Correction
TRAVAUX NUMERIQUES : sur 12 points
Exercice 1 :
Alain et Charlotte décident de faire chacun une question de l'exercice suivant :
A=5 4−2
3× 9
16B=16×10−5×3×104 24×10−3
1 Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2 Calculer B et donner le résultat sous forme d'un nombre entier.
A=5
4−2×3×3 3×2×8
¿5 4−3
8
¿10 8 −3
8
¿7 8 A=7
8
B=16×3
24 ×10−5×104 10−3
¿2×8×3
8×3 ×10−5+4 10−3
¿2×10−1 10−3
¿2×10−1−(−3)
¿2×10−1+3
¿2×102 B=200
Exercice 2 :
On donne les nombres : A=3
7−2 7×21
8
B=3×102×1,8×10−3 6×104
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Écrire toutes les étapes du calcul.
2. a. Donner l'écriture décimale de B.
Correction
Correction
b. Exprimer B en écriture scientifique.
A=3 7−2
7×21 8
¿3
7−2×3×7 7×2×4
¿3 7−3
4
¿3×4
7×4−3×7 4×7
¿12 28−21
28
¿12−21 28
¿−9 28 A=−9
28
B=3×1,8
6 ×102×10−3 104
¿3×18×10−1
6 ×102×10−3 104
¿3×3×6
6 ×10−1×102×10−3 104
¿9×10−1+2+(−3) 104
¿9×10−2 104
¿9×10−2−4
B=9×10−6← Ecriture scientifique B=0,000 009← Ecriture décimale
Exercice 3:
1. Effectuer les quatre calculs suivants, chaque résultat sera donné sous la forme d'un entier.
a.Calcul 1 : 3,9×
(
10−2)
23×10−5
b.Calcul 2 : trouver le plus grand diviseur commun de 35 et 12 . c.Calcul 3 :
(
2+23)
÷(
45−23
)
a. Calcul. 1.
3,9×
(
10−2)
23×10−5 =39×10−1×10−2×2 3×10−5
¿39
3 ×10−1×10−4
10−5 =13×3
3 ×10−1+(−4) 10−5
¿13×10−5 10−5=13
b. Calcul. 2.
35=5×7et12=3×22
Ci-dessus nous avons les décompositions en produit des facteurs premiers des nombres :35et12 .
Dans ces décompositions il n’y a pas de facteurs premiers en commun. Donc PGCD(35;12)=1
En en déduit que 35 et 12 sont deux nombres premiers entre eux.
c. Calcul. 3.
(
2+23)
÷(
45−23
)
=(
63+23
)
÷(
1215−10 15)
¿8 3÷ 2
15
¿8 3×15
2
¿4×2×3×5 3×2
¿4×5
¿20
ARITHMETIQUE : sur 12 points Exercice 1 :
Un chocolatier dispose de 1 575 bonbons au chocolat blanc et de 4410 bonbons au chocolat noir. Afin de préparer les fêtes de fin d'année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante :
tous les chocolats doivent être utilisés ;
toutes les boîtes doivent avoir la même composition.
De plus il veut réaliser le plus grand nombre dé boîtes possibles.
1.
Combien pourra-t-il faire de boîtes ? Justifier votre réponse.Correction
2. Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Justifier.
1. Le nombre de boîtes doit être un diviseur commun de 1575 nombre de chocolat blanc et de 4 410 nombre de chocolat noir.
Pour réaliser le plus grand nombre de boîtes. Il faut choisir le plus grand diviseur commun.
Calcul du PGCD(1 575;4 410)
On utilise par exemple l’algorithme d’Euclide.
Dividende diviseur Reste
4 410 1575 1260
1575 1260 315
1260 315 0
PGCD(4 410;1 575)=315
Il peut réaliser au maximum 315 boîtes.
2. Composition des boîtes.
4 410÷315=14 1575÷315=5
Chaque boîte contient 14 bonbons au chocolat noir et 5 bonbons au chocolat blanc.
Exercice 2 :
Pour chaque ligne du tableau, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Indiquez sur votre copie la réponse exacte.
Réponse A Réponse B Réponse C
Le PGCD de 364 et 156 est 26 78 52
L’écriture scientifique de : 15×108×10−3
102 est :
1,5×102
On donne f(x)=3x2−5.
Alors f
(
23)
=¿−1 7
9 1,5×104 15×103
−11 3
Correction
Le dernier reste non nul 1. PGCD(364;156)=52
On utilise l’algorithme d’Euclide.
364 156 52
156 52 0
2. L’écriture scientifique :
15×108×10−2
102 =15×108−3
102 =15×105−2=15×103 1,5×101×103=1,5×104
3. Calcul de f
(
23)
f
(
23)
=3×(
23)
2−5¿3×22 32−5
¿4 3−5
¿4 3−15
3
¿−11 3
Exercice 3:
Rationnel ou décimal ? On pose :
M=20755 9 488 −3
8
1. Calculer le plus grand diviseur commun D aux deux nombres 20755 et 9 488 Reporter avec soin les calculs qui conduisent à D.
2. Écrire en détaillant les calculs, le nombre M sous la forme d'une fraction irréductible.
Correction
3. Le nombre M est-il décimal ? Est-il rationnel ? Justifier.
1. Calcul de P.G.C.D. à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Dividende diviseur reste
20755 9488 1779
9488 1779 593
1779 593 0
PGCD(20 755;9 488)=593 2. M=20755
9 488 −3 8 M=20755÷593
9 488÷593 −3 8
¿35 16−3
8
¿35 16− 6
16 M=29
16
M=1,8 125
M est un nombre décimal donc rationnel. Car tout nombre décimal est rationnel.
Remarque :
M est décimal s’il existe un entier naturel n tel que M= a 10n Donc29
16= a 10n 29×10n=a ×24 29×(5×2)n=a ×24 29×5n×2n=a ×24 a=29×5n×2n−4
Pour n=4
On trouve a=29×54×20=29×625=18125 D’où
M=18125 104
Correction
TRAVAUX GEOMETRIQUES : sur 12 points Exercice 1 :
On considère le rectangle ABCD ci-contre.
1. Calculer le périmètre p (en cm) de ce rectangle et l'exprimer sous forme d’une fraction irréductible
2. Calculer l'aire A du rectangle en
¿ cm
2 ¿.
Rappel : pour un rectangle, on a : P=2(L+l) et A=L ×l .
1. Calcul du périmètre.
P=2×
(
425 +9 2)
¿2×42 5 +2×9
2
¿84 5 +9
¿84 5 +45
5 P=129
5 cm 2. Calcul de l’aire.
A=42 5 ×9
2
¿21×2×9 5×2
¿21×9 5
Correction
A=189 5 cm2
Exercice 2 :
Sur la figure ci-dessous qui n'est pas en vraie grandeur,
ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC].
On donne : AB=5; AD=4,8;BC=6.
1. Construire cette figure sur une feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille).
2. Montrer que la longueur HC est égale à 3,6.
3. Calculer le périmètre du trapèze ABCD . 4. Calculer l'aire du trapèze ABCD .
Rappel : L’aire d’un trapèze est : A=(B+b)× h 2
1. Construction de la figure.
2. C a l c u l
de HC
BHC est un triangle rectangle en H D’après le théorème de Pythagore, on a :
BC2=BH2+HC2
Or BH=AD=4,8cm et BC=6cm
On remplace BH par4,8et BC par6 dans la relation ci-dessus : 62=4,82+HC2
36=23,04+HC2 HC2=36−23,04
HC2=12,96 HC=
√
12,96HC=3,6cm
3. Calcul du périmètre du trapèze ABCD Soit p: Le périmètre du trapèze ABCD
p=AB+BC+CD+DA p=5+6+(3,6+5)+4,8 p=24,4cm
4. Calcul de l’aire :
Soit A: L’aire du trapèze ABCD:
A=4,8×(8,6+5) 2 A=32,64cm2
