[ Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie \ 4 septembre 2017

[ Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie \ 4 septembre 2017

Exercice 1 Commun à tous les candidats 5 points

La courbeC tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine O est la représentation gra- phique d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle]_{0 ; 10}]_.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−1

−2

−1

−2

−3 1 2 3 4 5 6 7

D

b b

b

P

R Q

C

On considère les points P (1 ; 3) et R (4 ; 6). Le point Q a pour abscisse e, avec e≈2,718.

Les points P et Q appartiennent à la courbeC. La droiteDest parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point Q. La droite (PR) est tangente à la courbeC au point P et la droiteDest tangente à la courbeC au point Q.

Partie A

1. La droite (PR) a pour coefficient directeur le nombrea= yR−yP

xR−xP =6−3 4−1=1.

La seule équation correspondant à un coefficient directeur égal à 1 esty =x+2 donc la bonne réponse est lab.

2. • Le point P (1 ; 3) appartient àC doncf(1)=f(xP)=yP=3.

• La tangente (PR) à la courbeC a pour coefficient directeur 1 doncf^′(1)=1.

3. D’après le graphique, la courbeCest située en dessous des tangentes en chaque point de ]_{0 ; 10}]; la fonctionf est donc concave sur]_{0 ; 10}]_{. Réponseb.}

4. La fonctionf est positive sur[_{1 ; 2}]_donc Z₂

1 f(x) dxest égale à l’aire du domaine délimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2. Cette surface contient un rectangle d’aire 3 et est contenue dans un rectangle d’aire 4 donc

Z2 1 f(x) dx est comprise entre 3 et 4.

Partie B

La courbeC est la représentation graphique de la fonctionf définie sur l’intervalle]_{0 ; 10}]_{par :} f(x)= −xlnx+2x+1.

1. a. f^′(x)= −1×lnx−x×1

x+2= −lnx−1+2=1−lnx

b. Pour démontrer que la fonctionf admet un maximum sur]_{0 ; 10}], on étudie les va- riations def donc le signe def^′sur cet intervalle.

f^′(x)>0⇐⇒1−lnx>0⇐⇒1>lnx ⇐⇒ e>x ⇐⇒ x<e

Donc la fonctionf est strictement croissante sur]_{0 ; e}], strictement décroissante sur [_{e ; 10}], et telle quef^′( e )=0. Donc la fonctionf admet un maximum pourx=e . c. Le maximum de la fonctionf sur l’intervalle]_{0 ; 10}]_est

f( e )= −e×ln e+2e+1= −e+2e+1=e+1.

2. La courbeCest entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]_{0 ; 10}]si la fonctionf est concave sur]_{0 ; 10}]. On sait qu’une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.

f^′(x)=1−lnx donc f^′′(x)= −1

x <0 sur]_{0 ; 10}]. Donc la fonction f est concave sur ]_{0 ; 10}], d’où on déduit que la courbeC est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle]_{0 ; 10}]_.

3. On admet que la fonctionFdéfinie parF(x)= −x² 2 lnx+5

4x²+x−7 est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle]_{0 ; 10}]_{. Donc :}

Z2

1 f(x) dx= h

F(x) i2

1= µ

−4 2ln 2+5

4×4+2−7

¶

− µ

−1 2ln 1+5

4+1−7

¶

= −2ln 2−5 4−1+7

=19 4 −2ln 2

Exercice 2 Commun à tous les candidats 5 points

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle[_{1 ; 10}]_{par :f(x)=4e}^−0,5x+1_+x−1.

On donne page 6 la courbe représentativeC de la fonctionf sur l’intervalle[_{1 ; 10}]_{dans un} repère d’origine O.

Partie A

1. Pour tout réelxde[_{1 ; 10}]_{on a :f}^′_{(x)=4×(−0,5) e}^−0,5x+1_{+1= −2e}^−0,5x+1_+1.

2. a. On résout sur l’intervalle[_{1 ; 10}]_{l’équationf}^′_{(x)=0 :} f^′(x)=0⇐⇒ −2e^−0,5x+1+1=0⇐⇒ 1=2e^−0,5x+1⇐⇒ 1

2=e^−0,5x+1

⇐⇒ln1

2= −0,5x+1 ⇐⇒0,5x=1−ln1 2

⇐⇒ x= 1 0,5

³

1−(ln 1−ln 2)

´

⇐⇒ x=2

³

1−0+ln 2

´

⇐⇒ x=2(1+ln 2)

⇐⇒ x=2+2ln 2

b. On place sur le graphique page 6 le point H de la courbeC d’abscisse 2+2ln 2.

3. On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle[_{1 ; 10}]de l’inéquation f^′(x)>0 est [2+2ln 2 ; 10].

La fonctionf est donc strictement décroissante sur l’intervalle[_{1 ; 2+2ln 2}], et elle est strictement croissante sur[_{2+2ln 2 ; 10}]_,

Partie B

L’entreprise « COQUE EN STOCK » fabrique et commercialise des coques pour téléphone por- table. Son usine est en mesure de produire entre 100 et 1 000 coques par jour.

La fonctionf permet de modéliser le coût de production d’une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, sixdésigne le nombre de centaines de coques produites alorsf(x) représente le coût, en euros, de production d’une coque.

1. Le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour est f(5)=4e^−1,5+4≈4,89(.

2. a. Le coût unitaire minimal de production est obtenu pourx=2+2ln 2≈3,39 ; cela cor- respond donc à 339 coques par jour.

b. Le coût unitaire minimal de production d’une coque est doncf(2+2ln 2)≈4,39(. Partie C

Le prix de vente d’une coque peut être modélisé par la fonctiongdéfinie sur l’intervalle[_{1 ; 10}] par :g(x)= −1

4x+6.

Pour que l’entreprise fasse des bénéfices, il faut que le coût unitaire de production soit inférieur au prix de vente unitaire, c’est-à-dire quef(x)<g(x).

Il s’agit donc de résoudre l’inéquation 4e^−0,5x+1+x−1< −1 4x+6.

On ne sait pas résoudre cette inéquation algébriquement, donc on va le faire graphiquement.

Sur le graphique page 6, on trace la droite∆d’équationy= −1

4x+6 représentant la fonctiong; il y a donc un bénéfice quand la courbeC est au dessous de la droite∆.

Les quantités de coques à produire par jour afin d’assurer un bénéfice à l’entreprise sont com- prises entre 1,5 et 4,8 centaines, soit entre 150 et 480 coques environ.

Exercice 3 Commun à tous les candidats 5 points

On considère la suite géométrique (un), de raison 0,9 et de premier termeu0=50.

1. a. On complète l’algorithme ci-dessous afin qu’il calcule et affiche le 25^eterme de cette suite, c’est-à-direu24:

Variables: Nest un entier naturel Uest un nombre réel Initialisation: Uprend la valeur50 Traitement: PourNallant de 1 à 24

Uprend la valeurU×0,9 Fin Pour

Sortie: AfficherU

b. La suit (un) est géométrique de premier termeu0=50 et de raisonq=0,9 donc, pour tout entier natureln, on aun=u0×qⁿ=u0×0,9ⁿ.

c. u24=50×0,9²⁴≈3,988.

2. On résout l’inéquationun<0,01 : un<0,01 ⇐⇒ 50×0,9ⁿ<0,01

⇐⇒ 0,9ⁿ<0,01 50

⇐⇒ 0,9ⁿ<0,0002

⇐⇒ ln 0,9ⁿ<ln 0,0002 croissance de la fonction ln sur]_{0 ;+∞}[

⇐⇒ n×ln 0,9<ln 0,0002 propriété de la fonction ln

⇐⇒ n>ln 0,0002

ln 0,9 car ln 0,9<0

Orln 0,0002

ln 0,9 ≈80,8 donc le plus petit entier naturelntel queun<0,01 est 81.

On peut vérifier queu80≈0,011>0,01 et queu81≈0,098<0,01 3. On souhaite calculer la sommeS24=u0+u1+ · · · +u24.

Voici trois propositions d’algorithmes :

Variables: Variables: Variables:

Nest un entier naturel Nest un entier naturel Nest un entier naturel Sest un nombre réel Sest un nombre réel Sest un nombre réel Initialisation: Initialisation: Initialisation: Sprend la valeur 0 Sprend la valeur 0 Sprend la valeur 50

Traitement: Traitement: Traitement:

PourNallant de 0 à 24 PourNallant de 0 à 24 PourNallant de 0 à 24 Sprend la valeur Sprend la valeur Sprend la valeur

S+50×0,9^N 50×0,9^N S+50×0,9^N

Fin Pour Fin Pour Fin Pour

Sortie: Sortie: Sortie:

AfficherS AfficherS AfficherS

Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3

a. Un seul de ces algorithmes permet de calculer la sommeu24et de l’afficher.

• Dans l’algorithme 2, la valeurSprend à chaque tour de boucle la valeuruN; donc en fin d’algorithme, on n’a pas calculé la somme des termes mais seulement le termeu24.

• Dans l’algorithme 3, on initialiseS à 50 puis, dans la boucle, on repart deN =0 donc on reprend en compte la valeuru0=50.

L’algorithme qui calculeS24est donc l’algorithme 1.

b. La somme des premiers termes d’une suite géométrique est donnée par la formule : premier terme×1−raisonnombre de termes

1−raison . DoncS24=u0×1−q²⁵

1−q =50×1−0,9²⁵ 1−0,9 =500¡

1−0,9²⁵¢

≈464.

4. Pour tout entier natureln, on noteSn=u0+ · · · +un.

On admet que la suite (Sn) est croissante et que pour toutn,Sn=500−450×0,9ⁿ. a. On sait qu’une suite géométrique de raisonqavec−1<q<1 a pour limite 0.

Or−1<0,9<1 donc lim

n→+∞0,9ⁿ=0 et donc lim

n→+∞Sn=500.

b. Alex affirme queSnpeut dépasser 500 pour une valeur densuffisamment grande.

Pour toutn, 0,9ⁿ>0 donc 450×0,9ⁿ>0 donc 500−450×0,9ⁿ<500 ; on en déduit que Sn<500 pour toutn, et donc qu’Alex a tort.

Exercice 4 Commun à tous les candidats 5 points

Partie A

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphones fait ses achats chez deux fournisseurs :

• un fournisseur A qui lui garantit 99 % d’étuis non défectueux ;

• un fournisseur B qui lui garantit 94 % d’étuis non défectueux.

On sait également que 80 % des étuis achetés par l’entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les évènements suivants :

• A: « l’étui provient du fournisseur A » ;

• B: « l’étui provient du fournisseur B » ;

• D: « l’étui est défectueux ».

1. On construit un arbre pondéré illustrant la situation :

0,8 A

1−0,99=0,01 D 0,99 D

B 1−0,8=0,2

1−0,94=0,06 D

0,94 D

2. D’après la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un étui est défectueux est : P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=0,8×0,01+0,2×0,06=0,02.

3. On choisit un étui au hasard et on constate qu’il est défectueux.

La probabilité que l’étui provienne du fournisseur B est égale à : PD(B)=P(B∩D)

P(D) =0,2×0,06 0,02 =0,6.

Partie B

On rappelle que le fournisseur B garantit 94 % d’étuis non défectueux, donc il y a 6 % d’étuis défectueux. Un employé de l’entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que 350 de ces étuis ne sont pas défectueux donc 50 sont défectueux.

1. La proportion d’étuis défectueux est égale àp=0,06 et on choisit un échantillon de taille n=400.

n=400>30,np=400×0,06=24>5 etn(1−p)=400×0,94=376>5 ; les conditions sont donc vérifiées pour qu’on puisse établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d’étuis défectueux :

I=

"

p−1,96

pp(1−p)

pn ;p+1,96

pp(1−p) pn

#

=

"

0,06−1,96

p0,06(1−0,06)

p400 ; 0,06+1,96

p0,06(1−0,06) p400

#

≈[0,036 ; 0,084] 2. La fréquence des étuis défectueux dans l’échantillon est f = 50

400=0,125.

Cette valeur n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation calculé ; on peut donc estimer, au risque de 5 %, qu’il y a trop d’étuis défectueux dans cet échantillon.

Il faut donc informer le fournisseur d’un problème.

Partie C

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.

Le fournisseur B souhaite qu’au moins 95 % des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.

On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B.

On noteXla variable aléatoire associée à l’épaisseur (en mm) de l’étui. On admet queXsuit une loi normale d’espérance 20 mm.

1. En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l’écart- type deXest égal à 0,2. On voudrait queP(19,86_X6_20,2)>_0,95.

Si la variable aléatoireX suit la loi normale d’espéranceµ=20 et d’écart-typeσ=0,2, alors, d’après le cours,P(19,86X620,2)=P(µ−σ6X6µ+σ)≈0,68<0,95.

Il faut donc revoir les réglages de la machine.

2. On sait aussi queP(µ−2σ6X6µ+2σ)≈0,95. Pour queP(19,86X620,2) soit environ égal à 0,95, il faudrait que 19,8=µ−2σet que 20,2=µ+2σdonc queσsoit égal à 0,1.

Donc siσ=0,1, la probabilité qu’un étui soit conforme est environ égale à 0,95.

ANNEXE

À remettre avec la copie

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C

x y

O 1,5 4,8

×

∆