Td corrigé Diffusion pdf

(1)

Diffusion :

1 Formation d'une couche de glace:

L'eau liquide d'un lac est à la température de solidification TL=273K.

Au dessus du lac, l'air atmosphérique est à température constante TA=263K. A l'instant initial, le lac n'est pas recouvert de glace. A un instant t postérieur, la couche formée sera notée L(t).

La glace a une conductivité thermique  uniforme et constante, une masse volumique , et une capacité thermique massique que l'on néglige.

On notera

H

_F l'enthalpie de fusion massique de la glace.

A la surface de séparation glace/air en x=0, l'échange thermique se fait par convection selon la loi de Newton: par unité de surface, la puissance algébrique échangée par la glace s'écrit

P   (T

_A

 T )

_S où TS est la température de surface.

On considère le régime permanent :

1.1 relier dans ce cas la température de surface de séparation glace/air à TA , TL et l'épaisseur de glace en justifiant soigneusement les hypothèses faites.

On se place maintenant dans le cadre de l’ARQS, approximation des régimes quasi-stationnaires.

1.2 Indiquer l’approximation qui est faite. Donner la forme de la loi TS( L(t), TA , TL ). En quoi est utile l’approximation consistant à négliger la capacité thermique massique de la glace ?

1.3 Etablir l'expression de l'épaisseur de glace formée en fonction du temps sous la forme L(t)= f (t,TA , TL) où f est une fonction de ces trois variables, ainsi que des paramètres caractéristiques du système.

1.4 Etablir l'expression de la température de la surface de séparation glace/air en fonction du temps.

1.5 Expliquer pourquoi la vitesse de formation de glace diminue au cours du temps.

1.6 A.N.: calculer le temps nécessaire à la formation de 10cm de glace. On donne

2 3 3 1 1 1 2 2 1

9.10 Kg.m 2,1.10 KW.K .m L

^ ^ ^ F

335KJ.Kg

^

4, 2.10 KW.m .K

^ ^ ^

      

1.7 L’expression de L(t) peut s’écrire sous la forme

L ( t )  L

_o

.    1  t   1   

où Lo et  sont des caractéristiques du modèle. Donner les formes asymptotiques de cette fonction si t>>, et si t<<.

Justifier à chaque fois la forme prise par l’expression obtenue.

2 Découpage au laser :

Le découpage de feuilles métalliques peut être réalisé de façon industrielle par un laser qui échauffe localement la matière puis la fait fondre. On suppose dans le modèle simplifié proposé que la matière s’enlève d’elle-même dès qu’elle est fondue, à une température égale à sa température de fusion : la zone où la matière se sépare est nommée ‘front de fusion’. On ne tient donc pas compte d’une éventuelle vaporisation ultérieure d’une partie de la matière.

On considère que les transferts thermiques ne se produisent que selon l’axe Ox, et donc que la température du matériau est une fonction du type T(x,t) dans le référentiel de l’atelier. On ne tient pas compte d’éventuels échanges latéraux de chaleur .

On raisonnera sur une surface unité de matière orthogonale À l’axe Ox: elle reçoit une puissance constante Po.

La masse volumique est notée



, la capacité thermique massique c, la conductivité thermique



. La loi de Fourier

est vérifiée dans ce matériau. La température du matériau est initialement égale à To.

L’enthalpie massique de fusion est notée LF.

2.1 Effectuer un bilan de puissance au sein du matériau et en déduire que l’équation vérifiée par la température T(x,t) est

2 2

T T

t c x .

  

   

^.

0

x L T_A

T_L

glace

eau air

x Po

(2)

l’équation de diffusion sous la forme

T(x, t) F(x Vt) F(u)   

où u=x-Vt.

2.2 Montrer que la solution F(u) correspond à un régime permanent dans un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à celui de l’atelier. On pourra exprimer x en fonction de u et V.

2.3 Etablir l’équation différentielle vérifiée par F(u). La résoudre en admettant que sur le front de fusion, T=TF, température de fusion, et que loin du front, T=To. On rappelle que

t u du dF t , F x u du dF x F



 



 



 .

2.4 Que devient la puissance reçue par le matériau ? Effectuer un bilan d’énergie pour la barre pour l’intervalle de temps ‘dt’, et en déduire la relation liant V, Po, , c, LF.

2.5 En déduire l’expression de la vitesse V de propagation du front de fusion.

2.6 Peut-on prévoir qualitativement comment est modifiée cette vitesse si on tient compte de la vaporisation partielle du matériau ? Quel autre paramètre doit être considéré pour affiner l’étude ?

3 Choc thermique :

On considère une barre cylindrique homogène, de rayon a, de longueur L selon l’axe Ox. Elle est latéralement calorifugée, et à température uniforme To.

A l’instant t=0, on la met en contact thermique avec deux thermostats : un en x=-L/2 à température T1, et un autre en x=L/2 avec la même température T1. On admet que la température est de la forme T(x,t).

La matériau constituant la barre a une capacité thermique massique c, une masse volumique



, une conduction thermique



. Il n’est pas le siège d’un changement d’état physique.

3.1 Etablir l’équation vérifiée par T(x,t). On notera

D c

 



^.

3.2 On recherche une solution de la forme

 (x, t) T(x, t) T   

₁

f (x).g(t)

. Montrer que

 (x, t)

vérifie la même équation que T(x,t), et en déduire l’équation vérifiée par g(t) et f(x).

3.3 Etude de g(t) : Montrer que l’équation précédente est équivalente à une équation du type

G(t) A F(x)  

où A est une constante numérique. Déduire de la solution en g(t) que A<0. Donner la forme générale de g(t).

3.4 Etude de f(x) :

Déduire du résultat précédent la forme générale de f(x).

A l’aide des conditions aux limites, donner l’expression de A.

Montrer qu’il y a une infinité de solutions possibles.

3.5 En déduire la forme générale de la solution

 (x, t)

. 3.6 La distribution de température est connue à t=0.

Avec les conditions initiales, montrer que le calcul des coefficients inconnus se ramène au calcul des termes d’un développement en série de Fourier d’une fonction paire que l’on représentera. Effectuer ce calcul.

3.7 On estime que l’on peut négliger un terme du développement si il vaut moins du centième du premier (le plus important). Déterminer l’instant à partir duquel l’évolution de température est représentée par le seul premier terme. A.N :

D 1,11.10 m s 

^⁴ ² ^¹

L 1m 

. En déduire l’instant à partir duquel on peut estimer que la température est redevenue quasi-uniforme dans la barre : on déterminera l’instant où l’écart de température

(x, t)



maximal vaut 1% de sa valeur initiale.

Rappel : séries de Fourier

F(x) une fonction périodique de période L : _n _n

n

2 2

F(x) Fo A .cos n x B .sin n x

L L

       

               

avec n entier supérieur ou égal à 1, et

n n

L L L

1 2 2 2 2

Fo F(x).dx, A F(x).cos n x dx, B F(x).sin n x dx

L L L L L

 

   

             

^.

4 Régime transitoire de diffusion :

O

-L/2 L/2

X

(3)

Un tube cylindrique de grande longueur est divisé en deux compartiments identiques contenant les mêmes particules en solution, avec des concentrations différentes :

c(z 0, t 0) c ; c(z 0, t 0) c   

₁₀

  

₂₀. A l’instant t=0, on enlève la paroi séparant les deux compartiments. On supposera que la concentration en particules est de chaque coté une fonction de z et de t seulement. On notera D le coefficient de diffusion.

Les effets de pesanteur seront négligés.

4.1 En effectuant un bilan de particules, établir l’équation de diffusion vérifiée par c(z,t).

4.2 Montrer que la fonction c

z (z, t) f

t

 

  

 

est solution : on établira l’équation vérifiée par

z f t

 

 

 

^{. On donne}

u

2 0

erf (u)  2 . exp( y ).dy 

 

^{, avec}

erf (0) 0, erf (    ) 1, erf ( u)    erf (u)

.

4.3 Déterminer c(z,t) en assimilant le tube à un tube infini selon Oz, c’est à dire en considérant que à t donné fini, les concentrations en

z  

sont égales aux concentrations initiales.

TD Diffusion :

corrigé succinct

(4)

1 Couche de glace:

1.1 ARQS: j est uniforme . Dans la glace, T x( )ax b soit

T x T T T

L x

S L S

( )   

et

 

 

 

 T T 

L T T

L S

A S (attention au sens). Ainsi ^T ^T

 

L T T

S  A  S L

 ^.

1.2 On considère en régime lentement variable que les résultats établis en régime permanent sont valables. La loi est celle du 1.1 avec TS=TS(t) car maintenant L=L(t). La température de la glace varie donc en toute rigueur il faut tenir compte de l’énergie algébriquement stockée.

1.3 Quand une longueur dL de glace se forme, cette tranche reçoit par unité de surface une énergie -

L . .dL

_F



, amenée par conduction en x=L: soit donc



L S



S A L A

F

T T T T T T

L . .dL dt dt dt

L 1 L 1

  

   

    

. En intégrant par séparation des variables, on obtient



L A



²

F

L(t) 2 T T .t L .

    

            

_^









  





 



  T T .t 1

. L . 1 2

. _L _A

F

2

 L

_o

.    1  t   1   

1.4 Il suffit de remplacer L(t) dans l’expression du1.1.

1.5 On obtient

L A

F

T T

dL 1

L 1

dt L .

 

 

 

qui diminue si t augmente (donc L). Ceci est dû à la résistance thermique de l'épaisseur de glace qui augmente et rend plus difficile l'évacuation de l'énergie.

1.6 A.N : t(T0,1m)40h

1.7 Pour t>>, on a L qui croît comme t , indépendamment de  : L étant grand, la résistance thermique de conduction est très supérieure à celle de convection ; l’évolution est caractéristique d’une diffusion thermique. (on observe que le coefficient de convection n’apparaît pas dans la loi asymptotique).

Pour t<<, L est proportionnel à t : la résistance thermique de conduction est négligeable devant celle de convection. La conductivité thermique n’intervient pas dans la loi obtenue, et l’eau reçoit une puissance constante de l’air : l’épaisseur est proportionnelle à t.

La longueur caractéristique de transition entre ces deux comportements est

L

_o

  

.

Découpage laser

: 2.1 Voir cours

2.2 u=x-Vt correspond à la position dans un référentiel en mouvement de translation à vitesse

V V.u





_x par rapport à un point qui y est fixe, coïncidant avec l’origine de l’axe x à t=0. Ce référentiel se déplace de

x Vt

 

en un temps t.

2.3 Avec

F dF u dF F dF u dF

x du x du t du t V du

        

   

on obtient

2 2

d F cV dF u

0 F(u) A B.exp( )

du L

du

      



^soit



F



F(u) To T To .exp( u )

    L

et

L

cV

 



^.

2.4 En dt : un volume V.dt (pour l’unité de surface) est porté de To àTF, puis vaporisé, soit un bilan

 



_F _o _F



o

V . c T T L

P    

.

2.5

c .  T

_F

T

^o_o

 . L

_F

V P







 

_.

2.6 La vitesse serait plus faible. Il faudrait aussi tenir compte de la conduction latérale et des pertes par rayonnement.

Choc thermique :

(5)

3.1 ₂

2 2

2

D x t x

D T t T





 





 



 



_{; 3.2} _A

dx f d f D1 dt dg g 1 dx

f Dgd dt

fdg  ²₂   ²₂  . La dérivation de cette équation par rapport à t ou bien x donne 0 : A est une constante mathématique.

L’équation en g(t) donne g(t)a.exp(At). Comme la fonction recherchée ne diverge pas si t>>1/A, il faut A<0.

3.3 La fonction f(x) vérifie

f 0 D A dx

f d

2

 

. A<0 donne

f ( x )  c . sin     A D x     d . cos     A D x   

. Le système étant symétrique par rapport à x=0, la solution est paire, et c=0.

Les conditions aux limites donnent

n ( n N )

2 2 L A D 0

) 2 / L x (

f         

soit

 



 



 





 

 

² ²

2

( 1 2 n )

) n 2 1 L ( A D

et n 2 1 L . A D

Ainsi 



 



 



 







 









) n 2 1 ( Lx cos . ) t n 2 1 exp ( . K )

t , x (

0 n

2

n .

Sa forme à t=0 est celle du développement en série de Fourier de la fonction paire coïncidant avec To-T1 dans l’intervalle -L/2, L/2, de valeur moyenne nulle, de période 2L.

En remplaçant dans l’expression fournie ‘L’ par ‘2L’ :

  

  ^ 

 



  

 

 







 







 

 



) 1 n 2 ( L x cos . ) t 1 n 2 exp ( 1 .

n 2

1 T T . ) 4

t , x (

0 n

n 2 1 o

3.4 Le premier terme est en exp(-t/), le suivant en 1/3.exp(-9t/). Le second est négligeable si