[b Fonction exponentielle c\
Table des Matières
I. Introduction : définition de la fonction exponentielle 1
II. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 1
III.Notation e pour la fonction exponentielle 2
IV. Étude analytique de la fonction exponentielle 3
IV. A.Variation . . . 3 IV. B.Tableau de variations de la fonction exponentielle et courbe représentative . . . 4
V. forme composée 4
[b Fonction exponentielle c\
I. Introduction : définition de la fonction exponentielle
Proposition : (admise)Il existe une unique fonctionf définie surRtelle quef′=f etf(0)=1.
La fonctionf définie surRqui vérifief′=f etf(0)=1 est appelée fonction exponentielle, on la note exp : exp : R → R
x 7→ exp(x) exp′=exp et exp(0)=1
gDéfinition
∀x∈R:
• exp(x)>0
• exp(−x)= 1 exp(x) gPropriétés
tDémonstration 1
• admis
• Dériver la fonction : f : R → R
x 7→ exp(−x)exp(x) .
En déduire que la fonction f est constante égale à 1.
II. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
∀aetb∈R, exp(a+b)=exp(a)×exp(b) gPropriété
tDémonstration 2
Soit la fonctionhdéfinie surRparh(x)=exp(x+b)
exp(b) (best un nombre réel).
1. Montrer quehest dérivable surRpuis∀x∈R,h′(x)=h(x) eth(0)=1.
2. En déduire la fonctionhet∀x∈R, exp(x+b)=exp(x)exp(b).
∀aetb∈R:
• exp(−a)= 1 exp(a)
• exp(a−b)=exp(a) exp(b)
• exp(2a)=(exp(a))2,
• exp(na)=(exp(a))n,n∈N,
• exp(−na)= 1
exp(na)= 1 (exp(a))n =
µ 1
exp(a)
¶n
=exp(−a)n,n∈N,
• exp(na)=(exp(a))n,n∈Z. gPropriétés
tDémonstration 3
1) déjà faite, 2) et 3) laissée en exercice, les dernières sont admises
III. Notation e pour la fonction exponentielle
exp(n)=exp(1n)=exp(1)n,n∈Z gPropriété
On noteele nombre exp(1).
Avec la calculatrice, on ae≃2,72.
Le nombreeentre dans le corpus mathématique, en 1 748, dans l’œuvre maîtresse de Leonhard Euler (1 707- 1 783 suisse)Introductio in analysin infinitorum.
gDéfinition
La dernière propriété précédente permet de justifier la notation∀x∈R, exp(x)=ex:
• ∀x∈R,ex6=0,
• e0=1
• ∀x∈R, (ex)′=ex
• e−x= 1 ex
• ∀aetb∈R,ea+b=eaeb,
• ∀aetb∈R,ea−b=ea eb,
• ∀x∈R,n∈Z,enx=(ex)n gPropriétés
tExercice 1
Simplifier les expressions suivantes : 1. ex+2e−x+1
2. e3x× ex e2x
3. e2x
¡ex−1¢2
4. e−2x−(ex)2+1 e2x tExercice 2
Montrer que la fonctionf définie surRparf(x)=
µex+e−x 2
¶2
−
µex−e−x 2
¶2
est une fonction constante.
IV. Étude analytique de la fonction exponentielle
IV. A. Variation
La fonction exponentielle est strictement croissante surR. gPropriétés
tDémonstration 4 Laissée en exercice
Les propriétés suivantes se déduisent de la propriété précédente :
• ∀x60,0<ex61,
• ∀x>0,ex>1,
• ∀x∈Ret∀y∈R,
ex=ey⇐⇒x=y
• ∀x∈Ret∀y∈R,
ex<ey⇐⇒x<y gPropriétés
tExercice 3
Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1. ex+2=e2x
2. e−3x<0 3. 3e2x+2>5
tExercice 4
Soit la propositionP :∀x∈R,ex2=e2x. Dire si la propositionP est vraie.
tExercice 5
Montrer que∀x∈R,ex>x+1.
IV. B. Tableau de variations de la fonction exponentielle et courbe représentative x
(ex)′=ex
ex
−∞ +∞
+
00
+∞
+∞
0
1 1
2 3 4 5
−1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
y=ex e
tExercice 6
1. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle en 0.
2. Justifier que la fonction exp est au dessus de toutes ses tangentes.voir figure
V. forme composée
Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. La fonctioneuest définie et dérivable surI et on a :
(eu)′=u′eu.
En particulier siuest définie pour tout réelxparu(x)=ax+bavecaetbnombre réel,
¡eax+b¢′
=aeax+b. gThéorème
tDémonstration 5 Admise
tExercice 7
Étudier les variations des fonctions composées suivantes :
1. f : R → R
x 7→ xe−x 2. g: R → R
t 7→ e−0,5t+1
tExercice 8
Soit la fonctionf définie et dérivables surRparfk(x)=ek xoùkest un nombre réel non nul.
On noteCkla courbe associée àfkdans un repère³ O;−→
i ,−→ j´
orthogonal.
1. Étudier les variations de la fonctionfk. 2. Soient deux réelsketk′tels quek<k′.
Pour tout réelxcomparerfketfk′
3. Justifier queCketC−ksont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées³ O;−→
j´ . 4. Sur le graphique suivant on a reconnaîtreC1
2,C2,C−1
2 etC−1.
1 2 3 4 5 6
−1
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
tExercice 9
Soit le suite (un) définie pour tout entier naturelnparun=enaoùaest un nombre réel.
• Justifier que la suite (un) est géométrique, donner le premier termeu0et la raison de la suite.
• Déterminer les variations de la suite (un).
