Géométrie dans l’espace
I- Positions relatives de droites et de plans
1) Positions relatives de deux droites
P D
D′
×I
P
D D′
×I
P
D D′ D ∩D0 = D∩D0= D ∩D0= Remarque:
Le fait que deux droites n’aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure, dans l’espace, qu’elles sont parallèles.
2) Positions relatives d’une droite et d’un plan
P
D
×I
P
D
P
D
P ∩D = P ∩D = P ∩D =
3) Positions relatives de 2 plans
P
Q
D
P
Q
P Q P ∩Q = P ∩Q =
ABCD est un tétraèdre. Les points I,J,K et L sont respectivement sur les arêtes [DB], [DC], [AB] et [DB], la droite (IJ) étant parallèle à la droite (BC).
Indiquer les positions relatives des droites et plans suivants.
A
B
C D
I J
K L
1) Les droites (IJ) et (DC) sont . . . 2) Les droites (IJ) et (LC) sont . . . 3) Les droites (IJ) et (AB) sont . . . 4) Les droites (IJ) et (KL) sont . . . 5) Les droites (IK) et (DC) sont . . . 6) La droite (IJ) et le plan (ABC) sont . . . 7) La droite (IJ) et le plan (AKL) sont . . . 8) Les plans (DAB) et (LDK) sont . . . 9) Les plans (DAB) et (CIJ) sont . . .
Exemple
ABCD est un tétraèdre.
B0est un point de l’arête [BD] et C0est un point de l’arête [CD].
1) Tracer l’intersection de la droite (B0C0) et du plan (ABC). Justifier 2) Tracer l’intersection des plans (ABC) et (AB0C0). Justifier
D
B C
A B’
C’
II- Orthogonalité dans l’espace
1) Définitions
Deux droitesdet∆(non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces deux droites menées par un point I quelconque sont per- pendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles àdet∆ passant par n’importe quel autre point sont également perpendiculaires)
Définition
I
∆ d
• Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En revanche la réciproque est vraie par définition de droites orthogonales.
• Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube)
Une droitedest orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Définition
2) Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Pour qu’une droite∆soit orthogonale à un plan P il suffit que∆soit ortho- gonale à deux droites sécantes de P.
Théorème
P
d
d′
∆
• Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
• Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est or- thogonale à l’autre.
Théorème
P
d
d′
Q
d1
d′1
∆
• Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est or- thogonal à l’autre.
• Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
Théorème
P
Q
3) Orthogonalité de deux droites de l’espace
Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
Théorème
4) Plan médiateur
Soient A et B deux points de l’espace. Le plan médiateur de [AB] est le plan orthogonal à (AB) et passant par le milieu de [AB].
Définition
Le plan médiateur d’un segment [AB] est l’ensemble des points de l’espace équidistants de A et de B.
Propriété
Exemple 1:
Soit un cube ABCDEFGH.
A B
E F
H G
C D
1) Montrer que(AF)est orthogonale au plan(EBC).
3) Montrer que(AH)est orthogonale au plan(EFC)et en déduire que(AH)est orthogonale à(EC).
4) Montrer que(EC)et orthogonale au plan(AFH). Exemple 2:
SoitSABCDune pyramide régulière etIle centre du carré ABCD.
A B
D C S
Montrer que les plans(SAC)et(SBD)sont orthogonaux.
III- Vecteur de l’espace
1) Géométrie vectorielle dans l’espace
Les définitions et les calculs sur les vecteurs sont identiques à ce qui a été faits dans le plan.
a) Caractérisation d’un plan
Soit A, B et C trois points de l’espace non alignés. On a
M∈(ABC) ⇐⇒ il existe deux réelsαetβtel que# » AM =α# »
AB +β# » AC.
Propriété
RemarqueUn plan peut donc être défini par un point A(xA; yA; zA) et deux vecteurs non colinéraires#»u(a;b; c) et#»v(a0 ; b0 ; c0)
Soit A un point de l’espace, #»u et #»v deux vecteurs non colinéaires.L’ensemble des points M tels que # » AM = α#»u +β#»v, avecαetβréels, est un plan (ABC).
On dit que le planP est dirigé par le couple (#»u;#»v).
Définition
Application à la démonstration du théorème du toit :
Soientdetd0 sont deux droites parallèles.
SoientP est un plan contenantdetP0 un plan contenantd0.
Si, les plans P et P0 sont sécants, alors la droite ∆ d’intersection de ces plans est parallèle àdetd0.
Propriété Théorème du toit
d d′
∆
Démonstration
b) Vecteurs coplanaires
On dit que trois vecteurs #»u, #»vetw#»sontcoplanairess’il existe deux réelsαetβtels que w#»=α#»u +β#»v .
(on dit que w#»est une combinaison linéaire des deux autres.) Définition
Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si, les vecteurs # » AB, # »
AC et # »
AD sont coplanaires.
Théorème
Remarque
• La droite passant par A et dirigée par le vecteur#»u et le plan passant par B et dirigé par (#»v;w) sont parallèles#»
si et seulement si, #»u, #»v etw#»sont coplanaires.
• La droite (AB) et le plan (CDE) sont parallèles si et seulement si, les vecteurs# » AB,# »
CD et# »
CE sont coplanaires.
Exemple
La droiteDpasse par E(1 ; 1 ; 0) et admet pour vecteur directeur#»u(−1 ; 1 ;−1). La droiteD0passe par F(0 ; 1 ;−1) et admet pour vecteur directeur#»v(1 ; 2 ; 1).
1) Montrer que # »
EF, #»u et #»v sont coplanaires.
2) En déduire queDetD0se coupent.
Soit #»u un vecteur de l’espace et #»
i, #»
j et #»
ktrois vecteurs non coplanaires.
Alors il existe un unique triplet de réelsx,yetztels que #»u =x#»
i +y#»
j +z#»
k.
x y z
sont les coordonnées du vecteur #»u dans la base (#»
i ,#»
j ,#»
k).
Propriété
Démonstration
2) Repérage dans l’espace a) Repères de l’espace
si, #»
i, #»
j et #»
k sont trois vecteurs non coplanaires et O un point fixe, alors on munit l’espace du repère O ;#»ı , #» , #»
k
. Pour tout point M de l’espace il existe un unique triplet (x, y;z) tel que, # » OM =x#»
i +y#»
j +z#»
k.x est l’abscisse du point M,yest l’ordonnée etzla cote.
Définition
Remarque
• Si les vecteurs#»
i, #»
j et #»
k sont deux à deux orthogonaux, on dit que le repère
O ;#»ı , #» , #»
k
est orthogonal.
• Si de plus,k#»
ik= 1 ;k#»
ik= 1 etk#»
ik= 1, on dit alors que le repère est orthonormal.
M′ O #»
#»ı
#»k
y
x
M z
Figure1 – Coordonnées d’un point M dans le repère (O;~ı,~,~k).
b) Colinéarité et alignement dans un repère de l’espace
• Deux vecteurs non nuls #»u
x y z
et#»v
x0 y0 z0
sont colinéaires si, et seulement si il existe un réelktel que #»u =k#»v,
c’est à dire
x=kx0 y=ky0 z=kz0
.
• Si A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), alors le vecteur# »
AB a pour coordonnées :
xB−xA
yB−yA zB−zA
.
• Trois points A, B et C de l’espace sont alignés si, et seulement si, il existe un réelktel que # » AB =k# »
AC.
Théorème
c) Milieu, distance
• I xA+xB
2 ;yA+y2 B;zA+z2 B
est le milieu du segment [AB].
Dans un repère orthonormé :
• La norme du vecteur #»u estk#»uk=p
x2+y2+z2;
• La distance AB =p
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2. Théorème
Exemple
Soit A(2 ; 3 ; 4), B(−1 ; 2 ; 5) et C(1 ;−2 ; 3) dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
1) Ces trois points sont-ils alignés ?
2) Le triangle ABC est-il un triangle particulier ?
3) Equation cartésienne d’une sphère Exemple
SoitSla sphère de centre A(2;−1; 1) et de rayon 3.
1) Donner une définition géométrique de cette sphère («Sest l’ensemble des points M tels que . . . »)
2) En déduire une équation cartésienne de cette sphère.
SoitS la sphère de centreΩ(a;b;c) et de rayon R dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
Une équation cartésienne deSest :
(x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2= R2 Propriété
Exemple
Montrer que l’équationx2+y2+z2−2x+ 3y−z−10 = 0 est celle d’une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
IV- Représentation paramétriques
1) Représentation paramétrique d’une droite
SoitDla droite passant par A et de vecteur directeur #»u.
M∈ D ⇐⇒ il existe un réelttel que# » AM =t#»u . Propriété
En notant les coordonnées M(x; y;z), A(xA;yA; zA) et#»u(a; b; c), on obtient à partir de cette relation vectorielle la propriété suivante :
M(x; y; z)∈ D ⇐⇒ il existe un réelttel que
x=xA+t a y=yA+t b z=zA+t c
Lorsque le réeltparcourtR, le point M parcourt la droiteD. On obtient alors une caractérisation de la droite donnée par un système dit paramétré.
Une équation paramétrée de la droiteDpassant par A(xA; yA; zA) et de vecteur directeur #»u(a; b; c) est
D:
x=xA+t a y=yA+t b z=zA+t c
avect∈R. Théorème
RemarqueIl existe une infinité de systèmes paramétrés pour une droite car une droite est caractérisée par n’importe quel point lui appartenant et un vecteur directeur quelconque.
Exemple
1) Soit A(1;−5;−2) et B(−1;−3; 2).
Déterminer une équation paramétrique de (AB).
2) SoientD1,D2etD3les droites dont on donne une représentation paramétrique ci-dessous : D1:
x= 2t−1 y= 4t z=−3t+ 5
D2:
x=t+ 6 y= 3t−1 z=−2t+ 2
D3:
x= 8−6t y= 1−12t z=−2 + 9t
a. Donner un point et un vecteur directeur de chaque droite.
b. Déterminer la position relative deD1etD3.
2) Représentation paramétrique d’un plan
SoitP un plan passant par A de coordonnées (xA, yA, zA) et de vecteurs directeurs
−
→ u
a b c
et
−
→ v
a0 b0 c0
.
Alors un point M de coordonnées (x, y, z) appartient àP si, et seulement s’il existe deux réelstett0 tels que
−−−→
AM =t
−
→ u +t0
−
→ v
c’est à dire, en appliquant cette relation aux coordonnées
x=xA+ta+t0a0 y=yA+tb+t0b0 z=zA+tc+t0c0
Cette écriture est appelée représentation paramétrique du planP passant par A et de vecteurs directeurs #»u et #»v.
Définition
RemarqueIl est également utile de retrouver les éléments caractéristiques du plan ( un point et deux vecteurs directeurs ) à partir de cette représentation.
Exemple
Soient A(1;−2; 0), B(2; 3; 1) et C(−1; 1; 1).
1) Montrer que # » AB et # »
AC ne sont pas colinéaires.
2) Déterminer une équation paramétrique de (ABC).
3) Plans parallèles à un plan de coordonnées
Tout plan parallèle au plan de coordonnées (xOy) a pour équation cartésienne
z=k aveck∈R.
1 2
1 2
−O
→i
−
→j
−
→k
x
y z
1 2 Définition
Tout plan parallèle au plan de coordonnées (yOz) a pour équation cartésienne
x=k aveck∈R.
1 2
1 2
−O
→i
−
→j
−
→k
x
y z
1 2 Définition
Tout plan parallèle au plan de coordonnées (xOz) a pour équation cartésienne
y=k aveck∈R.
1 2
1 2
−O
→i
−
→j
−
→k
x
y z
1 2 Définition
