Explosion instable de type II pour l'équation des ondes énergie-critique

(1)

Explosion instable de type II pour l'équation des ondes énergie-critique

Jacek Jendrej École Polytechnique, CMLS

Séminaire des doctorantes et des doctorants CMAP/CMLS

Vendredi, 20 novembre 2015

(2)

Plan de l'exposé

1 Introduction

2 État fondamental et explosion de type II

3 Construction et propriétés de solutions explosives

4 Idées des preuves

(3)

Équation des ondes énergie-critique

∂ _tt u ( t , x ) = ∆ _x u ( t , x ) + | u ( t , x )|

^N⁴⁻²

u ( t , x ), ( t , x ) ∈ R × R ^N , ( u ( t ₀ , x ), ∂ _t u ( t ₀ , x )) = ( u ₀ ( x ), u ˙ ₀ ( x )) ∈ H ˙ ¹ × L ² .

Notation : f (u) := | u |

^N⁴⁻²

u, F (u) := R _u

0 f (u ) du = ^N _2N ⁻ ² | u |

^N^2N⁻²

, u 0 := ( u 0 , u ˙ 0 ) , E := ˙ H ¹ ( R ^N ) × L ² ( R ^N ) .

Fonctionnelle de l'énergie associée au problème : E ( u 0 ) =

Z 1

2 |˙ u 0 | ² + 1

2 |∇ u 0 | ² − F ( u 0 ) dx . Soit J :=

0 Id

− Id 0

(structure symplectique de E ). On peut réécrire l'équation de manière suivante :

∂ _t u ( t ) = J ◦ DE ( u ( t )),

u ( t ₀ ) = u ₀ ∈ E. (NLW)

(4)

Commentaires

(Caractère bien posé dans E ) [Ginibre-Soer-Velo, Shatah-Struwe '90]

∀ u 0 ∈ E , ∃! u ∈ C (( T − , T + ); E), T − < t 0 < T + . (système dynamique dans l'espace E ; réversible ; énergie conservée).

(Changement d'échelle) Soit λ > 0. Pour v = ( v , v ˙ ) ∈ E on note v λ ( x ) := λ ⁻

^N⁻²²

v ( x

λ ), λ ⁻

^N²

v ˙ ( x λ )

.

On a k v λ k _E = k v k _E et E ( v λ ) = E ( v ) . De plus, si u ( t ) est solution de (NLW), alors w (t) := u( ^t ⁻ _λ ^t

⁰

) λ aussi (caractère énergie-critique).

(Explosion) Il est possible que lim _t → T

+

k u ( t )k _E = +∞ (explosion de type I). Il se peut aussi que u(t) quitte en temps ni tout compact de E , k u ( t )k _E restant bornée (explosion de type II ou géométrique).

Par la suite on se restreint aux solutions radiales (à symétrie

sphérique).

(5)

État fondamental W

W ( x ) := 1 + | x | ² N ( N − 2 )

−

^N⁻₂²

, W := ( W , 0 ) ∈ E.

La fonction W achève la constante optimale dans l'inégalité de Sobolev critique,

Col de montage pour l'énergie potentielle E ₀ ( u ₀ ) := R ₁

2 |∇ u ₀ | ² − F ( u ₀ ) dx,

L'ensemble des états stationnaires radiaux S := { W λ } , S est un sous-ensemble non-compact de E ,

Tous les éléments de S ont la même énergie,

Les solutions dans la cuvette ont le comportement asymptotiquement linéaire (dicile !),

On s'intéresse aux solutions de (NLW) qui restent proche de S .

(6)

Prol de l'explosion et prol asymptotique

Théorème

Soit u(t) une solution radiale de (NLW) qui explose en t = T + < +∞ et telle que

∀ t , inf

λ> 0 k u ( t ) − W λ k _E ≤ η

(où η > 0 est une petite constante universelle). Alors il existe u ^∗ ₀ ∈ E et λ ∈ C ([ t ₀ , T + ), ( 0 , +∞)) tels que

t → lim T

+

k u ( t ) − W _λ(t) − u ^∗ ₀ k _E = 0 , lim

t → T

+

( T + − t ) ⁻ ¹ λ( t ) = 0 . [Duyckaerts, Kenig et Merle], [Côte, Kenig, Lawrie, Schlag]

Des exemples de telles solutions ont été construits auparavant par [Krieger, Schlag et Tataru, Inventiones'08, Duke'09].

Le théorème donne une forme de stabilité asymptotique orbitale.

On dit que W est le prol (universel) de l'explosion. On appelle u ^∗ ₀

le prol asymptotique.

(7)

Explosion de type II existence

Théorème 1 (J. '15)

Soit N = 5. Soit u ^∗ ₀ = ( u ₀ ^∗ , u ˙ ₀ ^∗ ) régulier et u ₀ ^∗ ( 0 ) > 0. Alors il existe une solution u ( t ) de (NLW) et une fonction continue λ( t ) ∼ t ⁴ telles que

t → lim 0

⁺

k u ( t ) − W λ( t ) − u ^∗ ₀ k _E = 0 . (1) Si on prend u ₀ ^∗ ( x ) := ”| x |

^ν−2³

” et u ˙ ₀ ^∗ ( x ) := 0, la même méthode donne une solution u ( t ) vériant (1) avec λ( t ) ∼ t ^ν+ ¹ ,

On n'obtient aucune information concernant la régularité de u ( t )

autre que u ( t ) ∈ E . En réalité on s'attend à ce que les solutions C ^∞

admettent seulement une suite discrète de vitesses d'explosion

possibles (c'est ce qu'on appelle explosion stable).

(8)

Explosion de type II propriétés

Théorème 2 (J. '15)

Soit N = 5. Soit u ( t ) une solution de (NLW) et λ( t ) une fonction continue vériant

t → lim 0

⁺

Explosion instable de type II pour l'équation des ondes énergie-critique

Explosion instable de type II pour l'équation des ondes énergie-critique

Jacek Jendrej École Polytechnique, CMLS

Séminaire des doctorantes et des doctorants CMAP/CMLS

Vendredi, 20 novembre 2015

Plan de l'exposé

1 Introduction

2 État fondamental et explosion de type II

3 Construction et propriétés de solutions explosives

4 Idées des preuves

Équation des ondes énergie-critique

∂ tt u ( t , x ) = ∆ x u ( t , x ) + | u ( t , x )|

u ( t , x ), ( t , x ) ∈ R × R N , ( u ( t 0 , x ), ∂ t u ( t 0 , x )) = ( u 0 ( x ), u ˙ 0 ( x )) ∈ H ˙ 1 × L 2 .

Notation : f (u) := | u |

u, F (u) := R u

0 f (u ) du = N 2N − 2 | u |

, u 0 := ( u 0 , u ˙ 0 ) , E := ˙ H 1 ( R N ) × L 2 ( R N ) .

Fonctionnelle de l'énergie associée au problème : E ( u 0 ) =

Z 1

2 |˙ u 0 | 2 + 1

2 |∇ u 0 | 2 − F ( u 0 ) dx . Soit J :=

0 Id

− Id 0

(structure symplectique de E ). On peut réécrire l'équation de manière suivante :

∂ t u ( t ) = J ◦ DE ( u ( t )),

u ( t 0 ) = u 0 ∈ E. (NLW)

Commentaires

(Caractère bien posé dans E ) [Ginibre-Soer-Velo, Shatah-Struwe '90]

∀ u 0 ∈ E , ∃! u ∈ C (( T − , T + ); E), T − < t 0 < T + . (système dynamique dans l'espace E ; réversible ; énergie conservée).

(Changement d'échelle) Soit λ > 0. Pour v = ( v , v ˙ ) ∈ E on note v λ ( x ) := λ −

v ( x

λ ), λ −

v ˙ ( x λ )

.

On a k v λ k E = k v k E et E ( v λ ) = E ( v ) . De plus, si u ( t ) est solution de (NLW), alors w (t) := u( t − λ t

) λ aussi (caractère énergie-critique).

(Explosion) Il est possible que lim t → T

k u ( t )k E = +∞ (explosion de type I). Il se peut aussi que u(t) quitte en temps ni tout compact de E , k u ( t )k E restant bornée (explosion de type II ou géométrique).

Par la suite on se restreint aux solutions radiales (à symétrie

sphérique).

État fondamental W

W ( x ) := 1 + | x | 2 N ( N − 2 )

−

, W := ( W , 0 ) ∈ E.

La fonction W achève la constante optimale dans l'inégalité de Sobolev critique,

Col de montage pour l'énergie potentielle E 0 ( u 0 ) := R 1

2 |∇ u 0 | 2 − F ( u 0 ) dx,

L'ensemble des états stationnaires radiaux S := { W λ } , S est un sous-ensemble non-compact de E ,

Tous les éléments de S ont la même énergie,

Les solutions dans la cuvette ont le comportement asymptotiquement linéaire (dicile !),

On s'intéresse aux solutions de (NLW) qui restent proche de S .

Prol de l'explosion et prol asymptotique

Théorème

Soit u(t) une solution radiale de (NLW) qui explose en t = T + < +∞ et telle que

∀ t , inf

λ> 0 k u ( t ) − W λ k E ≤ η

(où η > 0 est une petite constante universelle). Alors il existe u ∗ 0 ∈ E et λ ∈ C ([ t 0 , T + ), ( 0 , +∞)) tels que

t → lim T

k u ( t ) − W λ(t) − u ∗ 0 k E = 0 , lim

t → T

( T + − t ) − 1 λ( t ) = 0 . [Duyckaerts, Kenig et Merle], [Côte, Kenig, Lawrie, Schlag]

Des exemples de telles solutions ont été construits auparavant par [Krieger, Schlag et Tataru, Inventiones'08, Duke'09].

Le théorème donne une forme de stabilité asymptotique orbitale.

On dit que W est le prol (universel) de l'explosion. On appelle u ∗ 0

le prol asymptotique.

Explosion de type II existence

Théorème 1 (J. '15)

Soit N = 5. Soit u ∗ 0 = ( u 0 ∗ , u ˙ 0 ∗ ) régulier et u 0 ∗ ( 0 ) > 0. Alors il existe une solution u ( t ) de (NLW) et une fonction continue λ( t ) ∼ t 4 telles que

t → lim 0

k u ( t ) − W λ( t ) − u ∗ 0 k E = 0 . (1) Si on prend u 0 ∗ ( x ) := ”| x |

” et u ˙ 0 ∗ ( x ) := 0, la même méthode donne une solution u ( t ) vériant (1) avec λ( t ) ∼ t ν+ 1 ,

On n'obtient aucune information concernant la régularité de u ( t )

autre que u ( t ) ∈ E . En réalité on s'attend à ce que les solutions C ∞

admettent seulement une suite discrète de vitesses d'explosion

possibles (c'est ce qu'on appelle explosion stable).

Explosion de type II propriétés

Théorème 2 (J. '15)

Soit N = 5. Soit u ( t ) une solution de (NLW) et λ( t ) une fonction continue vériant

t → lim 0

k u ( t ) − W λ( t ) − u ∗ 0 k E = 0 . (2) Supposons en plus que u ∗ 0 est régulier. Alors

∂ _tt u ( t , x ) = ∆ _x u ( t , x ) + | u ( t , x )|

u ( t , x ), ( t , x ) ∈ R × R ^N , ( u ( t ₀ , x ), ∂ _t u ( t ₀ , x )) = ( u ₀ ( x ), u ˙ ₀ ( x )) ∈ H ˙ ¹ × L ² .

u, F (u) := R _u

0 f (u ) du = ^N _2N ⁻ ² | u |

, u 0 := ( u 0 , u ˙ 0 ) , E := ˙ H ¹ ( R ^N ) × L ² ( R ^N ) .

2 |˙ u 0 | ² + 1

2 |∇ u 0 | ² − F ( u 0 ) dx . Soit J :=

∂ _t u ( t ) = J ◦ DE ( u ( t )),

u ( t ₀ ) = u ₀ ∈ E. (NLW)

(Changement d'échelle) Soit λ > 0. Pour v = ( v , v ˙ ) ∈ E on note v λ ( x ) := λ ⁻

λ ), λ ⁻

On a k v λ k _E = k v k _E et E ( v λ ) = E ( v ) . De plus, si u ( t ) est solution de (NLW), alors w (t) := u( ^t ⁻ _λ ^t

(Explosion) Il est possible que lim _t → T

k u ( t )k _E = +∞ (explosion de type I). Il se peut aussi que u(t) quitte en temps ni tout compact de E , k u ( t )k _E restant bornée (explosion de type II ou géométrique).

W ( x ) := 1 + | x | ² N ( N − 2 )

Col de montage pour l'énergie potentielle E ₀ ( u ₀ ) := R ₁

2 |∇ u ₀ | ² − F ( u ₀ ) dx,

λ> 0 k u ( t ) − W λ k _E ≤ η

(où η > 0 est une petite constante universelle). Alors il existe u ^∗ ₀ ∈ E et λ ∈ C ([ t ₀ , T + ), ( 0 , +∞)) tels que

k u ( t ) − W _λ(t) − u ^∗ ₀ k _E = 0 , lim

( T + − t ) ⁻ ¹ λ( t ) = 0 . [Duyckaerts, Kenig et Merle], [Côte, Kenig, Lawrie, Schlag]

On dit que W est le prol (universel) de l'explosion. On appelle u ^∗ ₀

Soit N = 5. Soit u ^∗ ₀ = ( u ₀ ^∗ , u ˙ ₀ ^∗ ) régulier et u ₀ ^∗ ( 0 ) > 0. Alors il existe une solution u ( t ) de (NLW) et une fonction continue λ( t ) ∼ t ⁴ telles que

k u ( t ) − W λ( t ) − u ^∗ ₀ k _E = 0 . (1) Si on prend u ₀ ^∗ ( x ) := ”| x |

” et u ˙ ₀ ^∗ ( x ) := 0, la même méthode donne une solution u ( t ) vériant (1) avec λ( t ) ∼ t ^ν+ ¹ ,

autre que u ( t ) ∈ E . En réalité on s'attend à ce que les solutions C ^∞

k u ( t ) − W λ( t ) − u ^∗ ₀ k _E = 0 . (2) Supposons en plus que u ^∗ ₀ est régulier. Alors

u ₀ ^∗ ( 0 ) ≥ 0, λ(t) . t ⁴ .

On peut montrer (et c'est bien connu) que 0 ∈ supp ( u ^∗ ₀ ) ,