AU MOUVEMENT

DU MOMENT EXTERNE AU MOUVEMENT

ANGULAIRE

(EULER)

Rappel



Arc AB



Angle 



Rayon r

o A

B 

r

Mouvements linéaire et Angulaire

 Distance : d Arc (AB) = r.

 Vitesse : v r. ω

 Accélération : ä r. θ

Moment d’Inertie



Le moment d’Inertie est la résistance à la mise en

rotation de la masse « m » située à la distance « d » de l’axe de rotation.



M

=m.d² ^{(en kg.m²)}

d m

Rayons de giration

Rayons de giration

Définition d’un Moment de force



Une moment de force « M

» (Nm) correspond à l’accélération angulaire (ä; rad.s

²) d’une

masse (m; kg) à l’extrémité d’un bras de levier « d » .



M

=F.d

N.m= kg.rad.s

².m



Grandeur vectorielle:

 Point d’application

 Direction

 Sens

 Intensité

 



 







 d F

haut le

Vers

Verticale o

.

d F

m M

d F M 

 





Propriétés



Addition



Principe « Action-Réaction »



Notion d’équilibre



Statique (Planche chinoise)



Dynamique (Terre)

d1 F1

m1 M1

M2 d2

F2 m2

Équilibre Statique



Exemple d’application



Loi d’Euler  M=Mext=O

 (F1.Id)+(W.Ip)+(F2.o)=0

 D’où Ip=?

 Ip= -(F1.Id)/W

 Soit: (2x329)/700=0.94m

Que se passe-t-il si : ?

 ^M

 0

Exemple de Moment de Force (Les leviers)



1

Type de Levier



Inter-appui



Appui entre Force et

Résistance

Exemple de Moment de Force (Les leviers)



2

Type Inter-Résistant



Résistance entre Force et Appui



Anatomiquement inexistant

Exemple de Moment de Force (Les leviers)



3

Type Inter-Moteur



Force entre Résistance et Appui



Le plus courant

Bilan des leviers



Avantage Mécanique



Avantage Cinématique:

 R V AM et

L L ce Résis la à appui l de ce Dis

Force la

à appui l de ce AC Dis

r

f  



 1 .... ...

tan ..

..

..

' ..

..

tan

..

..

..

' ..

..

tan

AMDistance..de..l' appui..à..la..Résistan ce Distan ce..de..l' appui..à..la..Force  L_r

L_f

Loi d’Euler



La somme des moments des forces externes (M

) est égale au produit de la somme des moments d’Inertie (m

d

²) par l’accélération angulaire ( ά ).

d1 F1

m1 M1

M2 d2

F2 m2













2

. :

i i f

d m Avec

M Euler

^

Pouce:F; Index:d; Majeur: Moment

Impulsion et Moment Cinétique



Un moment de force « M » (Nm) agit pendant un temps

« t » sur une masse « m » située à une distance « d » de l’axe de rotation .



Il crée ainsi une impulsion angulaire qui explique la variation de vitesse

angulaire (ω) de la masse (m) située à une distance

« d » de l’axe de rotation.









































. .

: '

_ _

Im

_ _

_ :

_ _ .

' _

² . :

. . .

².

. .

.

².

. .

I t M écrit s

Cinétique Moment

Angulaire pulsion

angulaire vitesse

de Variation

w Et

Force de

Moment d

F M

Inertie d

Moment d

m I

Avec

t I

t d

m t d F

d m d F

f f













d

F m

M

moment cinétique … Mobile polyarticulé

m_i : Masses des segments; M: Masse totale G_i : Centre de gravité des segments

G : Centre de gravité du sujet; d_i, bras de levier /G

D, bras de levier de G / l’origine 0 du référentiel externe 3 étapes





Int

I

M ^

.  ^

1) Rotation autour du cg du segment

 ^



Int

m d v

M   

2

.

2) Rotation des segments autour du cg du sujet

3) Rotation du Cg du sujet dans référentiel externe 0

z x

y

V D M

M 

 



 .

0 d

Moment cinétique … Mobile polyarticulé

tTot Ext

t

i i tTot

Ext t

tExt tInt

tInt Tot t

t Ext t

i i Int i

t

i Int i

t

M d w I dt I

dt F

M ou

d m Inertie

d Moment I

dt Avec M I d

F M

M M

M Total

Cinétique M

M

V D M M

v d m M

I M

 



 

 



 















 



 



















































. .

. .

) (

² '

_ _

, .

) (

_ .

. .

2 1

2 1







0

M^t (Fext)

Propriétés du moment cinétique



Constant …. Tant qu’il n’y pas intervention de force.

Exemple du plongeur:

En décalant son Cg / Plongeoir,

Moment cinétique est constant après décollage.

Que ce passe-t-il si le plongeur se regroupe ? Que devient le Moment d’Inertie ? Comment M^t reste-t-il constant ?

Cste w

I dt F

M

 

 ^{ ( ) . . }

Propriétés du Moment cinétique

 Transférable

 Le M^t Cinétique est transférable d’une partie du corps à l’autre

V D M v

d m I

M

M M

M M

i i i i

Tot i t

tExt tInt

tInt tTot



 

 































2 1

 Création

Transfert

Exercice

². 1

15 '

60 . 0 , 087 . 0 ,

2700

 









s kgm Inertie

d M

m d

s t

N R

t p

Conditions initiales à l’envol

Le plongeur quitte la planche bras et jambes tendus.

Quel est alors le Moment Cinétique au Cg du plongeur ? Le temps de vol est de 2 secondes

- Combien de rotations peut-il effectuer corps tendu ? - Combien de rotations s’il se « regroupe »

Réduisant ainsi son moment d’inertie à 7 kgm²/s ?

Correction

Tot t Ext

t F dt I dt I w dM

M   



 







On sait que :

A l’envol seuls le poids et la réaction du plongeoir ont une action sur le plongeur. Or le poids passant par le Cg du plongeur, son moment est nul.

D’où:

. 1

4 . 15 9

087 . 0 2700 60

. 0

. . .

. .

 







s x rad

x

I dt R w d

w I dt R

d _p ^p

Si le Moment d’inertie reste inchangé, le plongeur effectue 3 rotations

S’il se regroupe, il peut effectuer 6.37

rotations lors de la phase de vol. ^{d où w tours s}

s rad w

alors s

kgm I

Si

s tours s

tours s

rad w

/ 18

. 3 _

'

/ 20 _

_ /

² 7 _

. 5

. 1 .

/ 4 . 9 .

4 .

9 ^{1 1 1}













 ^{  }