3 12 12 12

1

2

Au fond, je n’ai fait que ce que les fleuves se racontent depuis toujours

Viktor Kaplan

Centrale Fabricant H[m] n z

Francis et Kaplan

*Q = 144 m³/s

*H = 36,7 m

*P = 48 MW

D₀ = 7,2 m D_e = 4,2 m D_i = 1,9 m B₀ = 1,3 m

*Q = 376 m³/s

*H = 27,6 m

*P = 96 MW

D₀ = 8,5 m D_e = 7,1 m D_i = 3,1 m B₀ = 2,8 m

C

u

=

C d cte

C

d

d

d

1

2

0_u 0

=

c d c d

Vortex libre

L’écoulement entre la sortie des avants directrices (station 0) et le bord d’attaque des pales de la turbine, (station 1) est modélisée comme étant un vortex libre

d

c1u

❶

❷

⓿

⓿

❶

Z1

Z2

H_E

H_p

H^T

E

S

S

E H

H H = −

Chute nette (idéale) H

Elle correspond à l’énergie spécifique produite par la turbine. Elle peut être mesurée par la différence entre l’énergie spécifique à l’entrée (E) et celle à la sortie (S) de la turbine, sous forme de pression, d’hauteur physique et d’énergie cinétique



 



 + +

 −



 



 + +

= g

z p g

V g

z p g

H V^E _E ^{E S} _S ^S

ρ

ρ

2

2 2

g p z p

g z V

H V^{E S} _{E S} ^{E S}

ρ

−

− +

= 2

2 2

c_1x c_1u

c_2u c_2x

α1

β2

u₁ w₁

w₂ u₂

c₁

c₂

❶ ❷

❶ ❷

1 2

(

)

ρ

= −

1 1 2 2

( )

kaplan u u

P =W =

ρ

24

1 2

x x x

c = c = c

1 2

u = u = u ₁

1

2

2

tan tan

x u

x u

c c

c u c α

β

=

= −

1 2

1 2

tan tan

x x

u u

c c

c c u

α β

− = − +

1 2

1 2

1 1

tan tan

u u x

c c c u

α β

 

− =  + −

 

2 2

( )

x

s r

c Q

R R

= π

− ^Rs

Rr

Q Q

2 2

2 2 tan 1 tan 2

( )

tan tan

Kaplan

s r

P Q u Qu

R R

ρ π α β ρ

α β

 

 

 

= −

 − 

 + 

 

Formule simplifiée utilisant une vitesse périphérique moyenne u Hypothèses

 

 



 Ψ

= Φ

N

 

 



= 

D N

φ Q _



 



= 

D N

W

Ψ

e s

N N W

H

1/ 2

5/ 4

− •

( ) =

( )

/

/

=  /

e s

N W gH N

gH

ρ

3 4

Vitesse adimensionnelle (scientifique)

Vitesse dimensionnelle (pratique)

•

•

̇𝑾𝑾 =P : puissance, Q:débit, H=chute

3/ 4 5/ 4

q s

N Q N P

n n

H H

= ⇔ =

n_s dénote la vitesse nécessaire pour atteindre, dans une turbine similaire, la puissance unitaire avec un chute de 1m

.

=



s 5 4

n n W H

n_q est la vitesse d’une turbine géométriquement similaire à une autre operant avec une chute de 1 m et par laquelle circule un débit Q = 1 m³/s

=

n n Q

H

Remarque: Lorsque la puissance était mesurée en CV et ρg en kilo-force, on trouvait le coefficient n_s=n_q 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏/𝟕𝟕𝟕𝟕 = 3.65n_q

/

=

1 2 1 2 1 2

P ρ gQ H

/ / /

/ /

−

=

=

s q

n gQ H H

n g

n nQ H

ρ ρ

/ /

/ /

−

=

q

n nP H n nQ H

= 9800 = 99

s q

n

n

• En pratique, pour les turbines hydrauliques, on définit des variables réduites

• Celles-ci correspondent à un fonctionnement en similitude d’une turbine de diamètre D=1 m, opérant avec une chute H=1 m. On note ces variables avec un double indice 1

Vitesse de rotation réduite n₁₁

Débit réduit Q₁₁

11 1/ 2

n nD

= H

2 2 2

11

1

1

n n D

g g H

× = ×

× ×

11 2 1/ 2

Q Q

= D H

11

3 3

11

1

Q Q

N = n D

× ×

Puissance réduite P₁₁

2 3

11 2 /

H D P = P

Remarque:les valeurs numériques de n , Q et P dépendent du système d'unités.

Kaplan

L’analyse de similitude et la construction de cartes d’opération des turbines Kaplan, requiert la prise en compte de cinq paramètres: _➊ la vitesse de rotation, _❷ le débit, _➌ le rendement,

➍ la position des aubes directrices et _➎ l’inclinaison des pales de la roue. Ces deux derniers éléments qui régulent le débit, sont caractérisés respectivement, par un paramètre de position x et, par un angle φ₀.

Étant donné la complexité entraînée par la présence de deux variables géométriques, on simplifie la représentation en fixant l’une de ces variables et en traçant deux séries de collines de rendement séparées.

Kaplan

Dans un cas, on fixe la positon de l’aubage du rotor, soit φ₀=cte et on régule le débit au moyen de différentes ouvertures du distributeur. Dans l’autre cas, l’ouverture x du distributeur est maintenue constante et on contrôle la variation du débit en modifiant l’angle φ₀ des aubes de la roue

Collines de rendement obtenues en Collines de rendement obtenues en

Kaplan

Kaplan

On note que pour chaque paire Q₁₁-n₁₁, les rendements sont différents. Cependant, pour chaque série il y aura une configuration particulière pour laquelle les rendements sont optimaux. Celle-ci correspond à la colline de rendement de la

turbine Kaplan. ^Q11

Colline de rendement d’une turbine Kaplan

η_s = f Q( ₁₁)

x = f Q( ₁₁) ϕ = f Q( ₁₁)

35

/ [ ]

= W

P CV

H D

11 3 2 2

[ ]

= ND

N RPM

Industrielle

Scientifique

Turbine adéquate pour des faibles chutes et des débits élevés. Les valeurs de n_s sont élevés

n_s

Pelton Francis Kaplan

39

Pou une turbine Kaplan, on connait les variables réduites suivantes:

On doit déterminer le diamètre du rotor, le débit et la vitesse de rotation d’une turbine similaire qui doit opérer sous un chute de H=20 m pour produire une puissance de P=1500kW,

11 nD1/ 2

100,

18.75,

6.25

n Q P

H D H D H

= = = = = =

1 2

11 2 3/ 2 2 3/ 2 2 3/ 2

1 1 2 2 2

6.25 1500

(20)

P P

P = D H = = D H = D D₂ =

2.68

1 1 2 2 2

11 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 2

100 2.68

(20)

= n D = = n D = n ×

n H H

3

2

603.6 ( / )

Q = m s

2

166.87

n = rpm

1 2 2

11 2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2

1 1 2 2

18.75

(2.683) (20)

Q Q Q

Q = D H = = D H =

×

11 =

100,

18.75,

6.25

n Q P

42

Trouver la vitesse de rotation N et le diamètre du rotor D pour une turbine Kaplan dans une installation dont la chute est de H=40m.

La puissance cherchée et de 𝑾𝑾̇ = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑪𝑪𝑪𝑪 . La turbine opère au point nominal à une vitesse spécifique de n_s =400. La colline de rendement de cette turbine est:

/ [ ]

= W

P CV

H D

11 3 2 2

[ ]

= ND

N RPM

123 43

10.5

/ [ ]

= W

P CV

H D

11 3 2 2

[ ]

= ND

N RPM

1/ 2 s 5/ 4

n NW

= H 

1/ 2

n H

N = W 

N = × rpm

400 40 =

17800 300

5 4 1 2

/ /

N ND

H rpm

11

=

D N H

=

N

1 2/

De la colline à η_max H=40m n_s=400

P=17800 CV

N,D

N₁₁=123

D N H

=

N

1 2/

N,D

40

3 2.59 23

00

D 1 × m

= =

11 2 3/ 2

P W

= D H 

2

3/ 2 3/ 2

11

17800 10.5 40 D W

= P H =

×



De la colline à η_max

Alternative II

De la colline à η_max

2.588

D = m

P₁₁=10.5

H=40m n_s=400

P=17800 CV

• Dans une turbine Kaplan de 67700 kW (92234 CV) la chute est H=34m et le débit Q= 225 m³/s. La hauteur du distributeur est B=1.8 m et le diamètre à la sortie de celui-ci est d₀ =6.15 m. Le diamètre du moyeu du rotor est d=2.9 m.

• La vitesse absolue c₀ à la sortie du distributeur est à 45⁰ par rapport à la direction périphérique. Supposez que la composante méridionale (normale) de la vitesse demeure constante dans le rotor (c_1m=c_2m)

• Calculez

 les vitesses c_1uà la racine (R=1.45 m), au milieu (R=2.15 m) et au sommet (R=2.85 m) de l’aube

 la vitesse de rotation si n_s=460 (P[CV], H[m] )

 la vitesses c_1m (moyenne et cte. pour les trois positions)

 l’angle β₁ pour les trois niveaux indiqués

c

^, c

, β

Avant-directrices

Directrices, Distributeur

Roue

d₀

c

^, c

, β

0_u = 0 45 = 0 45 = 0_m

c c cos c sin c

0

0

= π

m

c Q

d B

0_u 0

=

c d c d

0

225 6.2

6.15 1.8

= =

× ×

c m m s

π

d0

d1

P=92234 CV H=34 m ns=460

Rm=1.45 m Rc=2.15 m Rs =2.85 m Q=225 m³/s d0=6.15 m

B=1.8 m

c0m

d₁

d₀

B ^⓿ Vortex libre

❶

c₀ c_0m

c

^, c

, β

0

= 6.2 6.15 × = 38.1 =

c d

cnste

0_u 0

=

c d c d

H=34 m ns=460

Rm=1.45 m Rc=2.15 m Rs =2.85 m Q=225 m³/s d0=6.15 m

B=1.8 m

u u

c d_{0 0} = c d_{1 1}

0

= 38.1 = .

c d

cnste

0

= 38.1 =

c d

cnste

B d0

moyeu: d_1m =2.9 m 0_u 0

=

c d c d

1

38.1 13.14 /

= 2.9 =

c um m s

⓿

❶

centre: d_1c =4.3 m 0_u 0

=

c d c d

1

38.1 8.85 /

= 4.3 =

c uc m s

0

= 38.1 =

c d

cnste

⓿

❶

Sommet d_1s =5.7 m 0_u 0

=

c d c d

1

38.1 6.68 /

= 5.7 =

c us m s

0

= 38.1 =

c d

cnste

⓿

❶

c

c

?, β

?

1 1

1 1

tan =

−

m u

c U c β

5/ 4 1/ 2

ns H

N P

= ×

5/ 4 1/ 2

460 34

124.35 92234

N = × = rpm

/ 60 U =πDN

1_m =

18.9

28

37.1

U m s U m s U m s

P=92234 CV H=34 m ns=460

Rm=1.45 m Rc=2.15 m Rs =2.85 m Q=225 m³/s d0=6.15 m

B=1.8 m s 5/ 4

N P

n H

= ×

1 ? U

1 1

1 1

tan =

−

m u

c U c

β

1 2 2 2

( )

= =

−

m m

s my

c Q c

R R

π

1 2 2

225 11.9 /

(2.85 1.45 )

c m m s

= π =

−

R_s R_m

(c_1m=c_2m)

P=92234 CV H=34 m ns=460

Rm=1.45 m Rc=2.15 m Rs =2.85 m Q=225 m³/s d0=6.15 m

B=1.8 m

c

c

?, β

?

1_m ? c

d_1s d_1m

(c_1m=c_2m)

c₁m =11.9m s/

m c s

U₁ =18.9m s U₁ = 28m s U₁ = 37.1m s

um uc us

c₁ =13.14m s/ c₁ = 8.85m s/ c₁ =6.68 m s/

c

c

, β

?

1 1

1 1

tan =

−

m u

c U c β

1 1

1 1

tan 11.9 1.19

18.9 13.14

= = =

− −

m m

m um

c

U c

β

56 0

1_M 68.2

β =

0 1_S 21.4 β ⁼

1 1

1 1

tan 11.9 0.433

28 8.85

= = =

− −

m c

c uc

c U c

β β_1c = _24.8⁰

1 1

1 1

tan 11.9 0.391

37.1 6.68

= = =

− −

m s

s us

c U c β

m c s

U₁ =18.9m s U₁ = 28m s U₁ = 37.1m s

c =13.14m s/ c = 8.85 m s/ c =6.68 m s/

P=92234 CV H=34 m ns=460

Rm=1.45 m Rc=2.15 m Rs =2.85 m Q=225 m³/s d0=6.15 m

B=1.8 m

c

c

, β

?

c = 11.9m s/

β₁=68.2 u₁=18.9

u₁=28

u₁=37.1 R=1.45 m

R=2.15 m

R=2.85 m β₁=24.8

β₁=21.4

β

Une installation hydroélectrique utilise une turbine Kaplan. Les caractéristiques d’opération sont les suivantes: Puissance produite P_p = 16000 kW, H=20 m, η_g= 0.80 (puissance produite/puissance disponible), η_h= 0.90 (puissance à l’arbre/puissance disponible), D_s=4.2m (sommet de la pale), D_r=2m (racine de la pale), N_s =3 rad (vitesse spécifique scientifique basée sur la P_p).

L’écoulement à la sortie est purement axial c_2u = 0!

D_s

D_r

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷

On doit déterminer

a) la vitesse de rotation en radians et en rpm b) le débit et la puissance à l’arbre

c) la vitesse axiale c_1x = c_2x (moyenne et constante!)

d) les composantes c_1u, w_1u au sommet et au moyeu du rotor

e) les angles et β₁, β₂, à l’entrée et à la sortie au moyeu et au sommet des pales

c_2u = 0! (point d’opération nominal)

1/ 2

1/ 2

3/ 4 1/ 2 5/ 4

( ) ( )

s

N W

gH N W

N gH gH

ρ

ρ

•

•

   

   

     

     

=    = 

 

 

 

1/ 2 5/ 4

1/ 2

( )

s

N N gH

W ρ

•

 

 

=  

1/ 2

5/ 4 3

3 1000 (9.8 20)

16000 10

N  

=  ×  ×

17.4 /

N = rad s

60 17.4

166.15

N 2 rpm

π

= × =

P_p= 16000 kW, H=20 m,

η_g= 0.80 (P_p/P_disp) η_h= 0.90 (P_arbre/P_disp) D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine) N_s =3 rad

N Remarque: ̇𝑾𝑾 = 𝑷𝑷_𝒑𝒑

a) La vitesse de rotation en [rad] et en [rpm]

P_p= 16000 kW, H=20 m,

η_g= 0.80 (P_p/P_disp) η_h= 0.90 (P_arbre/P_disp) D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine) N_s =3 rad

Q, c

produite 0.80

g

disponible

P

η = P = 16000

20000 0.80

produite disponible

g

P P kW

= η = =

disponible

P = ρgQH ^{3 3}

3

20000 10

101.9 / 10 9.8 20

disponible

Q P m s

ρgH

= = × =

× ×

arbre

0.9

h

disponible

P

η = P = P

= η

P

= 0.9 20000 × kW = 18000 kW

b) le débit et la puissance à l’arbre

2 2 2 2

101.9

9.51 / ( ) / 4 (4.2 2 ) / 4

x

s r

c Q m s

D D

π π

= = =

− −

3 1

1 1

18000 10 1000 101.9

arbre u

c P

QU U

ρ

= = ×

× ×

(

)

arbre u u

P =

ρ

ρ

c_2u =0

c

, c

, w

P_p= 16000 kW, H=20 m,

η_g= 0.80 (P_p/P_disp) η_h= 0.90 (P_arbre/P_disp) D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine) N_s =3 rad

D_s

D_m

c_x

m

c) la vitesse axiale c_x (moyenne et constante)

d) les composantes c_1u , w_1u au sommet et au moyeu du rotor

1

1 1

18000 103

1000 101.9

= = ×

× ×

arbre u

c P

QU U

ρ

1_s = × _s

/ 2 17.41 4.2 / 2

36.6 /

U N D m s

3 1

18000 10

4.8 / 1000 101.9 36.6

= × =

× ×

c us m s

Vitesse périphérique au sommet (r_s=D_s/2)

P_p= 16000 kW, H=20 m,

η_g= 0.80 (P_p/P_disp) η_h= 0.90 (P_arbre/P_disp) D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine) N_s =3 rad

c

, w

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷ 1 1 1

36.6 4.8

31.8 /

= − = −

=

us s us

w U c

m s

Au sommet r_s=D_s/2=2.1m

1 1

1

tan(180 ) 9.51

− =

= 31.8

us

c β w

β_1s=163.4⁰

Angle β₁ ^D_D^s_m^=4.2m=2m(racine,moyeu) ^(sommet) N_s =3 rad

101.9 3 /

Q= m s

18000

arbre

P = kW

c

, w

1_s =36.6 / , 1_us = 4.8 / , 1_x =9.51 /

U m s c m s c m s

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷

Angle β₁

Au moyeu r_m=D_m/2=1m

1_m = × 1_m / 2 17.41 2 / 2 17.41 /= × =

U N D m s

3 1

1 1

18000 10 1000 101.9

= = ×

× ×

arbre um

m m

c P

QU U

ρ

1_m 17.41 / U = m s

1_um

= 10.15 /

c m s

D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine,moyeu) N_s =3 rad

101.9 3 /

Q= m s

18000

arbre

P = kW

c

, w

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷

Angle β₁

1 1 1 17.41 10.15

7.26 /

= − = −

=

um m um

w U c

m s

1 1

1

tan(180 ) 9.51

− = ^x = 7.26

um

c β w

β

=127.6

β

D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine,moyeu) N_s =3 rad

101.9 3 /

Q= m s

18000

arbre

P = kW

1_M =17.41 / , 1_um =10.15 / , 1_x =9.51 /

U m s c m s c m s

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷

Angle β₂

Au sommet r_m=D_m/2=2.1m

2_us = 2_s = 1_s = 36.6 /

w U U m s

2 2

2

tan(180 ) 9.51

− = ^x = 36.6

us

c β w

β

=165.5

2_x 1_x 9.51 /

c = c = m s

β

D_s=4.2m(sommet) D_m=2m(racine,moyeu) N_s =3 rad

101.9 3 /

Q= m s

18000

arbre

P = kW

u₁

u₂ c₁

c₂=c_2x w₁

w₂

β₁ α₁

β₂ c_1u

w_1u

c_1x

u

❶

❷

Angle β₂

Au moyeu r_m=1m, U_m=17.41 m/s

2_um = 2_m = 1_m =17.41 /

w U U m s

2_x 1_x 9.51 /

c = c = m s

2 2

2

tan(180 ) 9.51

17.41

− = ^x =

um

c β w

β

= 151.4

D_s=4.2m(sommet) D_r=2m(racine,moyeu) N_s =3 rad

101.9 3 /

Q= m s

18000

arbre

P = kW