Master 2 Dynamique des fluides et énergétique. Cours 5 : Surfaces de discontinuité : onde de choc et ligne de glissement

Reynald Bur

Reynald.Bur@onera.fr

Master 2 – Dynamique des fluides et énergétique

Cours 5 : Surfaces de discontinuité : onde de choc et ligne de glissement

Onde de choc normale dans un canal transsonique

visualisation par interférométrie holographique

soufflerie Onera S8Ch

visualisation par ombroscopie dans le tunnel de tir de l'ISL

Onde de choc produite par un projectile en vol supersonique

Ondes de choc dans l'entrée d'air du Concorde

soufflerie Onera S5Ch

( Σ ) (S

₁

)

(S

₂

) n

n

surface de discontinuité Onde de choc et ligne de glissement

Volume de contrôle pour les équations de conservation

hypothèses : écoulement stationnaire, non visqueux et adiabatique

Équations de conservation

∫∫

∪

 =





 

 +

ρ

) S ( ) S (

2

2 1

0 2 dS

h V n

. V r r

énergie

∫∫

∪

= ρ

) S ( ) S

( _{1 2}

0 dS

n . V r r

masse

( )

[ ]

∫∫

∪

= ρ

+

) S ( ) S

( _{1 2}

0 dS

V n

. V n

p

r r r r

mouvement

volume limité par

( ) ^V ( ) ( ) S

1

∪ S

2

surface de discontinuité

( ) Σ

1

( ) Σ

2

( ) S

1

n r

n r

( ) ^Σ

( ) S

2

n r

n r

Volume de contrôle pour les équations de conservation

Équations de conservation

( ) V

1

volume limité par

( ) ( ) S

1

∪ Σ

1

masse

∫∫

Σ

∪

= ρ

) ( ) S

( _{1 1}

0 dS

n . V r r

( ) V

2

volume limité par

( ) ( ) S

2

∪ Σ

2

masse

∫∫

Σ

∪

= ρ

) ( ) S

( _{2 2}

0 dS

n

.

V r r

∫∫ ∫∫ ∫∫

Σ

∪ Σ

= ρ

+ ρ

= ρ

) ( ) S

( _{1 1} (S₁) ( ₁)

0 dS

n . V dS

n . V dS

n .

V r r r r r r

∫∫ ∫∫ ∫∫

Σ

∪ Σ

= ρ

+ ρ

= ρ

) ( ) S

( _{2 2} (S₂) ( ₂)

0 dS

n . V dS

n . V dS

n .

V r r r r r r

0 dS

n . V dS

n . V

) ( )

( _{1 2}

= ρ

+

ρ ∫∫

∫∫

Σ Σ

r r r r

Équations de conservation

volume limité par

( ) ^V ( ) ( ) S

1

∪ S

2

et pour le

1 2

(S ) (S )

V. ndS 0

∪

ρ =

∫∫ ^{r r}

1 2

(S ) (S )

V. ndS V. ndS 0

ρ + ρ =

∫∫ ^{r r} ∫∫ ^{r r}

∫∫ ∫∫

Σ

∪ ∪ Σ

ρ

−

= ρ

) ( ) S

( _{1 1} (S₂) ( ₂)

dS n

. V dS

n .

V r r r r

en orientant les normales à et à dans le même sens

∫∫ ∫∫

Σ Σ

ρ

= ρ

)

( ₁ ( ₂)

dS n

. V dS

n .

V r r r r

vrai quelle que soit

( )

Σ =

( ) ( )

Σ1 = Σ2

( ) ^Σ

=

ρ V r . n r cons tan te à travers ( ) Σ

1

( ) Σ

2

idem pour mouvement et énergie Équations de conservation

te tan cons

n .

V = ρ r r

( ^{V . n} ) ^{V cons tan te}

n

p r + ρ r r r =

te tan

2 cons h V

n . V

2

 =





 

 +

ρ r r

Relations de conservation

[ ] ^{f ≡ discontinu ité de f} [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ^{a c a b} ] [ ] [ ] ^{c a a b si c cons tan te}

a b b

a b

a

+

= +

=

×

=

×

+

=

×

[ ^{ρ V r . n r} ] ^{= 0}

masse

[ ] ^{p n r +} ( ) ^{ρ V r . n r [ ] V r = 0}

mouvement

2 0 h V

n . V

2

 =



 



 + ρ r r

énergie

Équations de Rankine-Hugoniot

[ ^{ρ V r . n r} ] ^{= 0}

[ ] ^{p n r +} ( ) ^{ρ V r . n r [ ] V r = 0}

2 0 h V

n . V

2

 =



 



 + ρ r r

2 - ρVr.nr ≠ 0 flux de masse à travers (Σ) onde de choc Équations de Rankine-Hugoniot

masse

mouvement énergie

ces équations sont satisfaites par 2 types de discontinuité

1 - ρ^Vr^.nr = ⁰ composante normale à (Σ) nulle ligne de glissement

[ ] ^{p n r +} ( ) ^{ρ V r . n r [ ] V r = 0}

Ligne de glissement

projection selon la tangente à (Σ)

( ) ^{ρ V r . n r [ ] V r = 0 [ ] V r = arbitraire}

[ ^{ρ V r . n r} ] ^{= 0}

satisfait si

^{ρ V r . n r = 0}

projection selon la normale à (Σ)

[ ] ^{p = 0}

la pression doit être continue à la traversée de (Σ)

les vitesses de part et d'autre de (Σ) peuvent être quelconques

aucun flux de masse ne traverse (Σ) : les vitesses sont parallèles à (Σ⁾ mouvement

2 0 h V

n . V

2

 =



 



 +

ρ r r

arbitraire 2

h V

2

 



 

 +

0 n

.

V = ρ r r

une ligne de glissement sépare deux écoulements aux propriétés différentes qui glissent l'un sur l'autre

énergie

Ligne de glissement

relations de compatibilité de part et d'autre de (Σ)

2

1 t

t

V

V ≠

2 1 ρ

ρ _≠ T _{1 ≠} T ₂

2

1 i

i

h

h ≠ 0

V

V

n1

=

n2

=

2 1 p p =

Ligne de glissement

( ) ^Σ

≡ composante normale à V

_n

( ) ^Σ

≡ composante tan gente à V

_t

n r

t

r ( ) ^Σ

une ligne de glissement sépare deux écoulements de fluide aux propriétés différentes, seules les pressions doivent être les mêmes

Ligne de glissement

1

ligne de glissement

2

la viscosité tend à lisser la discontinuité : développement d'une couche de mélange

( Σ )

effet de la viscosité

Ligne de glissement

jet sortant d'une tuyère supersonique dans une atmosphère au repos

soufflerie R1Ch - Onera

frontière du jet : ligne de glissement

choc de focalisation

visualisation par strioscopie éclair

Ligne de glissement particulière : la paroi

en fluide non visqueux, une paroi est une ligne de glissement à travers laquelle la vitesse passe de V_E à zéro couche limite

V_E

couche limite

Intersection régulière de deux chocs obliques

soufflerie S8Ch - Onera

choc oblique

choc oblique

M₀ = 1,95

ϕ

−

ϕ

Intersection singulière de deux chocs obliques ou phénomène de Mach

soufflerie S8Ch - Onera

lignes de glissement choc oblique

choc oblique

point triple

choc quasi normal

M₀ = 1,95

te tan cons

n .

V = ρ r r

( ^{V . n} ) ^{V cons tan te}

n

p r + ρ r r r =

te tan

2 cons h V

n . V

2

 =





 

 +

ρ r r

Relations de conservation

V_n : composante normale à (Σ) - V_t : composante tangente à (Σ) Relations de compatibilité de part et d'autre du choc

Théorie des ondes de choc

( ^{V . n} ) ^{V cons tan te}

n

p r + ρ r r r =

projection dans la direction de (Σ)

( ^{ρ V r . n r} ) ^V

^t

^{= cons tan te → V}

^t

^{= cons tan te}

projection selon la normale à (Σ)

te tan cons

V p + ρ

_n²

=

n r

t

r ( ) ^Σ

avec :

V_n : composante normale à (Σ) - V_t : composante tangente à (Σ) une onde de choc sépare deux états du même écoulement Relations de compatibilité de part et d'autre du choc

Théorie des ondes de choc

2

1 2 n

n

1

V = ρ V

ρ

2 n 2 2

2 n 1

1

V

₁

p V

₂

p + ρ = + ρ

2

1 t

t

V

V =

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

Onde de choc normale (pas de composante tangentielle)

2 2 1

1

V = ρ V ρ

22 2

2 2 1 1

1

V p V

p + ρ = + ρ

2

1 i

i

T

T =

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

Théorie des ondes de choc

V

1

V

₂

1 2

°

=

σ 90 ϕ = 0

2

1 t

t

V

V = si V 0 V 0

2

1 t

t

= → =

une onde de choc normale ne défléchit pas l'écoulement

Onde de choc normale : la relation de Prandtl

22 2 2 2

1 1

1

V p V

p + ρ = + ρ

2 2 2

1 1

1

r T , p r T

p = ρ = ρ

(

^{1 12}

)

²

(

^{2 22}

)

1

r T + V = ρ r T + V ρ

2 2 1

1

V = ρ V

ρ ^V

²

( ^{r T}

¹

^{+ V}

¹²

) ^{= V}

¹

( ^{r T}

²

^{+ V}

²²

)

équation du mouvement équation d'état du gaz

continuité

énergie

p 2 2 i

2 p

2 1 i

1

2 C

T V T

C , 2 T V

T = − = −

i 2

2 2

p 2

1 1

p

T

2 T V

2 C T V

C + = + =

 





 



   +





 



 −

 =







 



   +





 



 −

₂²

p 2 2 i

1 2

1 p

2 1 i

2

V

C 2 T V

r V C V

2 T V

r V

2 2 1 p

2 2 i

1 2

1 2 p

2 1 i

2

V V

C 2 T V

r V V

C V 2 T V

r

V   +





 



 −

=

 +







 



 −

( ) (

^{12 2 22 1}

)

^{1 22 2 12}

p 1

2

i

V V V V V V V V

C 2 V r

V T

r − = − + −

( )

1 2

(

1 2

)

1 2

(

2 1

)

p 1

2

i

V V V V V V V V

C 2 V r

V T

r − = − + −

 





 



 −

 =







 



 − +

=

p 2

1 p

2 1

i

2 C

1 r V V C 1

2 V r

V T

r

Onde de choc normale : la relation de Prandtl

 





 



 −

 =







 



 − +

=

p 2

1 p

2 1

i

2 C

1 r V V C 1

2 V r

V T

r

i p v

p

v p

i p 2

1

C T

1 2 1

C C

C T C

C 2 V

V γ +

−

= γ +

= −

2 i 2

c 2

c 2

2

a

1 a 2

1 a 2

1 a V 2

−

= γ

− + γ

− = + γ

i p 2

c 2

i 2

c

C T

1 2 1

a 1 a

a 2

+ γ

−

= γ + →

= γ

équation de l'énergie

relation de Prandtl

le produit des vitesses de part et d'autre d'une onde de choc normale est égal au carré de la vitesse critique

2 c 2

1

V a

V =

Onde de choc normale : la relation de Prandtl

le produit des nombres de Mach critiques

de part et d'autre d'une onde de choc normale est égal à un

1 M

1 M

si

₁

> →

₂

< si M

₁

< 1 → M

₂

> 1 1

M 1

M

si

₁^*

> →

₂^*

< si M

₁^*

< 1 → M

₂^*

> 1

2 c 2

1

V a

V = 1

a V a

V

c 2 c

1

= M

₁^*

M

^*₂

= 1

* 2

*

1

, M

M

nombres de Mach critiques

même conclusion pour les nombres de Mach

Onde de choc normale : la relation de Prandtl

2 2 1

1

V = ρ V ρ

22 2 2 2

1 1

1

V p V

p + ρ = + ρ

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

amont supersonique

M

₁

> 1

aval subsonique

M

₂

< 1

aval supersonique

amont subsonique

M

₁

< 1 M

₂

> 1

1

M

₁

> ^M

2

< ¹

second principe de la thermodynamique la situation 1 seule existe les équations du choc sont symétriques

les deux situations sont possibles

Onde de choc normale : la relation de Prandtl

Les équations d’Euler étant symétriques, elles n’indiquent pas la direction de l’évolution. Il faut les compléter par une condition sur l’entropie (deuxième principe) :

0 s

s

s =

₂

−

₁

≥

∆

( ) ∫

₋⁺_∞^∞

 





 



 



 

 λ  +

 

 

 µ 

=

−

ρ dx

dx dT dx

T du 3

4 T

s 1 s

u

2 2

1 2 2

Ondes de choc et second principe

les chocs sont des phénomènes visqueux donnant lieu à production d’entropie Une telle condition n’est pas nécessaire avec les équations de

Navier-Stokes car les termes dissipatifs imposent le sens correct de la variation d’entropie (théorie de la structure de choc) :

le deuxième principe est appliqué en imposant

µ > 0 , λ > 0

Relations de choc : rapport des pressions

équation du mouvement

1

2 2 2 2

1 1 1

2

p

V 1 V

p

p = + ρ − ρ

2 2 2 2

2 1 1

1

V p V

p + ρ = + ρ

( ) (

^{12 1 2}

)

1 1 2

1 1

1 1 1

2 V V V

1 p V

p V 1 V

p

p = + ρ − = + ρ −

= γ ρ

2 1 1

1

a

p

1 2

C

p

T

i

1 2 1

V

V γ +

−

= γ

vitesse du son

relation de Prandtl

 



 



+ γ

−

− γ γ

+

 =



 





+ γ

−

− γ + γ

=

_{2 i}

1 p 2

1 2 1 i

p 2

2 1 1 1

2

T

a C 1 2 1

a 1 V

T 1 C

2 1 a V

p 1 p

 



 



γ + γ

−

− γ γ

+

=

1 p i 2

1 2 1 1

2

T T r C 1 2 1

a 1 V

p

p

( ^{C C C} ) ^{( 1 ) 1 1}

r C

v p

p p

−

= γ

− γ γ

= γ

−

= γ γ

2 1 1

i

M

2 1 1

T

T = + γ −

 

 



 



 



 + γ − +

− γ γ

+

=

₁^{2 2}₁

1

2

M

2 1 1

1 M 2

p 1 p

( )

[

^{12 21 12}

]

1

2

1 M 2 M M

1 1 p

p γ + − − γ +

+ γ + γ

=

( ^{M 1} )

1 1 2

p

p

₂

1 1

2

−

+ γ + γ

=

Relations de choc : rapport des pressions

Relations de choc : rapport des masses volumiques

équation de continuité : conservation de la masse

2 1

1 2 1

2 2

1

V V V V

V = ρ =

ρ

2 2 1

1

V = ρ V ρ

i p 1

2

C T

1 2 1

V

V γ +

−

= γ

_{2 p i}

1 2

1

C T

1 2 1

V 1

+ γ

−

= γ ρ

ρ

relation de Prandtl

 

 



 + γ − +

= γ γ

+ γ

−

= γ ρ

ρ

2

2 1 1 1

p i 2

1 2 1 2

1

M

2 1 1

1 2 M

1 T

T r C 1 2 1

V a

( ) ^ 

 





− + γ

+ γ

−

= γ ρ

ρ

2 1 2

1

M 1 1 2

1

1 ( )

( ¹ ) ^{1 M M}

1²

²

2 1 1

2

+

− γ

+

= γ

ρ

ρ

2 1 1 2 1

2

p p T

T

ρ

= ρ

( ) ₍ ⁽ ₎ ^{) }



 





+ γ

− γ

 +



 



 −

+ γ + γ

=

₂

1 2 2 1

1 1

2

M 1

M 1

1 2 1 M

1 2 T

T

Relations de choc : rapport des températures

équation des gaz parfaits

2 M 1

2 M 1 1

M

2 1

2 2 1

2

γ − γ −

− + γ

=

Relations de choc : nombre de Mach après le choc

relation de Prandtl * *

1 2

M M = 1

Relation pour l'entropie

1

2 i

i

T

T = _ ^





 



− 

=

−

1 2 1

2

i i i

i

p

Log p r

s s

2 1

i i 2 1

s − = − s s s

entropie

s = C

_p

LogT − rLogp

 



 

− 

 



 

= 

−

1 2 1

2 p

1

2

p

Log p T r

Log T C

s

états locaux

s

états générateurs

 





 



− 

 





 



= 

−

1 2

1 2 1

2

i i i

i p

i

i

p

Log p T r

Log T C

s s

relation isentropique

 





 



 −

− −

− =

−

 =







 





1 2 1

2 v

p 1 p

2 i

i

p Log p T

Log T C

C C r

s s

p Log p

1 2

1 2 2

1 1

2 v

p p 1

2 1

2 v

p p

p Logp p Log

Logp C

C C p

Logp T

LogT C

C

C −









ρ + ρ

= −

− −

 





 





 



 

 ρ ρ

= −

 



 



ρ + ρ

−

γ

2 1 1

2 v

p v 2

1 v

p 1

2 v

p v

p Log p C

C Log C

C C p

Log p C

C C

 





 





 



 

 ρ

ρ

− −

− =

−

 =







 





^γ

2 1 1

2 v

p v 1

2 i

i

p Log p C

C C r

s s

p Log p

1 2

équation d'état

2 1 1 2 1

2

p p T

T

ρ

= ρ

Relation pour l'entropie

Relations de choc : rapport des pressions génératrices

 





 





 



 

 ρ

ρ

− −

− =

−

 =







 





^γ

2 1 1

2 v

p v 1

2 i

i

p Log p C

C C r

s s

p Log p

1 2

la traversée d'une onde de choc entraîne une diminution de la pression génératrice

second principe de la thermodynamique

1

p 0 p

s s

1 2

i i 1

2

− > → <

efficacité moindre la capacité de recompression se trouve diminuée

( )

2 ¹

1 1

1 2

1 i

i

M 1 1

1 1 2

1 1 M

1 2 p

p

1 2

− γ

− γ

−

−γ

 

 





 



 

 − +

− γ

 

 



 −

+ γ + γ

=

Applications de la théorie de l'onde de choc normale Le tube de Pitot en écoulement supersonique

mesure du nombre de Mach dans une veine de soufflerie supersonique

p_i1

p_i2 p_i2

M

₁

une onde de choc localement droite se forme devant la sonde mesure de la pression d'arrêt isentropique derrière le choc :

p

ⁱ₂

i1

p

et mesure de la pression génératrice de la soufflerie :

inversion (numérique) de la formule nombre de Mach M₁ Applications de la théorie de l'onde de choc normale

Le tube de Pitot en écoulement supersonique

( )

2 ¹

1 1

1 2

1 i

i

M 1 1

1 1 2

1 1 M

1 2 p

p

1 2

− γ

− γ

−

−γ

 

 





 



 

 − +

− γ

 

 



 −

+ γ + γ

=

La sonde de Mach pour vol en supersonique

1 i i

i 1

i

p p p

p p

p

1

1 2

2

=

formule de Rayleigh

i2

p

pression d'arrêt derrière le choc normal Applications de la théorie de l'onde de choc normale

( )

2 ^{1 12 1}

1 1

1 2

1 1

i

M

2 1 1

M 1 1

1 1 2

1 1 M

1 2 p

p

2 γ−

− γ γ

− γ

−

−γ

 

 



 + γ −

 

 





 



 

 − +

− γ

 

 



 −

+ γ + γ

=

pression statique devant le choc normal

p

1

M

₁

p_i1

p_i2

p_i2 p₁

p₂ ≈ p₁

p₁

capteur capteur

La sonde de Mach pour vol en supersonique

Applications de la théorie de l'onde de choc normale

L’orifice permettant de mesurer la pression statique p₂

doit se trouver suffisamment en aval (au moins à 10 diamètres) de l’origine du corps cylindrique de la sonde p₂ ≈ p₁

mesures de p₁ et p_i2 et inversion de la formule de Rayleigh nombre de Mach M₁

Onde de choc normale : résultats fondamentaux

relations pour le choc normal, gaz calorifiquement parfait

( ^{M 1} )

1 1 2

p

p

₂

1 1

2

−

+ γ + γ

=

( ) ^ 

 





− + γ

+ γ

−

= γ ρ ρ

2 1 2

1

M 1 1 2

1

1 ( )

( ¹ ) ^{1 M M}

1²

²

2 1 1

2

+

− γ

+

= γ ρ ρ

( ) ₍ ⁽ ₎ ^{) }



 





+ γ

− γ

 +



 



 −

+ γ + γ

=

₂

1 2 2 1

1 1

2

M 1

M 1 1 2

1 M 1 2

T T

( )

2 ¹

1 1

1 2

1 i

i

M 1 1

1 1 2

1 1 M

1 2 p

p

1 2

− γ

− γ

−

−γ

 

 





 



 

 − +

− γ

 

 



 −

+ γ + γ

=

2 M 1

2 M 1 1

M

2 1

2 2 1

2

γ − γ −

− + γ

=

2 c 2

1

V a

V =

Onde de choc normale : résultats fondamentaux

p V ρ T T

_i

p

_i

sens de variation des grandeurs à la traversée d'un choc :

0 s

s

s = ₂ − ₁ ≥

∆

la condition sur l'entropie :

M

_amont

> 1 M

_aval

< 1

impose la solution :

Onde de choc oblique (C)

V_n : composante normale à (C) - V_t : composante tangente à (C)

2

1 2 n

n

1

V = ρ V

ρ

2 n 2 2

2 n 1

1

V

₁

p V

₂

p + ρ = + ρ

2

1 t

t

V

V =

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

Théorie des ondes de choc

ϕ : déflexion imposée par le choc oblique - σ : angle de choc Onde de choc oblique

t1

V V

t₂

V

ⁿ²

n1

V

V2

V

1

σ

ϕ

( )

^C

onde de choc

composantes de vitesse tangentielles

t1

V Vt2

composantes de vitesse normales Vn2

n1

V

1

2

Onde de choc oblique

2 2 1

1

V = ρ V ρ

22 2

2 2 1 1

1

V p V

p + ρ = + ρ

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

Théorie des ondes de choc

Onde de choc normale

2

1 2 n

n

1

V = ρ V

ρ

2 n 2 2

2 n 1

1

V

₁

p V

₂

p + ρ = + ρ

2

1 t

t

V

V =

2

1 i

2 2 2

2 1 1

i

h

2 h V

2 h V

h = + = + =

les équations du choc oblique se ramènent à celles du choc normal

par remplacement des vitesses par les composantes des vitesses normales

Théorie des ondes de choc

1 1

n 1

n

1 1

V V sin

M a a

= = σ

n1 1

M = M sin σ

nombre de Mach normal amont :

les équations du choc oblique se ramènent à celles du choc normal par remplacement du nombre de Mach par le nombre de Mach normal

nombre de Mach normal aval : ²

2

n 2

n

2 2

V V sin( )

M a a

σ − ϕ

= =

n2 2

M = M sin ( σ − ϕ )