II III I 2 :Correction.dudevoirsurfeuillen 2

(1)

2

^nde

: Correction. du devoir sur feuille n

^o

2 I

Un ingénieur a conçu un pont capable de supporter une charge maximale après calcul de 1000³

99−70p 2´

tonnes.

Il demande un stagiaire de faire une pancarte pour avertir les usagers de la charge maximale autorisée.

1. p

2≈1, 414 à 10⁻³près.

Le stagiaire réalise la pancarte en prenant 1,414 comme valeur approchée dep

2. Pour calculer une valeur appro- chée de charge possible, il calcule 1000

³

99−70p 2

´ avec p2≈1, 414 donc 1000(99−70×1, 414) ≈20 . Sa pancarte indique donc « Charge maximum possible : 20 tonnes ».

2. Un camion de 12 tonnes s’est engagé sur le pont. Le pont s’est écroulé à son passage.

Au procès, l’ingénieur affirme qu’il avait interdit aux camions de plus de 5 tonnes de franchir le pont. Qui de l’in- génieur ou du stagiaire avait raison ? (justifier précisément votre réponse).

En prenant davantage de décimales à la calculatrice, on trouve 1000

³

99−70p 2

´

≈5 .

L’ingénieur avait raison d’avoir interdit aux camions de plus de cinq tonnes de franchir le pont.

II

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4 ;−2),B(2 ; 5) etC(−3 ;−4).

1.

−2

−4

−6 2 4

2 4

−2

−4

−6

bA

bB

bC

bM

Calculons les distancesAB,BCetAC.

• AB= q

(xB−xA)²+¡ yB−yA

¢2

=

p(2−4)²+(5−(−2))²

=p

(−2)²+7²=p

4+49=p 53

• BC= q

(xC−xB)²+¡ yC−yB

¢2

=p

(−3−2)²+(−4−5)²

=

p(−5)²+(−9)²=p

25+81=p 106.

• AC= q

(xC−xA)²+¡ yC−yA

¢2

=p

(−3−4)²+(−4−(−2))²

=

p(−7)²+(−2)²=p

40+4=p 53.

AB=ACdonc le triangle ABC est isocèle en A.

BC²=106 ;AB²+AC²=53+53=106 donc BC²=AB²+AC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

ABC est donc un triangleisocèle rectangleen A.

2. Puisque ABC est rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu M de l’hypoténuse et le rayon est la moitié de cette hypoténuse, donc

p106 2 .

III

Le tableau ci-dessous présente la série de notes obtenues par les élèves d’une classe de 2^ndeà un devoir.

Note sur 20 5 6 8 9 11 12 13 15 18 19

Effectif 1 2 6 2 1 4 2 3 1 1

1. Représentons cette série par un diagramme en bâtons.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Effectifs

Notes

2. L’effectif de la classe est N=23. 3. La note moyenne est :

x=(5×1)+(6×2)+ · · · +(19×1

23 =5+12+48+18+11+48+26+45+ 23

250 23 ≈10, 9

4. Le nombre d’élèves ayant une note inférieure ou égale à 8 est 9.

9

23≈0, 39≈ 39

100=39 %.

39 % des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 8. 5. L’effectif total estN=23, nombre impair : 23=2×11+1.

La médiane est donc le nombre de rang 12 (12^evaleur) : Me=11

6. Donnons la liste des effectifs cumulés croissants, pour rendre la lecture plus facile :

E.C.C 1 3 9 11 12 16 18 21 22 23

N 4 =23

4 =5, 75 ; le premier quartile est donc la valeur de rang 6 : Q1=8 .

3×N

4 =17, 25 ; le troisième quartile est donc la valeur de rang 18 : Q3=13.

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(2)

IV

Dans une usine, une machine produit des pièces de diffé- rents diamètres.

On a mesuré le diamètre, en mm, de 1 000 de ces pièces. Le tableau suivant donne les résultats obtenus :

Diamètre 30,25 30,26 30,27 30,28 30,29 30,30

Nombre

de pièces 112 262 236 181 127 82

E.C.C. 112 374 610 791 818 1 000

1. Ajoutons une ligne au tableau donnant les effectifs cumu- lés croissants. (voir tableau ci-dessus)

• L’étendue est 30, 30−30, 25= 0, 05

• Le mode est 30,26.

• L’effectif total estN=1000 ; ce nombre est pair. La mé- diane est donc Me=x500+x501

2 =30, 27+30, 27 2

=30, 27. Me=30, 27

2. Le diamètre moyen de ces pièces est : x=(30, 25×112)· · · +(30, 30×82)

1000 = 30,27195.

3. On considère que la machine est déréglée si au moins 20 % des pièces ont un diamètre qui s’écarte du diamètre moyen de plus de 0,02 mm.

30,2795−0, 02=30,2595 ; 112 pièces ont un diamètre infé- rieur à ce nombre.

30,2795+0, 02=30,2995 ; 82 pièces ont un diamètre infé- rieur à ce nombre.

Au total, 194 pièce ont un diamètre qui s’écarte du dia- mètre moyen de plus de 0,02 mm.

194 1000=19, 4

100 = 19, 4 %, donc moins de 20 %.

La machine n’a pas besoin d’être réglée.

V

On considère une fonctionf définie sur [−4 ; 5] dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

x −4 3 5

Variations def 2❅

❅❅❘

−3

✒⁻¹

a) f(0)<0 ; 0∈[−4 ; 3] ;f(0) est compris entre -3 et 2, maison ne peut pas savoirsif(0)<0.

b) f(4)Ê0 ; 4∈[3 ; 5]. Sur cet intervalle, f est croissante et a pour maximumf(5)= −1, doncf(4)É0 ;FAUX

c) f(−1)>f(1) ;−1 et 1 appartiennent tous deux à l’intervalle [- 4 ; 3] sur lequelf est décroissante.f renverse l’ordre.−1<1 doncf(−1)>f(1).VRAI

d) f(3, 5)<0 : 3, 5∈[3 ; 5] ; sur cet intervalle, f est croissante doncf(3, 5)<f(5)= −1<0 doncVRAI.

e) f(2)= −4 ; 2∈[−4 ; 3]. Sur cet intervalle,f est décroissante et a pour minimum -3, doncf(2)Ê −3> −4 : c’estFAUX

VI

Pour la location d’un véhicule, une entreprise de location propose trois options :

• O1: 150ela première semaine, et 25epar jour supplémentaire.

• O2: 30e_{par jour.}

• O3: 50ede frais de dossier, et 25e_{par jour.}

1. (a) — si 0ÉxÉ7 la location dure moins d’une semaine donc : f(x)=150

— six>7, la location dure plus d’une semaine : elle coûte 150epour la première semaine, puis 25epar jour supplé- mentaire, soientx−7 jours : alors f(x)=150+25(x−7)

— Résumé : f(x)=

(150 si 0ÉxÉ7

150+25(x−7) si 7ÉxÉ30 (b) • Pour 3 jours, la location coûte 150e_.

• Pour 12 jours,f(12)=150+25(12−7)=150+25×5=275 ; la location coûte 275e_. 2. Avec l’optionO2, le coût de location pourxjours est g(x)=30x .

Avec l’optionO3, le coût de location pourxjours est h(x)=25x+50 .

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(3)

3. Courbes :

— Sur [0 ; 7],f est constante sontC_f est un segment parallèle à l’axe des abscisses (points d’ordonnée 150).

Sur [7 ; 30],f(x)=150+25(x−7)=25x+150−175=25x−25. Pour tracer la demi-droite, on cherche deux points :f(7)=150 etf(17)=400 donc cette demi-droite passe par les points de coordonnées (7 ; 150) et (17 ; 400).

— gest affine donc la courbeC_g est une droite passant par origine et le point de coordonnées (10 ; 300).

— hest affine donc la courbeC_hest une droite passant par les points de coordonnées (0 ; 50) et (10 ; 300).

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

C_f

C_g C_h

×

4. On choisit une abscissex; pour cette abscisse, on compare les ordonnées des points d’abscissexsur chacun des courbes et on regarde celui qui a la plus petite ordonnée. On en déduit que :

• Pour 0ÉxÉ5, le tarif le plus avantageux est le tarifO2(courbeC_g_).

• Pourx=5, les tarifs les plus avantageux sont indifféremment le tarifO1ou le tarifO2.

• Pourx>5, le tarif le plus avantageux est le tarifO1(courbeC_f_).

On remarque que le tarifO3n’est jamais le plus avantageux !

VII Exercice facultatif

SoitABC Dun carré etMun point de (BC). La perpendiculaire à (AM) passant parArencontre (C D) enN, et on désigne parI le milieu de [M N].

1. Figure :

b

A

bC

bD

bB

bM

bN

bI

2. • Puisque ABCD est un carré, le triangle MCN est rectangle en C. Le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse, I, milieu de [MN].

On en déduitIC=M N

2 puisqueM N

2 est le rayon de ce cercle.

• De même, par construction, le triangle MAN est rectangle en A ; le centre du cercle circonscrit à ce triangle a donc pour centre I, milieu de [MN] ; on en déduitI A=

M N

2 . Par conséquent, IC=I A=M N 2 .

3. ABCD est un carré, doncAB=AC; B est équidistant des points A et C, donc B appartient à la médiatrice de [AC].

4. De même, puisqueAD=C D, D appartient aussi. à la mé- diatrice de [AC].

PuisqueI A=IC, I appartient à la médiatrice de [AC].

B, D et I appartiennent à la médiatrice de [AC], donc ils sontalignés

Exercice I II III IV V VI Facultatif

Points 3 4,5 4,5 4 2,5 4 2

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