DM 14 d’épaisseur e et d’indice n
à rendre le jeudi 4 février
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AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
L’objectif est de déterminer les caractéristiques d’une lamelle d’épaisseureet d’indice optiquen. Ce problème comporte quatre parties. La première partie aborde l’étude de la lame de verre. Les deuxième, troisième et qua- trième parties cherchent à déterminernetepar une méthode d’optique géométrique.
1 Lame de verre
Une lame transparente est caractérisée par son épaisseureet l’indice optiquen du milieu qui la compose. On cherche à caractériser ce dioptre dans le cadre de l’optique géométrique.
1 Donner un ordre de grandeur de l’indice du verre.
2 Pierre de Fermat (1601-1665), juriste passionné de mathématiques et de sciences physiques, a énoncé un principe qui sert de fondement à l’optique géométrique :
La lumière se propage d’un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours est minimale.
Ce principe permet de démontrer les lois de Snell-Descartes, notamment la loi des sinus.
Nous allons l’illustré par le problème suivant.
Un maître nageur, situé en un point A d’une plage, souhaite appliquer ce principe afin de porter secours le plus rapidement possible à un vacancier (situé en B) sur le point de se noyer à quelques brasses du bord de mer.
On note~v1et~v2les vecteurs vitesses (supposés constants) du maître nageur sur la plage (lorsqu’il court) et dans l’eau (où il nage).
2.1 Quel doit être le chemin suivi par le maître nageur afin que le principe de Fermat soit vérifié et le vacancier sain et sauf ?
2.2 En déduire, par analogie, la loi des sinus de la réfraction.
3 Effectuer un rapide tracé de rayon sur la figure A1 (document réponse) afin de trouver graphiquement la position deA0image deApar la lame.
4 Effectuer, de même, un rapide tracé de rayon sur la figure A2 (document réponse) avec un point objet A virtuel.
5 Montrer, par des considérations géométriques, que la relation de conjugaison qui relieAetA0 est donnée dans les conditions de Gauss par :
A A0=e µ
1−1 n
¶ .
2 Réglage et utilisation du viseur
On étudie un viseur à frontale fixe (figure 3) constitué par :
— un objectifL2de centreO2, de distance focale imagef20=50 mm ;
— un réticule graduéRoc;
— un oculaire modélisé par une lentille convergenteL1de centreO1et de distance focale imagef10=50 mm.
On règle la lunette afin d’avoir, pour l’objectif, un grandissement transversal γob=
ÃA0B0 AB
!
= −2.
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6 Comment règle-t-on l’oculaire par rapport au réticule ?
7 Préciser la positionF2A de l’objet visé par rapport à l’objectif en fonction deγob et f20. Faire l’application numérique.
8 Déterminer l’encombrementO1O2de la lunette en fonction de f10,γobet f20. Effectuer l’application numé- rique.
9 Valider vos résultats par un tracé de rayons justifiés sur la figure B (document réponse). Compléter la figure avec la présence du réticuleRocet de la lentilleL1.
10 Citer une application de ce type de viseur.
3 Description du dispositif expérimental
On complète le dispositif de lunette à frontale fixe précédent par :
— un miroir planM0centré surM0et orthogonal à l’axe optique ;
— une lame semi-réfléchissanteLscentrée surLset inclinée à 45◦:O2Ls=50 mm ;
— un miroir planMicentré surMiet incliné à 45◦:MiLs=100 mm ;
— une lentilleL3convergente de distance focale imagef30:f30=150 mm ;
— un objet constitué d’un réticule mobileRdont la position est mesurable.
L’ensemble (L2,L3) forme un système afocal (figure 4).
11 Analyse du système additionnel.
11.1 Tracer symboliquement sur la figure C (document réponse) le trajet de la lumière issue deRet émer- geant de l’oculaire.
11.2 L’association de la lentilleL2avec la lame semi réfléchissanteLs, le miroirMiet la lentilleL3forme un système afocal.
Définir la notion de système afocal.
Quelle doit être la distanceMiO3en fonction def30, f20,O2Ls etMiLs afin de réaliser cette condition ? Faire l’application numérique.
11.3 On note R0 l’image deR par l’ensemble du système additionnel constitué par L3, Mi, Ls et L2. L3MiLsL2
On sera attentif à l’algébrisation de l’axe optique et au sens effectif de propagation de la lumière.
Établir, en fonction def20etf30, la relation liant la positionF30Rde l’objetRpar rapport au foyer image deL3à celle de son imageR0donnée parF2R0.
11.4 On place l’objetRtel queO3R=150 mm, comme sur la figure 4. Où se trouve son imageO2R0par le système optique (L3,Mi,Ls,L2) ?
11.5 Quel est son grandissement transversal ?
12 On utilise une méthode d’autocollimation à l’aide du miroir planM0, placé devant l’objectif à la distance O2M0=O2F2= −50 mm.
Attention : la lunette est réglée en frontale fixe comme dans la deuxième partie.
On éclaire le réticuleRpar rapport à la question précédente. Il donne une nouvelle imageR0par le système optique (L3,Mi,Ls,L2).R0sert alors d’objet au système (miroirM0, lunette de visée).
On obtient une imageR" que l’on désire superposer àRoc.
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On observe à travers l’oculaire l’image nette de 2 réticules (RocetR").
12.1 Déterminer la position particulièred0du réticuleRtelle qued0=F30R.
12.2 Exprimer ce résultat en fonction deF2A,f20,f03.
12.3 On éloigne le miroirM0de l’objectif d’une distancee. Sa positionM01est telle queO2M01=O2F2−e.
Afin de préserver une image nette à travers l’oculaire, on doit déplacer d’une valeurε1le réticuleR. La nouvelle position du réticuleRestd1telle qued1=F30R1=d0+ε1.
Déterminer le déplacementε1en fonction dee,f20etf30. 12.4 Quel est l’intérêt du système étudié ?
12.5 Que dire du rapport entre les échelles sur les deux réticules ?
4 Application à la caractérisation d’une lame d’épaisseur e et d’indice n
13 Le miroirM0et le réticuleRsont placés initialement de telle sorte que :O2M0=O2F2= −50 mm,d0=F03R.
De par le retour inverse de la lumière, on obtient le schéma de la figure 6.
On intercale la lame d’indicend’épaisseureentre le miroirM0et l’objectifL2. 13.1 Analyser la composition du système optique à l’aide d’un schéma synoptique.
13.2 La position de la lame a-t-elle une influence ?
13.3 Montrer que le déplacement du réticuleRvers une positiond2, telle qued2=F30R"=d0+ε2, permet de retrouver une image nette.
13.4 Exprimerε2fonction dee,n,f20etf30.
13.5 On donnee=0, 1 mm et on mesureε2= −0, 6 mm. Quel est l’indicende la lame ? 14 Proposer une méthode utilisant ce système afin de trouver une autre équation reliantnete.
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