ 1,042 = 104,2%

Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25% (exercice 3) Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200%

* Le "symbole" % :

« % » signifie « /100 » ; c’est une opération.

La conversion d’un rapport en une fraction sur 100, par exemple : 20/25 = 0,8 = 80/100 est extrêmement courante depuis longtemps, et l’écriture manuelle souvent rapide de cette division par 100 s’est déformée au fil des siècles jusqu’à ce que l’un des zéros de 100 se retrouve du mauvais côté du trait de fraction et que le 1 de 100 disparaisse.

Dire 80%, c’est donc dire 80/100, c’est-à-dire : 80% = 0,8.

* Pourcentage fixe :

Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = v×100= ×100

V t ^.

pourcentages…

de 20 par rapport à 25 : 80 de 50 par rapport à 48 : 104,2 de 8 par rapport à 32 : 25 de 56 par rapport à 28 : 200

* Pourcentage fixe et proportion :

Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est : calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.

Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.

Exemple :

valeur pourcentage

testée 20 80

référence 25 100

" 20 représente 80 % de 25 ".

valeur pourcentage

testée 50 104,2

référence 48 100

" 50 représente 104,2 % de 48 ".

valeur pourcentage

testée 8 25

référence 32 100

" 25 % de 32 valent 8 ".

valeur pourcentage

testée 56 200

référence 28 100

" 200 % de 28 valent 56 ".

1.3.2 Taux et pourcentages de variation

On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2. La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.

La variation est égale à v2 - v1. Le taux de variation est le nombre v v

v

2− 1 1

(le pourcentage vaut cent fois le taux).

Taux de variation de 20 vers 25 : 25 20 5 , % 0 25 25

20 20

− = = = +

Taux de variation de 50 vers 48 : 48 50 2 , % 0 04 4

50 50

− =− = − = −

Taux de variation de 28 vers 56 : 56 28 28 % 1 100

28 28

− = = = +

Taux de variation de 56 vers 28 : 28 56 28 , % 0 5 50

56 56

− = − = − = −

* Pourcentage de variation et proportion :

tableau de proportion mettant en rapport : * la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ?

valeur pourcentage

valeur initiale (référence) 35 100

* Coefficient multiplicateur :

Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul : v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.

Mais comme % signifie /100 : 2 1 1

(

1

)

1 1

100

 

= + × = + × = ×

 

v p v t v c v

Diminuer une valeur v1 de p%, nous donne une valeur v2 : 2 1 1

(

1

)

1 1

100

 

= − × = − × = ×

 

v p v t v c v

On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation p à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient c.

Exemples :

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 19,6%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

, , , , , €

2 1

1 1 19 6 248 5 1 196 248 5 297 21

100 100

   

= + × = + × = × ≈

   

v p v

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

2 1 1 , 1

1 1 15 0 85

100 100

   

= − × = − × = ×

   

v p v v v , donc ,

, €

, ,

2 1

71 25

83 82 0 85 0 85

= v = ≈

v .

* Variations successives et taux moyen :

Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

% , , %

, , %

12 23

34

96 32 64 140 96 44

2 200 0 4583 45 83

32 32 96 96

40 140 100

0 7143 71 43

140 140

− −

= = = = + = = ≈ = +

− −

= = ≈ − = −

t t

t

2. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4.

, %

14

40 32 8

0 25 25

32 32

= − = = = +

t

3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

On recherche un taux de variation tM qui, appliqué trois fois de suite à partir de 32, nous fasse obtenir 40 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

,

, , ,

3 3

1 3 3

32 1 1 1 40 32 1 40 1 1 25

1 1 25 1 25 1 07722

× + × + × + = ⇔ × + = ⇔ + =

⇔ + = = ≈

M M M M M

M

t t t t t

t

Donc tM = 0,07722 = 7,722%.

2 Mathématiques financières

2.1 Contexte 2.1.1 Introduction

La valeur de l’argent évolue dans le temps ; en général : un euro aujourd’hui vaut moins qu’un euro dans le passé (il y a la plupart du temps inflation des prix). D’autre part, il est possible de faire fructifier une somme déposée sur un compte, dont le montant augmente donc avec le temps. Enfin, un montant emprunté sera remboursé avec suppléments. Bref, que ce soit « naturellement » ou « artificiellement », une somme d’argent évolue avec le temps.

Les mathématiques financières présentent les façons dont on peut calculer l’évolution d’un montant (placé ou à rembourser). On ne pourra mentionner un montant qu’en faisant clairement référence à la période à laquelle on se place et on ne pourra comparer deux montants que si on les exprime à la même période.

2.1.2 Intérêts

Les créanciers prêtent des capitaux contre une rémunération : les intérêts, ce que l’on rembourse en plus du capital emprunté. Nous percevons également des intérêts lorsque nous plaçons notre argent sur un produit bancaire qui rapporte un certain taux d’intérêts (périodique). Les intérêts augmentent bien entendu avec la durée : plus nous mettons longtemps à rembourser un emprunt, plus nous payons d’intérêts

(suppléments par rapport à la somme empruntée) ; plus nous laissons de temps à l’argent que nous avons placé sur un compte rémunéré, plus nous gagnons d’intérêts (suppléments par rapport à la somme placée).

2.1.3 Actualisation et capitalisation

Le fait de « gagner » de l’argent en déposant une somme sur un compte s’appelle la capitalisation d’une somme. Le fait de calculer quelle somme il faudrait placer actuellement pour obtenir un montant désiré au bout d’une certaine durée s’appelle l’actualisation : on cherche la valeur actuelle de la somme désirée.

2.1.4 Mesure du temps

Par convention, une année se compose de 360 jours, partagés en 12 mois de 30 jours. Par exemple, un placement effectué du 1^er février 2015 au 31 juillet 2016 est financièrement parlant un placement de 18 mois, soit 540 jours, ou encore 1,5 année – alors qu’en réalité ce placement a duré 547 jours, soit 547/365^e de l’année.

Cependant, pour des opérations relevant de durées inférieures à un an (typiquement : prêts courts, reports de paiement en calculs d’intérêts simples), le nombre de jours qui séparent la date de placement de la date de versement est calculé en comptant le nombre réel de jours (jours calendaires), le premier jour n’est pas pris en compte et le dernier jour est pris en compte entièrement.

2.2 Les intérêts simples

La rémunération d’une somme déposée sur un compte est dite à intérêts simples lorsque tout au long du placement ceux-ci sont calculés uniquement sur la valeur du capital de départ placé. Lorsqu’une durée n s’est écoulée depuis le début du remboursement, le montant total des intérêts simples payés est proportionnel à n (on parle de prorata temporis).

Les intérêts simples sont utilisés pour des placements ou des prêts de courte durée, en général : moins d’un an ; ils sont souvent réglés en une fois en début ou en fin de période.

Attention : lorsqu’une période courte est mise en jeu, le nombre de jours réel doit être pris en compte ! Notons : C0 le capital emprunté ou placé initialement

t le taux d’intérêts annuel

n la durée de remboursement ou de placement

2.2.1 Calcul de l’intérêt simple : I

n en années :

I = C

0×

t

×

n

n en jours :

I = C

0×

t

×

360 n

2.2.2 Valeur acquise d’un capital placé à intérêts simples : C

n

Valeur acquise = valeur totale, notée le plus souvent Cn

si n est donné en années :

C

n

= C

0

+ i

=

C

0

(1 + nt) 2.2.3 Valeur actuelle d’un capital :

C’est la somme C0 que l’on doit placer aujourd’hui pour obtenir Cn dans n années.

On a immédiatement :

C

0

= C

ⁿ

+ nt 1

^.

« Actualiser » un montant, c’est déterminer sa valeur actuelle.

2.2.4 Taux proportionnels

En intérêts simples, un taux annuel t correspond par exemple à deux taux semestriels t/2.

(placer 1000 € pendant un an au taux d’intérêts de 8% annuels revient au même que de placer 1000 € pendant un an à 4% semestriels – cela ne sera plus vrai en intérêts composés !).

En effet, au bout de six mois, n = 1/2 année ; ainsi, un capital placé C0 aura rapporté en intérêts la somme I = C0×t×1/2, soit la moitié des intérêts qu’il rapporterait en un an.

On peut déduire de ce principe que les intérêts accumulés ou payés sont proportionnels à la durée et que le taux correspondant l’est aussi, bien entendu.

2.3 Les intérêts composés

Un capital est dit placé ou rémunéré à intérêts composés lorsque les intérêts s’ajoutent périodiquement au capital actuel pour constituer le capital de la période suivante et pour générer à leur tour des intérêts.

On parle alors de capitalisation.

Ils sont utilisés dans le cas d’emprunts ou de placements à moyen et long terme.

2.3.1 Valeur acquise d’un capital placé à intérêts composés : C

n

Notons : C0 le capital emprunté ou placé initialement t le taux d’intérêts annuel

n la durée de remboursement ou de placement, ici en années

Expliquons le processus en détail, période après période, sur l’exemple d’un placement :

# année (= période)

Capital de début

d’année Intérêts de l’année Capital de fin d’année

1 C0 C0 × t C0 + C0 × t = C0 (1 + t)

2 C0(1 + t) C0(1 + t) × t C0 (1 + t) + C0(1 + t) × t = C0(1 + t)² 3 C0(1 + t)² C0(1 + t)² × t C0 (1 + t)² + C0(1 + t)² × t = C0(1 + t)³

… … … …

n C0(1 + t)^n-1 C0(1 + t)^n-1 × t C0 (1 + t)^n-1 + C0(1 + t)^n-1 × t = C0(1 + t)ⁿ

( )

ⁿ

C

n

= C

₀

1 + t

2.3.2 Valeur actuelle d’un capital

C’est la somme C0 que l’on doit placer aujourd’hui pour obtenir Cn dans n années.

( )

( )

0

1

1

= +

−

=

+

n n

n n

C C t C

t

2.3.3 Intérêts

Les intérêts acquis au bout de n périodes valent

^I

ⁿ

^{= − = C}

ⁿ

^C

⁰

^C

⁰

( ( ^{1 + t} )

ⁿ

^{− 1} )

Suivant la formule du point 2.3.2, on peut aussi écrire :

^I

ⁿ

^{= − = C}

ⁿ

^C

⁰

^C

ⁿ

( ^{1 − +} ( ^{1 t} )

⁻ⁿ

)

remarque : le nombre

^{1 − +} ( ^{1 t} )

⁻ⁿ est appelé taux d’actualisation.

2.3.4 Taux non proportionnel à la durée !

En intérêts composés, les taux et les durées ne sont pas proportionnels !

Par exemple, un placement à 20% annuels ne correspond pas à un placement sur deux semestres successifs au taux semestriel de 10%.

En effet, si, à un capital initial C0, j’appliquais à deux reprises tous les six mois un taux t/2, alors au bout d’un an le capital vaudrait C0 (1 + t/2)², qui ne vaut pas C0(1 + t) !

Pour s’en convaincre, appliquons l’exemple cité :

Augmentons 1000 € deux fois de suite de 10% : 1000 × 1,10 × 1,10 = 1210 € Augmentons 1000 € une fois de 20% : 1000 × 1,20 = 1200 €

Sur deux périodes, l’écart n’est pas très important, mais il n’est pas nul ;

plus le nombre de périodes augmente, plus l’écart est grand par rapport aux valeurs.

La solution : les intérêts accumulés ou payés sur une durée n se calculent sur la base d’un coefficient multiplicateur égal à (1 + t)ⁿ – cf formule du point 2.3.1) où n, à exprimer en années si le taux est annuel, n’est pas tenu d’être un nombre entier.

Reprenons notre exemple :

Un taux annuel de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,20.

Sur six mois, n = 6/12 = 1/2 = 0,5, le coefficient semestriel est 1,2^0,5≈ 1,09545 soit un taux d’intérêts semestriel d’environ 9,545 % (et non 10%).

Sur un mois, n = 1/12, le coefficient correspondant est 1,2^1/12≈ 1,01531, soit un taux d’intérêts mensuel d’environ 1,531 % (et non 1,666667%).

2.3.5 Taux équivalents

Un capital peut être placé pendant n années au taux d’intérêts t, ou pendant p années au taux d’intérêts v.

Les deux taux d’intérêts sont dits équivalents lorsqu’à l’issue des périodes les capitaux acquis sont les mêmes.

Exemple : plaçons 1000 € à 5% sur 8 ans. Quel taux serait équivalent sur 6 ans ? Valeur acquise : 1000.1,05⁸ = 1477,46 €.

(1+v)⁶ = 1,47746, soit v = 1,47746^1/6 – 1 = 0,06722 = 6,722%

2.3.6 Capitaux équivalents

Un capital est, un jour donné, équivalent à plusieurs autres si leurs valeurs acquises (à la même date) sont égales.

Soit trois capitaux initiaux placés à 8% : 1000€ sur 2 ans, 500€ sur 4 ans, 1500€ sur 5 ans.

Quelle est l’échéance n d’un capital équivalent de 3200€ initiaux placés au même taux en intérêts composés ? 1000.1,08² + 500.1,08⁴ + 1500.1,08⁵ = 4050,64

3200.1,08ⁿ = 4050,64 donc 1,08ⁿ = 1,2658

donc n = ln(1,2658)/ln1,08 = 3,0629 ans = 36,75 mois

2.4 Les emprunts indivis

Ce sont des emprunts contractés auprès d’un prêteur unique.

Deux modalités existent : - le remboursement par amortissements constants - le remboursement par annuités constantes

(il existe d’autres modes de remboursement, moins réguliers, consistant à rembourser le capital emprunté en totalité en fin de période, soit en faisant de même pour les intérêts, soit en échelonnant ces derniers – voir par exemple le remboursement in fine).

L’amortissement est la valeur du capital remboursée chaque année.

L’annuité est la somme que l’on débourse annuellement pour remboursement de l’emprunt.

ANNUITE = AMORTISSEMENT + INTERETS Les intérêts sont calculés pour chaque période sur la base du capital restant dû.

Le coût du prêt représente le montant total des intérêts versés.

2.4.1 Remboursement par amortissements constants

Exemple : l’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par amortissements constants, au taux de 5% l’an.

On calcule d’abord l’amortissement annuel, puis les capitaux restants dus, sur la base desquels le taux d’intérêts est appliqué.

Années Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N + 1 N + 2 N + 3 N + 4

100000 80000 60000 40000 20000

20000 20000 20000 20000 20000

5000 4000 3000 2000 1000

25000 24000 23000 22000 21000

80000 60000 40000 20000

0

100000 15000 115000

2.4.2 Remboursement par annuités constantes

(ça peut être, bien entendu, par mensualités plutôt que par annuités) Notons « a » l’annuité que l’emprunteur devra rembourser chaque année.

A la fin du remboursement, le prêteur devra avoir récupéré une valeur ^{Cn =C0}

(

^1+t

)

^n.

Or, la valeur finale acquise d’une annuité a versée k années avant la fin est ^a

(

^1+t

)

^k.

Donc, la somme des valeurs finales des annuités devant coïncider avec Cn :

( )

1

0

1

n k

n k

C a t

−

=

=

∑

+ , qui se trouve être la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme a et de raison

(

^1+t

)

. La formule consacrée, pour ces suites, donne :

(

¹

)

¹

(

¹

)

¹

1 1

n n

n

t t

C a a

t t

+ − + −

= =

+ − , et comme C_n =C0

(

1+t

)

^{n, on a :}

( )

0

1 1 t ⁿ

C a

t

− + −

= ^.

L’annuité à rembourser est donc : ⁰

¹ ( ¹ )

ⁿ

a C t

t

⁻

= − +

^.

Exemple : l’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par annuités constantes, au taux de 5% l’an.

On calcule d’abord l’annuité par la formule ci-dessus, puis le premier intérêt (égal au taux appliqué au capital de départ) qui nous permet d’en déduire le premier amortissement, d’où le capital restant dû en fin de première année, et ainsi de suite.

Années Capital restant dû (début de période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de période)

N 100000,00 18097,48 5000,00 23097,48 81902,52

N + 1 81902,52 19002,35 4095,13 23097,48 62900,17

N + 2 62900,17 19952,47 3145,01 23097,48 42947,69

N + 3 42947,69 20950,10 2147,38 23097,48 21997,60

N + 4 21997,60 21997,60 1099,88 23097,48 0,00

100000,00 15487,40 115487,40

Montant total des intérêts (« coût du prêt ») :

a n C × −

₀

On peut remarquer que les amortissements progressent géométriquement, avec 1,05 pour raison : l’amortissement de l’année N + k est celui de l’année N multiplié par 1,05^k.

Il en découle qu’en cours de remboursement, l’amortissement total remboursé au bout de k années, Ak, s’exprime comme suit :

( )

1

1 ^k 1

k

A A t t + −

= ^.

3 Méthodes du 1

^er

degré

3.1 Présentation et résultats 3.1.1 Une variable/inconnue

On traite ici des expressions affines, de type P(x) = ax + b, où a et b sont deux coefficients réels fixés (si a est nul, l’expression est de degré zéro, cas que nous engloberons également), et x une variable réelle pouvant a priori parcourir ℝ tout entier.

Il est clair que lorsqu’on fait varier x, le nombre P(x) varie à son tour.

Nous avons ici pour objectifs :

* de déterminer quelles sont les valeurs de x qui rendent P(x) négatif, nul, ou positif, ou encore inférieur, égal ou supérieur à un certain nombre ;

* d’établir le sens de variation de P(x) – si x croît, P(x) fait-il de même ? Nous admettrons les résultats présentés ci-dessous :

:

0 0 b

a ax b x

≠ + = ⇔ = −a

: :

a ax b x b

a

a ax b x b

a

> + > ⇔ > −

< + > ⇔ < −

0 0

0 0

: k b

a ax b k x

a

≠0 + = ⇔ = −

: :

k b

a ax b k x

a k b

a ax b k x

a

> + > ⇔ > −

< + > ⇔ < − 0

0

ax b a

ax b a

+ ⇔ >

+ ⇔ <

strictement croissant 0 strictement décroissant 0

Les formes du premier degré présentent des « variations proportionnelles » : Si x varie de 1 unité, ax + b varie de a unités ;

Si x varie de 10 unités, ax + b varie de 10×a unités ; etc.

Si ces propriétés ne vous semblent pas évidentes, il est nécessaire de vous réentraîner.

3.1.2 Représentation graphique

Travaillons dans un plan que l’on munit d’un repère

(

^{O, ,i j}

)

. Tout point de ce plan peut être décrit de manière unique par le couple de ses coordonnées (par projection sur un axe parallèlement à l’autre), couple que nous noterons

( )

^{x y, .}

Dans ce cadre, choisissons deux réels a et b. Les points du plan dont les coordonnées ont la particularité de vérifier l’égalité y = ax + b sont tous les points d’une même droite, ni plus, ni moins.

Appelons (D) cette droite.

Le nombre a est la pente, ou coefficient directeur, de (D) ;

le nombre b est l’ordonnée à l’origine de (D) (à l’intersection de la droite avec l’axe Oy) ; la relation y = ax + b est l’équation (réduite) de (D).

Les autres points du plan dont les coordonnées vérifient y > ax + b (resp. y < ax + b) sont tous les points du demi-plan qui se trouve « au-dessus » (resp. « au-dessous ») de (D).

3.2 Systèmes d’équations

On cherche ici à répondre à la question posée de l’existence d’une liste (x0, y0, z0, …) de valeurs inconnues (au départ) d’un certain nombre de variables x, y, z, … , existence soumise à conditions par le biais d’équations qui les lient.

Le nombre de variables/inconnues, le nombre d’équations les mettant en relation et la forme de ces relations sont parfaitement arbitraires et dépendent du cas concret considéré.

Nous nous cantonnerons ici à des systèmes de deux équations à deux inconnues « 2,2 », ou trois équations à trois inconnues « 3,3 », et qui plus est des systèmes linéaires, donc de la forme :

( ) ( )

a x b y c E a x b y c E

 + =



+ =



1 1 1 1

2 2 2 2

ou

( ) ( ) ( )

a x b y c z d E a x b y c z d E a x b y c z d E

 + + =

 + + =

 + + =



1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

On peut savoir d’emblée si tel ou tel système linéaire possède une solution unique – un couple

(

^{x y0, 0}

)

^{, un}

triplet

(

^{x y z}0^, 0^, 0

)

- ou alors si le système en possède une infinité, ou pas du tout.

Dans le cas de la solution unique, rappelons ici simplement les techniques « manuelles » de résolution : L’identification

Se pratique plus facilement sur les systèmes « 2,2 » ; consiste à choisir une des deux inconnues, l’écrire dans chaque équation en fonction de l’autre, puis dire que les deux expressions sont identiques.

La substitution

Consiste, dans une équation, à exprimer une inconnue en fonction des autres, puis d’en faire le remplacement dans les autres équations.

La combinaison linéaire

Consiste à remplacer une des équations,

( )

Ei , par une combinaison linéaire d’elle-même avec une, deux ou plusieurs autres, donc par une équation de type ^a×

( )

^{Ei + ×b}

( )

^{Ej + ×c}

^{( )}

^{Ek +...} dans le but d’y éliminer l’une des inconnues.

Le pivot de Gauss (pour les férus de calcul)

Consiste à utiliser des combinaisons linéaires bien choisies qui rendent le système triangulaire.

4 1

^er

degré : introduction à la programmation linéaire

Programmation linéaire :

Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction (économique le plus souvent) compte tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations du premier degré.

Nous travaillerons ici exclusivement sur des problèmes linéaires et à deux variables (cas plus complexes traités en deuxième année et – heureusement - sur tableur). Malgré la simplicité (non apparente) de ce que nous traiterons au-dessous, la méthodologie que nous allons suivre est très générale : c’est celle de la mise en équation d’un problème, quel qu’il soit.

Progressons par étapes, en suivant un exemple "fil rouge".

Exemple fil rouge :

Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :

* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 80 € le lot de cent bouteilles,

* par bouteilles d'un demi litre, vendues 30 € le lot de cent bouteilles.

Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers :

atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h,

atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.

Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 100 bouteilles à produire (les données sont volontairement simplistes, voire irréalistes, pour faciliter les calculs dans le cadre de cet exemple) :

atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ? Pour la résolution de ce problème, voir les corrigés des exercices 54, 55 et 56 dont on reprend les énoncés ci-dessous (respectivement TD 4.1, 4.2 et 4.3).

4.1 Mise en équation des contraintes

Les temps maximum passés dans chaque atelier ne permettent pas de produire à l'infini…

TD4.1 : Système de contraintes

a. Que sont ici les variables ?

b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ?

c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans l'atelier 1 ? d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3

e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système unique, où chaque inéquation sera écrite sous sa forme réduite.

4.2 Représentation graphique - polygone des contraintes

Une inéquation linéaire du premier degré à deux inconnues a pour forme cartésienne : Ax + By + C < 0 , et pour forme réduite : y < ax + b ou y > ax + b ou x < c ou x > c.

Ses solutions sont les couples (x, y) correspondant aux points d'un demi-plan délimité par la droite d'équation y = ax + b ou d'équation x = c.

Les solutions d'un système composé de telles inéquations sont les couples (x, y) correspondant aux points communs aux demi-plans solutions de chaque équation.

On pratique là un régionnement du plan.

TD4.2 : Polygone des contraintes

a. Représenter, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du système de contraintes obtenu au TD1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi que les droites tracées

Mettre en évidence la région du plan solution du système.

Marquer en gras le polygone des contraintes, frontière de cette région.

b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone.

c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ? d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ?

4.3 Droites d'iso-profit (ou iso-coût), optimisation

Une équation du type C = ax + by reliant deux variables x et y se traduit par une droite du plan.

Si b est différent de 0, son équation réduite s'exprime ainsi : y = -(a/b)x + C/b.

-(a/b) est son coefficient directeur, ou pente ;

C/b est son ordonnée à l'origine, ordonnée du point d'intersection entre la droite et l'axe (Oy).

Supposons a et b fixés, et gardons la possibilité de faire varier C.

A chaque valeur de C correspond une droite ; on peut donc créer une famille de droites.

Les droites de cette famille ont toutes la même pente (-a/b) : elles sont parallèles entre elles.

Leurs ordonnées à l'origine, C/b, sont proportionnelles à C.

a. Calculer C(5, 15) puis C(20, 20).

b. Pour en simplifier l'écriture, on notera C le chiffre d'affaires défini ci-dessus.

Exprimer C en fonction de x et y.

Mettre cette expression sous la forme de l'équation réduite d'une droite DC. c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D1200 et D2400.

d. Répondre graphiquement aux questions suivantes :

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 1200 € ? Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 2400 € ?

e. La droite d'iso-profit maximisant le chiffre d'affaires est celle qui, tout en possédant au moins un point commun avec l'intérieur du polygone des contraintes ou avec le polygone lui-même, possède la plus grande ordonnée à l'origine possible. Trouver cette droite, graphiquement.

f. Récapituler :

Le chiffre d'affaires maximum possible correspond à la production (…… ; ……) et vaut …………€.

5 Polynômes du 2

^d

degré

5.1 Introduction

Ces polynômes sont de la forme P(x) = ax² + bx + c., où a, b et c sont des coefficients réels fixés, avec a non nul, et x une variable pouvant a priori parcourir ℝ tout entier.

Lorsqu’aucun des coefficients n’est nul, on peut appeler « trinôme » ce polynôme (somme de trois monômes…)

Il est clair que lorsqu’on fait varier x, le nombre P(x) varie à son tour.

Nous avons ici pour objectifs :

* de déterminer quelles sont les valeurs de x qui rendent P(x) négatif, nul, ou positif

* d’établir le sens de variation de P(x) – si x croît, P(x) fait-il de même ? Nous admettrons les résultats présentés au-dessous.

5.2 équation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c = 0

On se place donc dans le cas très particulier (s’il est possible) de la recherche des valeurs de x qui peuvent rendre P(x) nul.

Ces valeurs de x, solutions de l’équation, sont aussi appelées racines du polynôme P(x). En fonction du polynôme choisi (donc des coefficients a, b et c), ses racines réelles sont au nombre de zéro, une ou deux. Pour déterminer l’existence et les valeurs de ces racines, il faut suivre un protocole bien défini :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Il ne se factorise pas.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle : b x′ = − a

2 . (racine « double ») Sa forme factorisée est P(x) = a(x – x′)².

∆ ′=− − ∆b ′′=− + ∆b

Exemples :

* P(x) = 2x² - 12x + 16

∆ = 12² - 4.2.16 = 144 – 128 = 16 ; ∆ > 0, donc P(x) admet deux racines réelles : (-(-12) – √16)/4 = (12 – 4)/4 = 2 et (-(-12) + √16)/4 = (12 + 4)/4 = 4.

forme factorisée : P(x)) = 2(x – 2)(x – 4)

Remarque : diviser ce polynôme par 2 ne modifie pas ses racines :

½.P(x) = x² - 6x + 8

∆ = 6² - 4.1.8 = 36 – 32 = 4 ; deux racines réelles : (6 – √4)/2 = 2 et (6 + √4)/2 = 4.

* P(x) = 2x² - 12x + 18

∆ = 12² - 4.2.18 = 144 – 144 = 0 ; ∆ = 0, donc P(x) admet une racine réelle unique : -(-12)/4 = 3.

forme factorisée : P(x) = 2(x – 3)²

* P(x) = 2x² - 12x + 20

∆ = 12² - 4.2.20 = 144 – 160 = -16

∆ < 0, donc P(x) n’admet pas de racine réelle et ne se factorise pas.

5.3 Signe du trinôme

Le signe du nombre ax² + bx + c est fortement dépendant de celui de a :

( ) ( ( ) ) ^{( )}

( ) ( ( ) ) ( )

( )

( ) ( ( ) ) ( ) [ ]

( ( ) ) ^{( )}

:

;

;

n'a pas de racine réelle pour tout

a une racine réelle double pour tout

mais 0

a deux racines réelles pour tout

pour tout

P x signe P x signe a x

P x x signe P x signe a x

P x

P x x et x signe P x signe a x x x

signe P x signe a x x

⇔ = ∈

′ ⇔ = ∈

′ =

′ ′′ ⇔ = ∈ − ′ ′′

= − ∈ ′ ′

ℝ ℝ

ℝ

[

^x′

]

Remarque :

Si le polynôme est plus simple qu’un trinôme (donc un binôme ou un monôme), il n’est pas nécessaire de mettre en route toute la méthode (∆, racines, règles ci-dessus). Par exemple :

* P(x) = 2x² + 1 est la somme de deux nombres positifs et est donc positif quel que soit x.

* P(x) = 2x² – 1 est négatif ssi ² 1

x ≤2 ssi x  ; 

∈ − 

 

1 1

2 2

* P(x) = 2x² + 6x se factorise : 2x(x + 3), qui est négatif ssi x x

x x

≥ ≤

 

 

+ ≤ + ≥

 

2 0 2 0

3 0 ou 3 0

ssi 0 0

3 ou 3

impossible

x x

x x

≥ ≤

 

 

≤ − ≥ −

  ssi ^{x∈ −}

[

^{3 0;}

]

^.

5.4 Sens de variations, extrémum

On admet que :

Si a < 0 :

P(x) est d’abord croissant puis décroissant

Son maximum est obtenu pour x = –b/2a

Si a > 0 :

P(x) est d’abord décroissant puis croissant

Son minimum est obtenu pour x = –b/2a

5.5 Récapitulons :

∆ = b² – 4ac

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

ax² + bx + c admet deux racines réelles :

ax² + bx + c admet une seule

racine réelle : ax² + bx + c n’admet pas de racine réelle.

x’ = 2 b

a

− − ∆

x’’ = b a

− + ∆

2 ^{x’ =}

b a

− 2 ax² + bx + c se factorise :

= a(x – x’)(x – x’’)

ax² + bx + c se factorise :

= a(x – x’)²

ax² + bx + c ne se factorise pas dans ℝ

a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0

ax² + bx + c est du signe de a tant que x n’est pas entre x’ et x’’.

ax² + bx + c est du signe de a (et

vaut 0 ssi x = x’). ax² + bx + c est du signe de a.

x’ x’’

b a

− 2

x’’ x’

x’

x’

b a

−

2 b

a

− 2

b a

− 2

b a

− 2

b a

− 2

6 Etudes de fonctions

6.1 Nombre dérivé d’une fonction en un point 6.1.1 Fonction

On considère une grandeur Y (par exemple, la taille d’un individu) dont l’évolution des valeurs dépend d’une grandeur X (par exemple, son âge).

On dit que Y est fonction de X et on note conjointement Y = f (X).

A une valeur x de X doit correspondre une unique valeur image y de Y.

On note : ^{f x: ֏ y= f x}

( )

pour « la fonction f qui, à x, associe son image y ».

L’ensemble dans lequel on a le droit de choisir les nombres x pour calculer les valeurs y est appelé ensemble de définition de f, noté Df.

Le lien entre x et y, en termes de calcul, est appelé expression de la fonction f.

Exemples d’expressions : ^{y= f x}

( )

^{= −x2 5x+4 ; y=ln}

(

^2x+5

)

^{; f x}

( )

⁼₁₋⁴_x

Dans un plan muni d’un repère

(

^{O O,}

( ) ( )

^{x , Oy}

)

, on place des points de coordonnées (x, y).

La courbe de la fonction f est l’ensemble Cf des points ^M

(

^{x f x,}

( ) )

^.

Exemple : soit la fonction ^{f x: ֏ y= f x}

( )

⁼₁₋⁴_x, définie sur [-∞ ; 1[.

Un tableau de quelques valeurs :

x 0 0,2 0,5 0,9

f (x) 4 5 8 40

Représentation graphique de la fonction f :

6.1.2 Taux de variation

On s’intéresse ici à la variation de y provoquée par une variation de x.

Notation : on note ∆ le vocable « variation de ».

Ainsi, pour une certaine valeur ∆x, on veut calculer la valeur ∆y correspondante.

Définition :

En un point A donné, on appelle taux de variation de f le nombre y x

∆

∆ . Remarque : de par sa forme, il s’agit de la pente du segment [AM].

Exemple : calculer le taux de variation de la fonction ^{f x: y f x}

( )

₁⁴

= = x

֏ − , pour x = 0,5 et ∆x = 0,2.

coordonnées de A : x = 0,5 ; y = f (0,5) = 8 coordonnées de M : x = 0,7 ; y = f (0,7) = 13,333 taux de variation de A vers M : y

x

∆

∆ = 5,333 / 0,2 = 26,67

M

6.1.3 Nombre dérivé de f en x = a

On souhaite savoir vers quelle valeur évolue ce taux de variation lorsqu’on rend les points A et M aussi proches que l’on veut.

Graphiquement, la pente du segment [AM] se rapproche de la pente de Cf au point A et c’est justement cette dernière que l’on veut savoir calculer.

définition :

Soit une fonction f définie sur un intervalle I de ℝ et un réel a ∈ I.

Le nombre dérivé de f en a est le nombre

( )

_lim

( ) ( )

_lim

x a x a

f x f a y

f a

x a x

→ →

− ∆

′ = =

− ∆

f ’(a) est donc la limite du taux de variation de f en a lorsque ∆x → 0, ou encore la limite de la pente du segment [AM] lorsque M tend vers A.

Remarque :

Nous supposerons dans ce cours que nous nous plaçons dans le cas où cette limite existe, donc qu’elle n’est pas infinie, et qu’elle est la même lorsque h est négatif (M est à gauche de A) et lorsque x - a est positif (M est à droite de A).

f ’(a) est la pente de la [tangente à la] courbe au point A.

6.2 Fonction dérivée de f, variations 6.2.1 Définition

On appelle fonction dérivée de f la fonction ^{f′:x֏ f′}

( )

^{x .}

Elle attribue à chaque réel x la valeur de la pente de Cf au point A d’abscisse x.

6.2.2 Variations et signe de la dérivée

De la notion de pente d’une courbe, on déduit et on admettra les équivalences suivantes :

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) > 0 ⇔ f est strictement croissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) < 0 ⇔ f est strictement décroissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) = 0 ⇔ f est constante sur I.

• Pour un unique a ∈ I, f ’(a) = 0 ⇔ La courbe de f admet un sommet (f (a) est un minimum ou un maximum) ou un point d’inflexion. Voir ci-dessous :

6.2.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Des expressions simples comme x², sin(x), 1/x, etc. se dérivent directement d’après la définition du nombre dérivé, ou pour d’autres d’après leur propre définition.

Exemple de f x: ֏x²

Le nombre dérivé de f en a est :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

lim lim lim

lim

2 2

2 2

x a x a x a

x a

f x f a x a x a x a

f a

x a x a x a

x a a a a f a a

→ → →

→

− − − +

′ = = =

− − −

= + = + = ′ =

Ceci nous permet de dire que « la dérivée de x² est 2x ».

On récapitule ci-dessous les dérivées de quelques fonctions usuelles :

f (x) f ’ (x) f (x) f ’ (x)

k constante réelle 0

puissances non entières :

x = x

¹²

x x = x

²³

x x

−

=

1

1

2

1

2 2

3 x 2 x

^α

, α réel

exemples : x⁻

1

1 2

2

x²

x

³

x

1/x = x

^-1

1/x² = x

^-2

α. ^x

^α-1

2x

3x²

1

-1/x²

-2/x

³

ln(x) 1/x

e

^x

e

^x

6.2.4 Dérivation de fonctions plus élaborées

Pour des fonctions construites à partir des fonctions usuelles, on admettra les résultats suivants (u et v représentent des fonctions, et k une constante réelle ; le point « . » est une multiplication) :

f f ’ f f ’

u + k u’ 1

v

²

v v

− ′

k

^×

u k

^×

u ’ u

v

²

u v uv v

′ − ′

u + v u ’ + v ’ u

o

v

= u ( v ) ^{v ′ × u v ′} ( )

u

^×

v u’

×

v + u

×

v’

Exemples :

formule “k×u” : comme la dérivée de x² est 2x, alors celle de 5x² est 10x, celle de –3x² est –6x, etc.

formule “u×v” : comme la dérivée de x est 1 et celle de lnx est 1/x, alors celle de x.lnx est : 1×lnx + x×1/x = lnx + 1

formule “1/v” : comme la dérivée de x² + 1 est 2x, alors celle de 3/(x² + 1) est : –3×2x / (x² + 1)² = –6x / (x² + 1)²

formule “uov” = “u(v)” : comme la dérivée de x² est 2x et celle de lnx est 1/x, alors celle de (lnx)²est : 1/x × 2lnx = 2lnx / x

formule “uov” = “u(v)” : comme la dérivée de e^x est e^x et celle de 5x est 5, alors celle de e^5x est 5.e^5x formule “uov” = “u(v)” : comme la dérivée de lnx est 1/x et celle de 5x est 5, alors celle de ln5x est :

5 × 1/5x = 1/x

6.3 Compléments sur la fonction ln : logarithme népérien

Définition : La fonction logarithme népérien ^{ln :x֏ln}

( )

^x , définie sur ]0 ; +∞[, est l’unique fonction telle que : ^ln

( )

^{x ln}

( )

′ =1x =

et 1 0. Signe de la dérivée : elle est strictement positive, comme sa variable

Sens de variation : strictement croissante sur ]0 ; +∞[

Propriétés algébriques : pour tous réels a, b et α ; a et b strictement positifs

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

ln ln ln ; ln ln ln ;

ln ln ; ln 1 ln

a b a b a a b

b

a a b

b

α α

× = +   = −

 

= ×   = −

 

Dérivées des fonctions composées basées sur un ln :

Si ^{f =ln}

( )

^{u , alors f u}

u

′ = ′

6.4 Compléments sur la fonction exp : exponentielle de base e

Définition : La fonction notée exp, exponentielle de base e, définie sur ℝ_,

est l’unique fonction telle que ^exp′

( )

^{x =exp}

( )

^{x et exp}

( )

^{0 =1 .}

Propriétés immédiates : ^exp

( )

^{x =ex} où

e ≈ 2,718

Pour tout réel x,

e

^x

> 0

.

Signe de la dérivée et sens de variation : fonction strictement croissante sur ℝ Remarque : les fonctions exp et ln sont réciproques, c’est à dire :

( )

ln

ln ln

e e pour tout réel

e pour tout réel strictement positif

x x

x

y x y x x

x x

= ⇔ = =

=

Graphiquement : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriétés algébriques :

Dérivées des fonctions composées basées sur exp : Si f =e^{u, alors}

f ′ = u ′ .e

^u

( )

; ;

;

e e e e e

e

e e e 1

e

a

a b a b a b

b

a b a b b

b

+ −

× −

= × =

= =

Représentation graphique des fonctions ln et exp : ^{e0 =1 e; 1 =e; ln}

( )

^{1 =0; ln}

( )

^{e =1}

6.5 Plan d’étude d’une fonction et conseils graphiques

* S’il y a lieu, rechercher Df (hors programme)

* Dériver f ; étudier le signe de f ’(x)

* Consigner ces résultats dans un tableau de variation (sauf dans des cas très simples)

* Tracer un repère avec des échelles bien choisies (elles pourront être données en énoncé) et des axes légendés

* Créer un tableau de valeurs de la fonction

* Placer précisément un nombre suffisant de points (au moins 4 par sens de variation)

* Indiquer par une double flèche les tangentes horizontales, s’il y a lieu

* Marquer les coordonnées des sommets de la courbe, s’il y a lieu

e

e y = e

^x

y = lnx

6.6 Utilisation de l’outil « fonctions » de votre calculatrice :

* Enregistrer l’expression d’une fonction

Casio : menu Table ; TI : touche Y= ou f(x) suivant modèle.

Pour entrer l’expression d’une fonction n°1, écrire son expression à la suite de Y1= ; pour une seconde fonction, à la suite de Y2= ; et ainsi de suite.

* Elaborer puis visualiser un tableau de valeurs d’une fonction enregistrée - choix des valeurs min et max de x, choix du pas :

Casio : option écran RANG ou SET suivant modèle ; TI : touche TblSet ou DefTable

- visualisation du tableau de valeurs :

Casio : option écran Tabl ; TI : touche Table

* Configurer puis visualiser la courbe d’une fonction enregistrée

- choix des valeurs min et max de x et de y (fenêtre), choix des graduations

Casio : menu Graph , touche V-Window ; TI : touche Window ou fenêtre - visualisation du graphique :

Casio : option écran Draw ou Trace ; TI : touche Draw ou Trace

IUT - TC Mathématiques - Formulaire « Calcul et analyse »

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts annuel : t ; nombre d’années : n

Intérêts simples Intérêts composés Valeur acquise au bout

de n années

C

n

= C

0

(1 + nt) ^C

ⁿ

^{= C}

⁰

( ^{1 + t} )

ⁿ

Intérêts au bout de n

années

i

n

= n × C

₀

× t i

n

= C

n

– C

₀

Remboursement par annuités constantes :

( )

0

1 1

ⁿ

a C t

t

⁻

= − +

Second degré : P(x) = ax² + bx + c

P(x) est du signe de a, sauf si x se trouve entre ses racines (si elles existent).

les racines de P(x) sont les valeurs de x qui le rendent nul.

Pour déterminer les racines de P(x) :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle :

2 x b

′ = − a . (racine « double ») Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : b b

x x

a a

− − ∆ − + ∆

′= et ′′=

2 2 .

Etude de fonctions

f (x) f ’(x) f (x) f ’(x) f (x) f ’(x)

a 0 1

x −x1₂

ln(x) 1

x 1 x

ax + b a

xn

1

n

n x ⁺

− ₁ ln(u(x))

( )

( )

u x u x

′

x² 2x

x³ 3x²

x x

1

xⁿ nx^{n - 1} 2

Opérations sur les dérivées :

f f ’ f f ’ f f ’

u + v u’ + v’ u ov v’ × u’ o v

k×u k×u’

u×v u’×v + u×v’

( )

^{( )}

' . e

e

x

u x u x

( )

x u x

e e

u u′× − ×v u v′ v

v v

− ₂′ 1