Sur l'équation d'Euler et les lignes de courbure de l'ellipsoïde

Mais, pour le m o m e n t , je me contenterai de rappeler que la détermination des surfaces à courbure constante exige l'intégration de l'équation (2) et que tous les efïbrts

i° leurs rayons de courbure principaux sont liés par une rela- tion; 2° les lignes le long desquelles leur courbure' totale est constante sont géodésiquement équidistantes. Il

est nécessaire pour que Félément linéaire (e) convienne à des surfaces de révo- lution, où les trajectoires des lignes d^égale courbure sont les mé- ridiens.. Supposons

Considérons une surface quelconque (S) et soient a et jî les pa- ramètres des courbes de la surface qui ont pour représentation sphérique les génératrices rectilignes de la sphère.

On déduit immédiatement de ce qui précède que, si un sys- tème de lignes de courbure d'une surface réglée possède une pro- priété exprimable par une équation différentielle

Nous allons montrer que , réciproquementy toute surface applicable sur une surface de révolution, et dont les rayons de courbure principaux sont fonctions l ' u n de l'autre, est

On en conclut que, parmi A^ surfaces du second degré, les cylindres, les cônes elles surfacdsi de révolution sont les seules dont les rayons de courbure principaux en chaque

Bour a déterminé les lignes géodésiques des surfaces applicables sur les surfaces de révolution, lorsque leur courbure n'est pas constante; on reconnaît donc que les lignes de