Proposition de corrigé pour le concours blanc n° 2 (D. Pernoux)
PREMIER VOLET Première partie
Problème I
1)
2) C’est le milieu de [AB] donc le rapport AC'
AB vaut 1/2.
B’ est le milieu de [AC] donc le rapport AB'
AC vaut 1/2.
On en déduit que les rapports AC'
AB et AB'
AC sont égaux et, en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, que les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles.
De façon tout à fait analogue, on démontre que la droite (A’C’) est parallèle à la droite (AC) et que la droite (A’B’) est parallèle à la droite (AB).
3) Le triangle ABC est un agrandissement du triangle A’B’C’ obtenu en multipliant les longueurs des côtés du triangle A’B’C’ par 2 donc l’aire du triangle ABC est égale à 22 fois l’aire du triangle A’B’C’ c’est-à-dire à 4 fois l’aire du triangle A’B’C’.
II
1) Lorsque r est égal à 0, les longueurs IK’, JI’ et KJ’ sont égales à 0 donc K’ est en I, I’ est en J et J’ est en K. Le triangle I’J’K’ est donc confondu avec le triangle JKI.
Lorsque r est égal à 1, IK’ est égal à IJ, JI’ est égal à JK et KJ’ est égal à KI donc K’ est en J, I’
est en K et J’ est en I. Le triangle I’J’K’ est donc confondu avec le triangle KIJ.
Quelques indications concernant la construction : - L est quelconque
- On a reporté cinq fois la longueur IL
- On a tracé une droite parallèle à (NJ) et passant par L pour obtenir le point K’
- On a tracé une droite parallèle à (NJ) et passant par M pour obtenir un point intermédiaire P (situé à un cinquième de [JI]
en partant de J), point P qui a servi pour tracer ensuite J’ et I’
en traçant des droites passant par P et parallèles respectivement à (JK) et (IK).
http://pernoux.perso.orange.fr
Exercice 1 1)
50 50 30
(30) 75
1000
(50 50 50) (90 90 1)
(51) 133,1
1000
(50 50 50) (90 90 40)
(90) 449
1000 V
V V
2)
50 50
0 50 ( ) 2,5
1000
(50 50 50) 90 90 ( 50
50 140 ( ) 8,1 280
1000
Si x V x x x
Si x V x x x
Exercice 2
1) 31 186
15 372
7 744
3 1488 1 2976 5776
31 × 186 = 5776
2) 128 215
64 430
32 860
16 1720 8 3440 4 6880 2 13760
1 27520 128 x 215 = 27 520
Deuxième partie 1)
a)
b) Propriété géométrique mise en évidence :
« Soient A et B deux points du plan. Soit M un troisième point du plan tel que AMB soit un angle droit. M appartient au cercle de diamètre [AB]
2)
Les constructions incorrectes sont la 1, la 5 et la 6 (remarque concernant la production 4 : un seul point est mal placé, celui en dessous de B. L’équerre a-t-elle bougé pendant le marquage ?) Construction 1 :
Tous les points placés « au-dessus » de (AB) sont bien placés mais les points placés «en dessous » de (AB) sont placés sur un demi-cercle ayant un diamètre dont A est une extrémité mais dont l’autre extrémité est le point M situé « juste au-dessus » de B. Il est probable qu’ayant retourné son équerre afin de placer des points dans le demi-plan inférieur, l’élève a commis l’erreur de prendre un second point fixe autre que B, assez proche cependant de celui-ci.
Construction 5 : Première hypothèse :
L’élève a considéré que la consigne « la droite AM et la droite BM sont perpendiculaires » signifiait que ces droites devaient être verticales.
Deuxième hypothèse :
L’élève a interprété la consigne de l’énoncé « la droite AM et la droite BM sont perpendiculaires » en la complétant de sorte que, pour lui, elle devienne « « la droite AM et la droite BM sont
perpendiculaires… à AB ».
Construction 6 :
On peut supposer que l’élève a essayé de « faire comme Louis » mais, il est possible que la main sur l’équerre ait induit, pour lui, l’immobilité de l’équerre (la formulation n’indique pas
explicitement que l’équerre change de position). L’élève a pu placer dix points le long inférieur de son équerre (côté opposé à l’angle droit) en gardant l’équerre bien fixement posée sur la feuille.
3)
Production 3 :
L’élève place en premier neuf points comme la position de l’équerre le suggère sur le dessin c’est-à- dire « au-dessus » de (AB). Il a peut-être eu le sentiment de manquer de place pour placer un
dixième point et a situé un dixième point en dessous de (AB). Il s’est arrêté là en interprétant l’expression « au moins » de la façon la plus économique.
Production 6 :
L’élève a peut-être influencé par le dessin de la main sur l’équerre qui a pu induire l’immobilité de l’équerre.
4)
Production 2 :
L’élève a remarqué que tous les points qu’il avait tracés et tous les autres qu’il pourrait encore tracer sont situés sur un même cercle (dont il ne donne ni le centre ni le rayon). L’élève a très bien compris le problème.
Production 5 :
L’élève conçoit certainement que cinq des points (ceux « du côté de A ») sont alignés et que les cinq autres points (ceux « du côté de B ») sont aussi alignés mais il n’arrive pas à le dire
correctement et dit que « tous les points sont alignés ».
DEUXIEME VOLET
1)
Dans le programme de mathématiques du cycle 2 on trouve :
« Les connaissances relatives à l’espace et à la géométrie concernent :
- les positions relatives d’objets (par rapport à soi, à autrui, ou d’objets entre eux), la description de déplacements ;
- le repérage de cases ou de nœuds sur un quadrillage ; »
et, dans la liste des compétences, « repérer et coder des cases et des nœuds sur un quadrillage».
Niveau d’enseignement : CP (éventuellement GS) 2)
Séance 1 : Mise en place de règles de déplacement (cases de départ et d’arrivée ; « pas par les coins »)
Séance 4 : Elaboration de messages oraux précis pour donner des ordres de déplacement
Séance 5 : Vérifier que les élèves ont compris ce qui a été fait dans les séances précédentes et passer à une représentation écrite (trace sur le sol)
Séance 7 : Coder par écrit les déplacements.
3)
La maîtresse demande à être guidée car les élèves se contentent d’un langage imprécis et se comprennent à demi-mots. En prenant la place de l’élève, la maîtresse va « faire semblant » de na pas voir la case d’arrivée et refuser d’exécuter une consigne pas suffisamment explicite. Ceci va amener les élèves à décrire les déplacements en utilisant la configuration de la salle (repère fixe).
4)
quadrillage sur papier Type de quadrillage
quadrillage dessiné au sol (pour aller vers l’utilisation de repères fixes)
messages oraux autorisés Type de messages échangés
messages oraux non autorisés (pour obliger les élèves à passer à un codage écrit)
5)
Passage à un codage utilisant des flèches ou
Utilisation du code précédent pour coder d’emblée l’ensemble d’un parcours sans indication de la case d’arrivée
