I Théorème de séparation de Novikov

Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique

Examen de théorie descriptive des ensembles

Durée : 3h

L’examen consiste en un problème formé de plusieurs parties non indépendantes. On pourra bien sûr admettre les résultats d’une partie afin d’en traiter une autre.

I Théorème de séparation de Novikov

Soit X un espace polonais. On se propose de démontrer par l’absurde le théorème de séparation de Novikov qui s’énonce ainsi.

Pour toute famille dénombrable (A_n)n∈N de sous-ensembles analytiques de X telle que T

n∈NA_n =∅, il existe une famille dénombrable (B_n)n∈N de boréliens de X telle que pour tout n∈N on ait An⊆Bn et T

n∈NBn =∅.

1. Montrer que si (A₁, ..., A_n)est une famille finie de sous-ensembles analytiques de X telle queTn

i=1A_i =∅, alors il existe des boréliens B₁, ..., B_n⊆X tels que pour tout i∈ {1, ..., n}, on aitA_i ⊆B_i etTn

i=1B_i =∅.

2. Soit(A_n)n∈N une famille dénombrable de sous-ensembles analytiques deX telle que T

n∈NA_n = ∅. On suppose qu’il n’existe pas de famille dénombrable (B_n)_n∈N de boréliens de X telle que pour tout n ∈N, on aitA_n ⊆B_n et T

n∈NB_n=∅.

Soit pour chaque n ∈Nune fonction continue f_n :N^N→X telle queA_n=f_n(N^N).

Pour s∈N^<N et n∈N, pose alorsA^s_n =f_n(N_s).

a) Une suite (s_n)_n∈N d’éléments de N^<N est mauvaise si on ne peut trouver une famille dénombrable de boréliens (B_n) d’intersection vide avec A^s_nⁿ ⊆ B_n pour toutn ∈N. Montrer que si (s_n)n∈N est mauvaise, alors pour toutk ∈N, il existe m∈N tel que la suite(s⁰_n)définie par

s⁰_n =

sn si n6=k s_nam si n=k soit mauvaise.

b) Construire une suite (x_n) d’éléments deN^N telle que pour tout n∈N, la suite (x_0n, ..., x_nn,∅,∅, ...)

soit mauvaise.

c) Pour tout i∈ N, on pose p_i =f_i(x_i). Montrer qu’il existe i6= j tel que p_i 6=p_j, et aboutir à une contradiction.

II Projection et uniformisation des boréliens à sections compactes

Soient X et Y deux espaces polonais. On note π_X la projection X×Y →X.

Paris 7 1 M2 Logique

Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique Étant donné deux ensembles A ⊆ P(X)et B ⊆ P(Y)on notera

A ⊗ B:={A×B :A∈ A et B ∈ B}

l’ensemble des produits d’éléments deA par des éléments deB. Étant donné un ensemble Z et C ⊆ P(Z), on note

• C_s l’ensemble des réunions finies d’éléments de C,

• Cσ l’ensemble des réunions dénombrables d’éléments deC

• C_d l’ensemble des intersections finies d’éléments deC,

• C_δ l’ensemble des intersections dénombrables d’éléments de C.

La sections verticale d’un ensemble A⊆X×Y au dessus de x∈X est l’ensemble A_x:={y∈Y : (x, y)∈A}.

1. Rappeler pourquoiY admet une base dénombrable d’ouverts. On fixe une telle base (U_n)n∈N.

2. Dans cette sous-partie, on suppose de plus Y compact. SoitB ⊆X×Y un borélien à sections verticales compactes (ou, de manière équivalente car Y est compact, fermées).

a) Montrer que le complémentaire de B s’écrit comme (X×Y)\B = [

n∈N

(C_n×U_n)

où chaqueCn est coanalytique.

b) En utilisant le théorème de séparation de Novikov (cf. partie I), montrer que l’on peut trouver des boréliens B_n⊆C_n×U_n tels que

(X×Y)\B = [

n∈N

B_n.

En déduire que l’on peut trouver des ensembles analytiquesA_n tels que (X×Y)\B = [

n∈N

(A_n×U_n).

c) Conclure que B s’écrit comme intersection dénombrable décroissante d’éléments de

Π¹₁(X)⊗F(Y)

s.

d) Montrer que si (Kn) est une suite décroissante de parties de X ×Y à sections verticales compactes, alors

π_X \

n∈N

K_n

!

= \

n∈N

π_X(K_n).

e) Conclure que π_X(B)est borélien.

3. Montrer plus généralement que si Y est polonais et B ⊆ X×Y est un borélien à sections compactes, alors πX(B) est borélien. (on pourra tout d’abord plonger Y dans un compact polonais Y˜).

Paris 7 2 M2 Logique

Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique 4. On suppose de nouveauY compact.

a) Montrer que si B ⊆ X ×Y est un borélien à sections verticales compactes, alors l’application X → F(Y) qui à x ∈ X associe la section verticale B_x est borélienne. On pourra d’abord établir le fait que tout ouvert de Y est réunion dénombrable de compacts.

b) Conclure queB admet uneuniformisation borélienne, c’est-à-dire queπ_X(B) est borélien et qu’il existe une application boréliennef :πX(B)→Y telle que

{(x, f(x)) :x∈π_X(B)} ⊆B.

5. On suppose désormaisY seulement polonais. Montrer que siB ⊆X×Y est un bo- rélien à sections verticales compactes, alors B admet une uniformisation borélienne.

6. Donner un contre-exemple dans le cas où les sections sont seulement supposées fermées. Quelle(s) partie(s) de la preuve cesse(nt) de fonctionner ?

III Un autre espace de groupes dénombrables

On considère, au sein de l’espace de Baire N^N, le groupe S_∞ des bijections N→N muni de la topologie induite.

1. Montrer queS∞est un groupe topologique, c’est-à-dire que(g, g⁰)7→gg⁰etg 7→g⁻¹ sont continues.

2. Montrer queS∞ est un sous-espace polonais de N^N.

3. On définit SG(S∞) comme l’espace des sous-groupes fermés de S∞. Montrer que SG(S∞) est un borélien de F(S∞). On pourra utiliser le théorème de sélection.

4. Soit G un sous groupe de S∞ tels que pour tout g ∈ G\ {id_N}, on ait g(0) 6= 0.

Montrer que G est un sous-groupe fermé dénombrable deS∞.

5. On noteSG_d(S∞)l’espace des sous-groupes deS∞tels que pour toutg ∈G\{id_N}, on ait g(0)6= 0. Montrer queSG_d(S_∞)est un borélien de F(S_∞).

6. Montrer que tout groupe dénombrable est isomorphe à un élément de SGd(S∞).

7. On rappelle qu’on noteGl’espace des groupes marqués, c’est-à-dire des sous-groupes distingués deFω. Montrer qu’il existe des applications boréliennesF₁ :G →SG_d(S∞) et F₂ :SG_d(S∞)→ G telles que pour tout N ∈ G, le groupeF(G)est isomorphe à F^ω/N et pour tout G∈SGd(S∞), le groupe F^ω/F2(G)est isomorphe à G.

8. En déduire que le fait qu’une propriété de groupe dénombrable définit un borélien de SG_d(S_∞)ssi elle définit un borélien de G.

9. Montrer que(G, H)∈SGd(S∞)² 7→G∩H ∈SGd(S∞) est borélienne.

10. Montrer que le sous ensembleSG_{d,f g}(S∞)formé des groupes de type fini est borélien.

11. Montrer que pour tout k ∈ N, l’application qui à G ∈ SG_{d,f g}(S∞) associe l’inter- section de tous ses sous-groupes d’indice au plusk est borélienne. On pourra utiliser la question 5 de la partie II.

12. Montrer que l’application qui à G∈SG_d(S∞) associe [G, G] est borélienne.

13. Expliquer comment on pourrait utiliser les deux questions précédentes pour prouver le théorème de Wesolek-Williams (les groupes élémentairement moyennables forment un ensemble non borélien) dans le cadre de SG_d(S∞).

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