INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS I. Résoudre un exercice d’intérêts simples :

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INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS I. Résoudre un exercice d’intérêts simples :

• Exemple : on place un capital de 8 000 pendant 72 jours au taux annuel de 6,5 %.

Calculer l’intérêt et la valeur acquise à l’issue du placement.

• Méthode : on utilise la formule I =C t n avec :

I : intérêt C : capital placé t : taux périodique n : nombre de périodes Remarque : n en jours ⇒ =t taux annuel

360 n en mois ⇒ =t taux annuel 12 Enfin : Valeur acquise = Capital + Intérêts

• Solution : 72 104

360 065 , 000 0

8 × × =

=

I

Valeur acquise : 8 000 + 104 = 8 104

II. Comparer deux placements à intérêts simples :

• Exemple : on possède un capital de 1 800 . Deux options de placement sont proposées : - pas de frais, taux annuel de 5 %

- 40 de frais fixe pris sur le capital, taux annuel de 9 %

Exprimer les valeurs acquises f (x) et g (x) pour chaque option après x jours de placement, pour ^x^∈

[

^{0 300}^;

]

. Représenter graphiquement. Comparer les placements.

• Solution : premier placement :

( )

^x ^x

f 360

05 , 1800 0

1800+ ×

=

( )

^x ⁼⁰^,²⁵^x⁺¹⁸⁰⁰

f

deuxième placement :

( )

^x ^x

g 360

09 , 1760 0

1760+ ×

=

( )

^x ⁼⁰^,⁴⁴^x⁺¹⁷⁶⁰

g

L’abscisse x de l’intersection est donnée par l’équation f x

( )

=g x

( )

, c’est-à-dire :

1760 44

, 0 1800 25

,

0 x+ = x+

1760 1800

25 , 0 44 ,

0 x− x= −

211 52

, 19 210 , 0 40 40

19 ,

0 x= ⇒x= = ⇒x ≈

Conclusion : à partir du 211^e jour, le deuxième placement g x est plus intéressant.

( ) III. Calculer la valeur acquise à intérêts composés

• Exemple : Calculer la valeur acquise d’un capital de 8 000 placé pendant 5 ans au taux annuel de 6,5 %. En déduire le montant des intérêts. (capitalisation annuelle)

• Méthode : on utilise la formule C_n =C₀

(

1+i

)

ⁿ avec :

Cn : valeur acquise C0 : capital placé i : taux périodique n : nombre de périodes

• Solution : ^C5

( )

8 000 1 0 0655

= + ,

• 69 , 960 10 065 , 1 000

8 ⁵

5 = × ≈

C

• 69 , 960 2 000 8 69 , 960

10 − =

= I

1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950

0 50 100 150 200 250 300 350 Durée en jours

V.A. en Euros

f(x) g(x)

211

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IV. Calculer un taux à intérêts composés :

• Exemple : Un capital de 12 000 est placé pendant 4 ans ; la capitalisation des intérêts est mensuelle. A l’issue du placement, la valeur acquise se monte à 15 245,87

Calculer le taux mensuel im de l’intérêt.

• Méthode : ^Cⁿ ⁼^C⁰

(

⁺ⁱ^m

)

ⁿ ^⇔^C_Cⁿ ^{= +}

(

ⁱ^m

)

ⁿ ^{⇔ + =}ⁱ^m ^_^^C_Cⁿ^_^ⁿ

0 0

1

1 1 1

• Solution : n étant le nombre de mois on a ici n= ×4 12=48.

On a l’équation 15 245,87 = 12 000 1+ i

(

_m

)

⁴⁸

D' où

(

^{1 +}ⁱ^m

)

⁴⁸⁼^{15 245,87}_{12 000} ^⇒ ¹⁺ ⁼ ^{15 245,87}_{12 000}

1 48

i_m 

 

 Ce qui donne 1+i_m = 1,005 et donc i_m= 0,005 = 0,5% par mois.

V. Calculer un taux équivalent à intérêts composés :

• Exemple : Un capital C 0 est placé pendant n années, au taux annuel de 4 %.

Calculer le taux équivalent trimestriel it .

• Solution : on utilise la formule C_n =C₀

(

1+i

)

ⁿ.

Le nombre de trimestres de placement étant égal à 4×n, on a l’équation :

( ) ( )

C_n =C₀ 1+i ⁿ =C₀ 1+i_t ⁴ⁿ

Soit ici : ^Cⁿ ⁼^C⁰

(

^{1 04}^,

)

ⁿ ⁼^C⁰

( )

¹⁺ⁱ^t ⁴ⁿ

D’où :

( )

¹⁺ⁱ^t ⁴ⁿ ⁼

⁽

^{1 04}^,

⁾

ⁿ ^{⇔ +}

( )

¹ ⁱ^t ⁴ ⁼^{1 04}^,

Et : ¹+ =i_t

(

^{1 04},

)

¹⁴ ≈^{1 00985},

On en déduit i_t ≈0 00985, =0 985, % par trimestre.

Ne pas confondre avec le taux proportionnel qui vaut ici 4 4% 1

= % par trimestre.

VI. Calculer la durée d’un placement à intérêts composés :

• Exemple : Un capital de 7 000 est placé à un taux annuel de 6 %. La capitalisation des intérêts est mensuelle. La valeur acquise se monte à 10 642,59

Calculer en mois puis en années, la durée du placement (utiliser les taux proportionnels).

• Méthode : on part de la formule des intérêts composés

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C C i i C

C i C

C n i C

C n

C C

n i

n n n n n n

n

= ⁰ + ⇔ + = 0 ⇔ + = 0 ⇔ + = 0 ⇔ = +

1 1 1 1 0

ln ln ln ln 1

ln ln

• Solution : le taux mensuel proportionnel vaut 6 12

0 06

12 0 005

% ,

= = , Ici on a l’équation : 10 642,59 = 7 000 1+ ,005

(

0

)

ⁿ

D’où :

(

^{1 + ,005}

)

^{10 642,59}

7 000

0 ⁿ =

On passe en logarithmes : ^ln

(

^{1+ ,005}

)

^ln^{10 642,59} ^ln

( )

^ln

7 000 1,005 10 642,59

7 000

0 ⁿ = ⇒ n =

D' où

( ) ( ) ⁽ ⁾

( )

n= = − n

⇒ = ln

ln

ln , ln

ln 10 642,59

7 000

1,005 1,005

10 642 59 7000

84 mois, soit 7 années.