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(1)

IPSA | Partiel de transfert thermique du 2 mai 2020 1/8

SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2019-2020 Classe : Aéro-2

Type d’examen : Partiel

Matière : Transfert thermique spé Code matière : En322

Date : 2 mai 2020 Horaire : 9h30 – 11h30 Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal

Documents autorisés : TD et corrigés + Cours : OUI Ordinateur : OUI Internet, téléphone portable : NON

Calculatrices autorisées : OUI (programmable ou non). Examen à domicile.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT : LISEZ ATTENTIVEMENT

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

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Exercice1: /*.0

Exercice2: /*.0

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

Numéro :

Corrigé

(2)

IPSA | Partiel de transfert thermique du 2 mai 2020 2/8 Exercice 1 : Efficacité et rendement d'une ailette cylindrique et rectangulaire

On considère deux ailettes en aluminium de même longueur L à section constante, l’une cylindrique de diamètre d et l’autre rectangulaire de section carré de côté a, de conductivité λAl. Elles sont le siège d'un transfert thermique par convection naturelle entre la surface latérale et l'extrémité. Le milieu extérieur a une température T∞, on note h le coefficient de convection naturelle. La température à la base de l'ailette est T0 > T∞.

✓

Un formulaire est donné à la fin de l’exercice.

✓

Les résultats numériques seront donnés avec 3 chiffres significatifs.

✓

Les formules et les opérations seront posées.

✓

On utilisera le S.I.

1. Compléter les schémas ci-dessus des deux ailettes avec leur support en y reportant toutes les données et en indiquant le sens du flux de chaleur.

2. Déterminer :

a) L’expression mathématique de la température en x = L : T(x=L).

b) La valeur des paramètres m et G de chaque ailette et en déduire la valeur de la température en x=L pour chaque ailette. Conclusion.

c) L'expression du flux de chaleur total échangé Φ et en déduire sa valeur pour chaque ailette.

d) L'expression du flux de chaleur maximal Φmax que peut échanger une ailette sur toute sa surface si elle était à la température uniforme T0 et en déduire sa valeur pour chaque ailette.

e) L'expression du flux de chaleur sans ailette Φsa que peut échanger la surface S de la base de l'ailette si elle était à la température maximale T0 et en déduire sa valeur pour chaque ailette.

f) L'efficacité e de chaque ailette.

g) Le rendement r de chaque ailette.

3. Conclusion.

Données numériques : λ

Al

= 200 W.m

⁻¹

. ◦C

⁻¹

L = 6 cm ; d = 4 mm L = 6 cm ; a = 4 mm T

0

= 200 °C ; T

∞

= 20°C h = 40 W.m

⁻²

. °C

⁻¹

L

T0

T∞

a

h L

T0

T∞

d

h

1,00

(3)

(4)

Réponse : 1. Voir figure.

2. Calcul

a) Température en x = L.

𝑻(𝒙) = (𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝒄𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)] + 𝑮 𝒔𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)]

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮 𝒔𝒉(𝒎𝑳) + 𝑻_∞ 𝑻(𝒙 = 𝑳) = (𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝟏

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮 𝒔𝒉(𝒎𝑳)+ 𝑻_∞ b) Calcul de m :

• Ailette cylindrique : 𝒎^𝟐 = ^𝒉𝒑

𝝀𝑺 = ^{𝒉 𝟐𝝅𝒓}

𝝀𝝅𝒓^𝟐 = ^𝟐𝒉

𝝀𝒓 = ^{𝟐∗𝟒𝟎}

𝟐𝟎𝟎∗𝟐∗𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎 = 𝟏𝟎 √𝟐 ( 𝒎^−𝟏)

• Ailette rectangulaire : 𝒎^𝟐 = ^𝒉𝒑

𝝀𝑺 = ^{𝒉∗ 𝟒𝒂}

𝝀𝒂^𝟐 = ^𝟒𝒉

𝝀𝒂 = ^{𝟒∗𝟒𝟎}

𝟐𝟎𝟎∗𝟒∗𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎 = 𝟏𝟎 √𝟐 ( 𝒎^−𝟏)

Calcul de G :

• Ailette cylindrique : 𝑮 = ^𝒉

𝝀𝒎 = ^𝟒𝟎

𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎 √𝟐 = ^𝟐

𝟏𝟎𝟎 √𝟐 = ^√𝟐

𝟏𝟎𝟎

• Ailette rectangulaire : 𝑮 = ^𝒉

𝝀𝒎 = ^𝟒𝟎

𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎 √𝟐 = ^𝟐

𝟏𝟎𝟎 √𝟐 = ^√𝟐

Température pour l’ailette rectangulaire et cylindrique : 𝟏𝟎𝟎

𝑻(𝒙 = 𝑳) = (𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝟏

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮 𝒔𝒉(𝒎𝑳)+ 𝑻_∞

= (𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) 𝟏

𝒄𝒉(𝟏𝟎√𝟐 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐) + √𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝒔𝒉(𝟏𝟎√𝟐 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐) + 𝟐𝟎

𝑻(𝒙 = 𝑳) = 𝟏𝟒𝟖, 𝟖𝟔 °𝑪 c) Calcul du flux échangé par chaque ailette

𝚽 = 𝝀𝒎𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝒕𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮 𝟏 + 𝑮 𝒕𝒉(𝒎𝑳) Ailette cylindrique :

𝚽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗𝟏𝟎 √𝟐∗ 𝝅 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) 𝒕𝒉(𝟏𝟎 √𝟐∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐) + √𝟐 𝟏𝟎^−𝟐

𝟏 + √𝟐 𝟏𝟎^−𝟐 𝒕𝒉(𝟏𝟎 √𝟐∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐)= 𝟒, 𝟒𝟔 𝑾 Ailette rectangulaire :

𝚽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗𝟏𝟎 √𝟐∗ (𝟒 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) 𝒕𝒉(𝟏𝟎 √𝟐∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐) + √𝟐 𝟏𝟎^−𝟐

𝟏 + √𝟐 𝟏𝟎^−𝟐 𝒕𝒉(𝟏𝟎 √𝟐∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐)=𝟓, 𝟔𝟖 𝑾 d) Calcul du flux maximum

Le flux maximum est obtenu lorsque toute la surface de l’ailette est à T0

Ailette cylindrique : 𝚽𝒎𝒂𝒙 = 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)= 𝒉(𝝅𝒓^𝟐+ 𝟐𝝅𝒓𝑳)(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)

1,00

1,00 1,00

1,00

(5)

𝚽^𝒎𝒂𝒙

𝒄𝒚𝒍 = 𝟒𝟎 [𝝅(𝟐 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐+ 𝟐𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑∗𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐] (𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎)=𝟓, 𝟓𝟐 𝑾 Ailette rectangulaire : 𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)= 𝒉(𝒂^𝟐+ 𝟒𝒂𝑳)(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)

𝚽^𝒎𝒂𝒙

𝒓𝒆𝒄𝒕 = 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)= 𝟒𝟎[(𝟒 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐+ 𝟒 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑∗𝟔 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐] (𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎)=𝟕, 𝟎𝟑 𝑾

e) Calcul du flux sans ailette

Le flux sans ailette correspond au flux évacué par la surface de base de l’ailette (voir figure).

𝚽_𝒔𝒂 = 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝑺 𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝒂𝒊𝒍𝒆𝒕𝒕𝒆 Ailette cylindrique : 𝚽^𝒔𝒂

𝒄𝒚𝒍= 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) = 𝒉 𝝅𝒓^𝟐(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝚽^𝒔𝒂

𝒄𝒚𝒍= 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) = 𝟒𝟎 𝝅(𝟐 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) =𝟗, 𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎^−𝟐 𝑾 Ailette rectangulaire : 𝚽^𝒔𝒂

𝒓𝒆𝒄𝒕= 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) = 𝒉 𝝅𝒂^𝟐(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝚽𝒔𝒂

𝒓𝒆𝒄𝒕= 𝒉𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) = 𝟒𝟎 𝝅(𝟒 ∗ 𝟏𝟎^−𝟑)^𝟐(𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎) =𝟏, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎^−𝟏 𝑾 f) Efficacité de l’ailette

Efficacité de l’ailette cylindrique :

𝑒 =

^Φ

Φ_𝑠𝑎

=

^{𝟒,𝟒𝟔}

𝟗,𝟎𝟓∗𝟏𝟎^−𝟐

= 49,3

Efficacité de l’ailette rectangulaire

𝑒 =

^Φ

Φ_𝑠𝑎

=

^{𝟓,𝟔𝟖}

𝟏,𝟏𝟓∗𝟏𝟎^−𝟏

= 49,4

g) Rendement de l’ailette

Rendement de l’ailette cylindrique

𝑟 =

^Φ

Φ_𝑚𝑎𝑥

=

^{𝟒,𝟒𝟔}

𝟓,𝟓𝟐

= 0,81

Rendement de l’ailette rectangulaire

𝑟 =

^Φ

Φ_𝑚𝑎𝑥

=

^{𝟓,𝟔𝟖}

𝟕,𝟎𝟑

= 0,81

3.Conclusion

On a pratiquement la même efficacité et le même rendement pour les deux types d’ailettes. Il faudra calculer la masse de chaque ailette pour voir laquelle des deux ailettes consomme plus de matière pour sa fabrication.

1,00

(6)

IPSA | Partiel de transfert thermique du 2 mai 2020 6/8 Exercice 2 : Echangeur contre-courant et co-courant

Un échangeur de chaleur à contre-courant isolé est composé de deux cylindres concentriques, le fluide chaud circule dans le cylindre intérieur, le fluide froid circule entre les deux cylindres. Cet échangeur fonctionne dans les conditions suivantes : Tce = 850 °C Tfe = 100 °C

Tcs = 400 °C Tfs = 650 °C

Tce et Tfe représentent les températures à l’entrée du fluide chaud et froid respectivement.

Tcs et Tfs représentent les températures à la sortie du fluide chaud et froid respectivement.

Le flux de chaleur échangé entre les deux fluides est noté Φ.

Φ = 750 kW

A. Etude de l’échangeur à contre-courant

1. Faire un schéma de l’échangeur en y reportant toutes les données.

2. Indiquer le sens du flux de chaleur sur la figure.

3. Déterminer les deux débits thermiques unitaires du fluide chaud et froid qtc et qtf. 4. Lequel des deux fluides a le débit thermique unitaire le plus faible, on l’appellera

qtmin

5. Le fluide qui commande le transfert est le fluide qui subit la plus forte variation de température, quel est le fluide qui subit alors la plus forte variation de température.

6. En déduire le facteur de déséquilibre R.

7. Donner l’allure des températures des fluides chaud et froid sur un même graphique en y reportant toutes les données.

8. Déterminer le flux maximum Φmax que pourrait échanger l’échangeur.

9. Déterminer l'efficacité E de cet échangeur.

10. Déterminer le NUT : le nombre d’unités de transfert.

B. Etude de l’échangeur à co-courant

Dans cette partie, on prend le même échangeur et on le branche en co-courant et on garde les mêmes températures à l’entrée et les mêmes débits thermiques des deux fluides.

1. Faire un schéma de l’échangeur en y reportant toutes les données.

2. Que peut on dire du NUT de cet échangeur branché en co-courant par rapport au contre-courant. Justifiez.

3. Déterminer la nouvelle efficacité de l’échangeur et expliquer pour cette efficacité a-t-elle changé ?

4. Que peut on dire du flux maximum que pourrait échanger cet échangeur. Justifier.

5. Déterminer alors la puissance échangée.

6. Conclusion.

(7)

Réponse :

A. Etude de l’échangeur à contre-courant 1. Schéma

𝚽 = 𝟕𝟓𝟎 𝒌𝑾

2. Flux de chaleur indiqué sur le schéma

3. Détermination des débits thermiques unitaires des fluides chaud et froid qtc et qtf. 𝚽 = 𝒒_𝒕𝒄(𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔) 𝚽 = 𝒒_𝒕𝒇(𝑻_𝒇𝒔− 𝑻_𝒇𝒆)

𝒒𝒕𝒄 = 𝚽

𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔 = 𝟕𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎^𝟑

𝟖𝟓𝟎 − 𝟒𝟎𝟎=𝟏𝟔𝟔𝟕 𝑾/𝑲 𝒒_𝒕𝒇= 𝚽

𝑻_𝒇𝒔− 𝑻_𝒇𝒆 = 𝟕𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎^𝟑

𝟔𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎=𝟏𝟑𝟔𝟒 𝑾/𝑲 4. 𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏=}𝒒_𝒕𝒇

5. Le fluide froid subit la plus forte de variation de température entre l’entrée et la sortie (650-100) = 550°C, car il a le débit thermique le plus faible.

Le fluide chaud subit une différence de température entre l’entrée et la sortie de : (850-400) = 450°C.

6. Facteur de déséquilibre :

𝑹 = 𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏} 𝒒_{𝒕 𝒎𝒂𝒙}=𝒒_𝒕𝒇

𝒒_𝒕𝒄 =𝟏𝟑𝟔𝟒

𝟏𝟔𝟔𝟕= 𝟎, 𝟖𝟏𝟖 7. Allure des températures.

8. Flux maximum

𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏}(𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒇𝒆) = 𝟏𝟑𝟔𝟒 ∗ ( 𝟖𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏, 𝟎𝟐 𝟏𝟎^𝟔 𝑾 = 𝟏, 𝟎𝟐 𝑴𝑾 9. Efficacité de l’échangeur

𝑬 =

^𝚽

𝚽_𝒎𝒂𝒙

=

^𝟕𝟓𝟎

𝟏,𝟎𝟐∗𝟏𝟎^𝟑

= 𝟎, 𝟕𝟑𝟓

10. Calcul du NUT

𝑵𝑼𝑻 =

^𝟏

𝟏−𝐑

𝒍𝒏 (

^{𝟏−𝑬 𝑹}

𝟏−𝑬

) = 𝟐, 𝟐𝟓

Tce= 850°C Tcs= 400°C

Tfe= 100°C Tfs=650°C

Tfs=650°C

Tfe= 100°C Tce= 850°C

Tcs= 400°C T(x)

x

1,00

1,00 1,00

1,00

(8)

IPSA | Partiel de transfert thermique du 2 mai 2020 8/8 B. Etude de l’échangeur à co-courant

1. Schéma de l’échangeur

2. Le NUT caractérise un échangeur donc le NUT est le même dans les deux cas.

3. Calcul de l’efficacité.

𝑬 = 𝟏 − 𝒆

^{−𝑵𝑼𝑻(𝟏+𝑹)}

𝟏 + 𝑹 = 𝟏 − 𝒆

−𝟐,𝟐𝟓(𝟏+𝟎,𝟖𝟏𝟖)

𝟏 + 𝟎, 𝟖𝟏𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟒𝟏

A comparer avec l’efficacité obtenu dans le cas de l’échangeur contre-courant.

4. Le flux maximum que peut échanger cet échangeur est le même qu’il soit branché en contre-courant ou en co-courant. C‘est une caractéristique de l’échangeur et non du mode de branchement.

5. Flux de chaleur échangé :

𝑬 = 𝚽

𝚽

_𝒎𝒂𝒙

⇒ 𝚽 = 𝑬 𝚽

_𝒎𝒂𝒙

= 𝟎, 𝟓𝟒𝟏 ∗ 𝟏, 𝟎𝟐 𝟏𝟎

^𝟔

𝑾 𝚽 = 𝟓𝟓𝟐 𝐤𝐰

Puissance inférieure à la puissance à contre-courant

𝚽 = 𝟕𝟓𝟎 𝐤𝐰

6. Conclusion

Il faut donc brancher l’échangeur en contre-courant pour un meilleur échange de chaleur, c’est-à-dire pour avoir un flux de chaleur échangé plus important.

Tce= 850°C Tcs= 400°C

Tfe= 100°C Tfs=650°C

1,00