CORPS FINIS ALEXANDRA BRUASSE-BAC ESIL

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CORPS FINIS

ALEXANDRA BRUASSE-BAC ESIL

Table des mati`eres

1. Un exemple pour se poser des questions 1

2. Description des corps finis 2

2.1. Structure multiplicative deF 3

2.2. Quelques propri´et´es 5

2.3. Polynˆomes minimaux 6

2.4. Les corps aq=pⁿ´el´ements 8

2.5. Un exemple un peu plus complet de construction 9

Index 11

Bibliographie 12

Annexe A. Les fonctions d’Euler et de M¨obius 13

A.1. La fonction d’Euler 13

Voir ´egalement les chapitres sur la primalit´e, la factorisation et le calcul du logarithme discret.

En cas de probl`eme, voici laliste des notations utilis´ees.

1. Un exemple pour se poser des questions

Commen¸cons ce chapitre par un exemple simple qui permettra de faire apparaˆıtre les questions centrales relatives aux corps finis.

On se place dans F2[X], l’ensemble des polynômes a coefficients binaires et on considère le polynôme suivant :

P(X) =X³+X+ 1

Ce polynˆome est irr´eductible surF2 car il n’admet pas de racine, en effet :P(0) = P(1) = 1.

CommeP est irréductible, le quotientF2[X]/(P) est un corps dont les éléments sont les polynômes de degré au plus 2 surF2 (il y en a donc 2³ = 8 puisqu’il y a deux choix pour chaque coefficient). La liste des éléments de F2[X]/(P) est :

a0 : 0 a₁ : 1 a₂ : X a₃ : 1 +X a₄ : X² a₅ : 1 +X² a6 : X+X² a7 : 1 +X+X²

Date: Ann´ee 2003-2004.

1

(2)

Notons que dans ce corps, on a : P(a2) = (a2)³+ (a2) + 1

=X³+X+ 1

= 0 puisque l’on calcule moduloP

Ainsi, dans F2[X]/(P), le polynôme P admet a2 pour racine (alors qu’il était irréductible dansF2).

Posons α = a₂ et calculons les puissances successives de α (rappelons que la multiplication dansF2[X]/(P) se fait moduloP) :

α¹ : X =a2

α² : X²=a4

α³ : X+ 1 =a3

α⁴ : X²+X =a6

α⁵ : X²+X+ 1 =a7

α⁶ : X²+ 1 =a₅ α⁷ : 1 =a₁=α⁰

Ainsi tous les éléments deF−{0}(qui est un groupe multiplicatif) sont des multiples deα. Par conséquent,αengendre le groupe des éléments non nuls deF.

Cette double présentation des éléments deF est très pratique :

– calculer une somme d’éléments est très simple dans la représentationa0, . . . , a7. Par exemple, on obtient directement quea3+a7=a4. En revanche, calculer le produita3·a7 n’est pas très commode (il faut multiplier ces deux polynômes puis les diviser par P ...)

– par contre, si l’on utilise quea3=α³et a7=α⁵, on obtient directement : a3·a7=α⁵⁺³=α⁷⁺¹=α·α⁷=α

En fait, on aαⁱ·α^j =αî+j où i+j est calculé modulo 7.

On appelle description additive la représentation de F2[X]/(P) sous la forme a₀, . . . , a₇etdescription logarithmiquesa représentation sous la forme 0, α⁰, . . . , α⁶. Dans les parties suivantes, nous allons maintenant tenter de répondre aux questions suivantes :

– Pour quels entiersnexiste-t-il des corps finis de cardinaln?

– Peut-on toujours donner de ces corps une description additive, une description multiplicative ?

– S’il existe plusieurs corps finis de cardinal n, y a-t-il des liens entre eux ? – Comment construire ces corps et calculer avec ?

2. Description des corps finis

L’objet de cette section est de décrire l’ensemble des corps finis “existant dans la nature” et de préciser comment il est possible de les construire et quelles sont leurs propriétés de base.

Notations.

Dans toute la suite, ´etant donn´e un entier p∈N^∗, nous noteronsZp le groupe Z/pZqui est un corps si et seulement si pest premier.

Th´eor`eme 2.1(Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

D´emonstration. Admis (voir [Perrin]).

(3)

Th´eor`eme 2.2. SoitF un corps fini. Il existe un plus petit entierptel que¹p.1 = 0.

De plus,pest un nombre premier et Z^p est un sous-corps deF.

Démonstration. Comme F est fini, les éléments 1, 2.1, 3.1 ... ne sont pas tous distincts, donc il existe deux entiers n et m tels que n.1 = m.1 avec n < m. Par conséquent, par simplification, (m−n).1 = 0. Soit ple plus petit entier non nul tel que p.1 = 0. L’ensemble K = {0,1,2.1, . . . ,(p−1).1} est un sous-corps de F

`

a p-´el´ements et K 'Fp = Z/pZ. Donc p est premier et Fp est un sous-corps de

F.

Définition 2.3. L’entierpest appelécaractéristique deFet le sous-corps engendré par 1 (qui est isomorphe àFp) est lesous-corps premier deF.

On dira d’un telFp(avecppremier) que c’est uncorps premierde caract´eristique p(par convention,Qest un corps premier de caract´eristique 0).

CommeFpest un sous-corps deF,F peut être vu comme unFp-espace vectoriel et on a donc le théorème suivant :

Théorème 2.4. Soit F un corps fini de caractéristique p, F est un Fp espace vectoriel de dimension finie (disons n) et par conséquent,

#(F) =pⁿ (o`u #(F)d´esigne le cardinal de F).

Démonstration. F est un Fp-espace vectoriel et, par hypothèse, F est fini. Par conséquent, la dimension de F en tant queFp-espace vectoriel est forcement finie

(disonsn). D’o`u #(F) = (#(Fp))ⁿ=pⁿ.

Donc un corps fini a forcementpⁿéléments où pest un nombre premier.

D’une manière générale, siF est un corps fini et queK est un sous-corps de F, on peut toujours voirF comme unK-espace vectoriel (de dimension finie) : Définition 2.5. SoitF un corps fini et soit K un sous-corps deF. La dimension deF surK en tant qu’espace vectoriel sera appeléedegré de F surK et est notée [F:K].

On notera que, par exemple,Cest une extension de degr´e 2 surR(puisque l’on obtient Cen ajoutanti`aR; une base deCsurRest donc{1, i}).

On a alors la proposition suivante (qui pourra parfois ˆetre bien utile) :

Proposition 2.6. SoitF un corps fini, et soient H ⊆K⊆F deux sous-corps de F, on a :

[F :H] = [F :K]·[K:H] La preuve de ce r´esultat est laiss´ee en exercice.

2.1. Structure multiplicative de F.

Dans toute la suite, étant donnéF un corps fini, on noteraF^∗ =F− {0}, F^∗ est un groupe multiplicatif que nous allons étudier un peu plus dans cette partie.

Dans toute la suite,F d´esignera un corps fini de caract´eristiquepet de cardinal pⁿ (ie. de dimensionnsurFp).

Théorème 2.7. Pour tout a∈F^∗, il existe un plus petit entier e tel que aê= 1, de plus e|pⁿ−1.

1Parp.1, on entend

1 +· · ·+ 1

| {z }

pfois

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Démonstration. Comme F^∗ est fini, les puissances de a ne peuvent être toutes distinctes, donc il existe deux entiers n < mtels que aⁿ=a^m. Par conséquent, en multipliant cette égalité par (a⁻¹)ⁿ, on obtient 1 =a^m−n. Puis, il existe un plus petit entier etel queaê = 1. Cet entiere est l’ordre deadans le groupe (F^∗,×), par conséquent, e|pⁿ−1 (qui est l’ordre deF^∗).

Définition 2.8. Le nombreeprécédent est appeléordre dea.

Soit aun élément d’ordre edeF, aest solution de l’équation Xê−1 = 0. Par ailleurs, il en est de même de toutes les puissances 1 = a⁰, a, a², . . . , aê−1 dea et (par minimalité dee), ces puissances sont toutes distinctes les unes des autres. Par conséquent, on a la factorisation suivante :

X^e−1 = (X−1)(X−a)· · ·(X−a^e−1).

Ainsi,il n’y a pas d’autre éléments que les puissances deaqui puissent être d’ordre e.Par contre,toutes ces puissances ne sont pas d’ordree, parmi elles, certaines sont d’ordre strictement inférieur à e:

Théorème 2.9. Soit a un élément de F d’ordre e. Pour tout entier 1 ≤ i ≤ e, l’ordre de aⁱ est égal àppcm(i, e)/i.

Démonstration. Commeeest l’ordre de a, par définition, siuest un entier tel que aû= 1 etu6= 0, par minimalité dee, on a nécessairementu≥e.

On effectue la division euclidienne de upare: u=q·e+r avec 0≤r < e

On a donc aû = (aê)^q ·a^r = a^r car aê = 1, puis a^r = 1 d’où l’on déduit, par minimalité dee, quer= 0. Donc aû= 1 si et seulement sie|u.

Soit alors i un entier, 1≤i≤e, et soit ul’ordre de aⁱ, on a (aⁱ)û =aî·u = 1, donc, d’après ce qui précède,e|i·u. Donc :

e|i·u et i|i·u

puis, par minimalit´e deu, ppcm(i, e) =u·i.

Ainsi, si l’on suppose quee|pⁿ−1 est l’ordre d’un élémenta∈F, il y a autant d’éléments d’ordreeque :

#{i≤e; (ppcm(i, e)/i) =e}= #{i≤e; ppcm(i, e) =i·e}

= #{i≤e; pgcd(i, e) = 1}

=ϕ(e) Ainsi,

F = [

e|pⁿ−1

il existe un ´el´ement d’ordree

U_e

oùUe est l’ensemble des éléments d’ordreedeF, puis :

pⁿ−1 = X

e|pⁿ−1

il existe un ´el´ement d’ordree

ϕ(e)

Or, d’après le théorèmeA.5relatif a la fonction d’Euler : pⁿ−1 = X

e|pⁿ−1

ϕ(e)

Par conséquent, pour tout e |pⁿ−1, il existe nécessairement un élément a ∈F^∗ d’ordre e.

En particulier, il existe donc un élément d’ordrepⁿ−1, d’où le théorème suivant : Théorème 2.10. Tout corps fini est cyclique.

(5)

Définition 2.11. Un générateur du groupe multiplicatifF^∗ est appelé unélément primitif de F.

Dans l’exemple que nous avons donné au début de ce chapitre, nous avons vu que l’élément αétait générateur deF^∗, c’était donc un élément primitif deF. Notation. Dans toute la suite de ce chapitre, nous noterons q=pⁿ.

Corollaire 2.12. Tout élémentβ deF vérifie : β^q =β Démonstration.

– Si β= 0 alors le r´esultat est imm´ediat.

– Sinon, on aβ ∈F^∗et d’après ce qui précède, l’ordre deβ diviseq−1 (l’ordre deF^∗). Par conséquent,β^q−1= 1, puisβ^q =β.

Ce résultat implique que le polynômeX^q−X se décompose entièrement dansF et que sesqracines sont exactement lesqéléments deF. En particulier, les racines de ce polynôme sont distinctes. En appliquant ce résultat au sous-corps premier, on obtient :

Corollaire 2.13. Les élémentsxdeF tels quex^p=xsont exactement les éléments deFp.

Une autre fa¸con d’exprimer queF^∗ est cyclique est :

Corollaire 2.14. Dans tout corps fini, il existe un ´el´ement primitif

Ce qui répond à l’une de nos questions de la section 1 : dans tout corps fini, on peut adopter une notation logarithmique pour les éléments non nuls.

2.2. Quelques propri´et´es.

Comme nous l’avons vu précédemment, tous les éléments d’un corps F à q

´

eléments sont racine deX^q−X. Par ailleurs, d’après l’exemple initial, étant donné K un corps etP ∈K[X] irréductible, si l’on passe à un corps plus grandF ⊇K contenantK, le polynômeP peut admettre des racines dansK. Dans cette partie, nous allons donc étudier brièvement les polynômes et leurs racines.

Théorème 2.15. Dans tout corps finiF ayantq=pⁿéléments (ppremier), pour toutx, y∈F, on a :

(x+y)^p=x^p+y^p

D´emonstration. CommeF est de caract´eristique p, dansF, on ap= 0.

La formule du binˆome de Newton donne :

(1) (x+y)^p=

p

X

k=0

C^k_px^ky^p−k

Montrons que pour tout 1≤k≤p−1 on ap|C^k_p. On a : C^k_p= p·(p−1)· · ·(p−k+ 1)

k!

Montrons tout d’abord que pgcd(k!, p) = 1. Comme pest premier, pgcd(k!, p) = 1 ou p. Si pgcd(k!, p) = p, comme pest premier, d’après Gauss, il faudrait que p divise l’un des facteurs dek! ce qui est impossible puisqu’ils sont tous strictement inférieurs à p. Donc pgcd(k!, p) = 1. Or, comme C^k_p est entier, on a k! | p·(p−

(6)

1)· · ·(p−k+ 1) et comme k! et p sont premiers entre eux, d’apr`es Gauss : k! | (p−1)· · ·(p−k+ 1), puis

C^k_p =p(p−1)· · ·(p−k+ 1) k!

| {z }

entier

donc pour 1≤k≤p−1, on ap|C^k_p, puis C^k_p = 0 dansF.

Ainsi, dans la somme (1), seuls le premier et le dernier termes sont non nuls, c’est-`a-dire :

(x+y)^p=x^p+y^p

Corollaire 2.16. Pour tout x, y∈F et pour toutt∈N, on a :

(x+y)^p^t =x^p^t+y^p^y

Corollaire 2.17. Pour tout P∈Fp[X] et pour toutx∈F, on a : (P(x))^p^t =P

x^p^t

Démonstration. Ceci est une conséquence directe du corollaire précédent et du fait que tous les éléments a∈Fp (ie. les coefficients deP) vérifient :a^p=a.

On en d´eduit donc le corollaire suivant :

Corollaire 2.18. Si α est une racine de P ∈ Fp[X], alors α^p, α^p², . . . , α^pⁿ sont aussi des racines deP.

En fait, il se trouve que si P est irr´eductible, ces racines (que l’on appelle les conjugu´es deαsont distinctes).

2.3. Polynˆomes minimaux.

Etant donné un élémentβ ∈F (F est un corps fini a q=pⁿ éléments), on sait queβ est racine du polynôme à coefficients dansFp :

X^q−X

Maisβ est-il racine d’un polynôme de degré plus petit ?En décomposantX^q−X en produit de facteurs irréductibles, on peut répondre à cette question :βest forcément racine de l’un de ces facteurs irréductibles.

Définition 2.19. On appellepolynôme minimal deβ (notéµ_β) le polynôme unitaire de plus petit degré ayant β comme racine.

Cette d´efinition a bien un sens car :

– d’après ce qui précède, un tel polynôme existe – la division euclidienne montre qu’il est unique

Dans l’exemple donné à la section 1, le polynôme minimal de α = a2 est précisementP, en effet, c’est un polynôme unitaire irréductible dansF2[X] dontα est racine dans F.

Par division euclidienne, on obtient aisément le théorème suivant :

Théorème 2.20. Dans tout corps finiF aq=pⁿ éléments, le polynôme minimal deα∈F est irréductible et diviseX^q−X. Le polynôme minimal deαest générateur de l’idéal des polynômes dansFp qui s’annulent enα.

Compte tenu de ce qui précède, on en déduit le théorème suivant :

(7)

Théorème 2.21. Dans tout corps fini ayant q = pⁿ éléments (p premier), le polynôme minimal d’un élément est irréductible et divise X^q −X. Le polynôme minimal deαest générateur de l’idéal des polynômes dansF^p[X]qui s’annulent en α.

Notation. Dans toute la suite, étant donnéFun corps fini,Kson sous-corps premier et α∈ F, on désignera parK(α) le plus petit sous-corps deF contenantK et α (nous l’appelleronscorps engendré parαsurK). Ses éléments sont des combinaisons linéaires (à coefficients dansKdes puissances (αⁱ)_i∈Ndeα).

Précisons quelques propriétés du polynôme minimal :

Proposition 2.22. SoitF un corps fini àpⁿ éléments (avecppremier), soitK= Fp le sous-corps premier deF etαun élément de F, alors :

(i) sid^o(µα) =dalors[K(α) :K] =d, (ii) sid^o(µ_α) =dalorsd|n,

(iii) sid^o(µα) =dalorsαest racine deX^p^d−X, (iv) K(α)'K[X]/(µα).

Démonstration. Prouvons tout d’abord le point (i). Par définition, K(α) est en- gendré par les puissances successives deα. Nous allons donc montrer que 1, α, α², . . . , α^d sont liés et que 1, α, α², . . . , α^d−1 sont libres. Pour cela, supposons tout d’abord que λ0+λ1α1+· · ·+λdαd = 0. Soit alors P le polynôme de K[X] défini par : P(X) =λ0+λ1X+· · ·+λdX^d. Par hypothèse,αest une racine deP, d’oùµα|P, c’est-à-dire (compte-tenu des degrés) P =λd·µα. Orµα6= 0, puis 1, α, α², . . . , α^d sont liés.

De même, supposons queλ0+λ1α1+· · ·+λ_d−1α_d−1= 0. Soit alorsQle polynôme défini parQ(X) =λ0+λ1X+· · ·+λd−1X^d−1. Commeαest une racine de Q, on obtient, comme précédemment, queµα|Q, puis² queQ= 0, ainsi 1, α, α², . . . , α^d−1 sont libres. C’est donc une base deK(α), puis dim(K(α)) =d(ie. [K(α) :K] =d).

Montrons maintenant (ii). D’apr`es (i), on a [K(α) :K] =d. Par ailleurs, comme K⊆K(α)⊆F, d’apr`es2.6, on a

[F :K] = [F :K(α)]·[K(α) :K]

Doncd= [K(α) :K]|n.

Prouvons ensuite le point (iii). Comme [K(α) :K] =d, on a #K(α) = p^d. Or α∈K(α), donc l’ordre deαdivise l’ordre deK(α)^∗=p^d−1. Ainsi, on aα^p^d⁻¹= 1, c’est-`a-direα^p^d=α. Doncαest racine deX^p^d−X.

Enfin prouvons le point (iv). Consid´erons le morphisme d’espaces vectoriels d´efini par :

ϕ : K[X] → K(α) P 7→ P(α)

Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des polynˆomes ayant α pour racine.

Or, on a vu que cet ensemble est précisément µα.(K[X]), c’est-à-dire, la classe d’équivalence deµα pour la relation de quotient. Par conséquent, ϕengendre une

bijection entreK[X]/(µα) etK(α).

On obtient alors le th´eor`eme suivant :

Théorème 2.23. Dans tout corpsF ayantq=pⁿ éléments, le polynôme minimal d’un élément primitif est de degrén.

Attention: la r´eciproque est fausse ... (voir paragraphe2.5).

2Pour une question de degrés, car dô(µα) =det dô(Q)< d.

(8)

Démonstration. Soitαun élément primitif deF, on a vu que si dô(µ_α) =d alors [K(α) :K] =d. Siαest primitif, on aK(α) =F, or [F :K] =n, d’oùn=d.

Compte-tenu des résultats précédents, on obtient que l’ensemble des polynômes minimaux des éléments du corpsF est constitué de tous les facteurs irréductibles deX^q−X.

Nous sommes maintenant en mesure de montrer qu’il y a une structure de corps

`

a q´el´ements pour toutq=pⁿ avecppremier.

2.4. Les corps a q=pⁿ ´el´ements.

Dans toute la suite,F désignera un corps àq=pⁿéléments, etK=Fpdésignera son sous-corps premier Nous commen¸cerons par la proposition suivante :

Proposition 2.24. Soientαetβ deux racines (dansF) d’un polynˆomeP ∈K[X]

irr´eductible surK. AlorsK(α)etK(β)sont isomorphes par le morphisme envoyant αsur β.

Démonstration. Soitd= dô(P) et soitϕ : K(α)→K(β) le morphisme envoyant α sur β. D’après la proposition 2.22, les éléments de K(α) sont exactement les γ = Q(α) où Q ∈ K[X] est un polynôme tel que dô(Q) < dô(P). On a alors ϕ(γ) =Q(β). Siϕ(γ) =Q(β) = 0, par définition du polynôme minimal, on aP |Q, puis comme dô(Q)<dô(P), on obtient queQ= 0. Ainsi,ϕest bien injective. Par ailleurs, comme dim(K(α)) = dim(K(β)) = dô(P),ϕest bijective.

Théorème 2.25. Tous les corps ayantq=pⁿ éléments sont isomorphes.

Démonstration. Le polynômeX^q−X de Fp[X] se décompose de manière unique surFp en un produit de facteurs irréductibles.

Soient F et G deux corps ayant q = pⁿ éléments. Soit α un élément primitif de F et soit µα sont polynôme minimal (c’est un polynôme irréductible). µα est un facteur irréductible deX^q−X; orX^q−X est scindé surG(tous les éléments de Gsont racine de X^q−X). Par conséquent, il existe un élément β ∈G tel que µα(β) = 0, puis, comme µα est irréductible, on en déduit que µα est également le polynôme minimal de β. Donc Fp(β) est un Fp-espace vectoriel de dimension n= dô(µα) inclus dansG. Puis, pour une question de cardinalité, Fp(β) =G. En appliquant alors la proposition précédente (2.24), on en déduit que F et G sont

isomorphes.

Nous avons donc montré que s’il existe des corps àq=pⁿéléments, ils sont tous isomorphes. Reste à savoir s’il en existe réellement ...

Théorème 2.26. Pour tout entier q=pⁿ où p est un nombre premier, il existe un corps ayant qéléments.

Il existe plusieurs démonstrations de ce résultat (dont l’une consiste à dénombrer les polynômes de degré n sur un corps K qui sont irréductibles - de manière à s’assurer qu’il en existe toujours). La méthode que nous utiliserons ici est différente.

L’idée est que si l’on considère l’ensembleF des zéros deX^q−X surFp, alors (cela a déjà été en partie démontré) :

les z´eros de X^q −X forment un corps et ces z´eros sont tous distincts - il y en a donc exactementq.

Proposition 2.27. Soit q=pⁿ un entier tel que psoit premier (on notera K = Fp). SoitP ∈K[X] un polynôme irréductible surK tel queP |X^q−X (son degré divisen). Alors :

(i) il existe un corpsF ⊇K engendré par une racine deP, (ii) tous les éléments de ce corps sont racines de X^q−X.

(9)

Démonstration. CommePest un polynôme irréductible, le quotientF =K[X]/(P) est un corps. Nous allons montrer que la classe du polynômeX (notée [X]) dans ce quotient engendre toutF. Tout d’abord, supposons queP =a0+a1X+· · ·anXⁿ. On a :

P([X]) =a0+a1[X] +· · ·an[X]ⁿ

= [a0+a1X+· · ·anXⁿ]

= [P] = [0] (calcul moduloP)

Ainsi, [X] est bien une racine de P dans F. Puis, comme P est irréductible, c’est le polynôme minimal de [X], puis, d’après les théorème 2.22, [X] engendreF (ie.

F =K[X]/(P) =K([X])).

Comme [X] est racine de P et que P | X^q −X, [X] est également racine de X^q−X. Montrons qu’il en est de même pour tous les éléments deF. SoitQ∈K[X]

un polynôme tel quem= dô(Q)<dô(P) et Q=b₀+b₁X+· · ·+b_mX^m. On a :

[Q]^q = ([b0+b1X+· · ·+bmX^m])^q

= (b₀+b₁[X] +· · ·+b_m[X]^m)^q

= (b0+b1([X])^q+· · ·+bm([X]^m)^q (d’apr`es2.17)

=b0+b1[X] +· · ·+bm[X]^m (car [X]^q−[X] = 0)

= [Q]

Par conséquent, tous les éléments deF =K[X]/(P) sont racines deX^q−X.

Démonstration du théorème 2.26. En utilisant la proposition précédente, on en déduit donc que pour construire un corps fini àq=pⁿéléments, il suffit de répéter jusqu’à

´

epuisement (c’est-à-dire jusqu’à ce queX^q−X soit scindé : – Factoriser X^q−X dansK.

– Choisir l’un de ses facteurs irr´eductibles (si possible celui de plus haut degr´e,

¸

ca acc´el`ere le processus), disons P.

– Recommencer ce processus dans K[X]/(P).

Le corps que l’on obtient au final est un corps àqéléments : c’estFq.

2.5. Un exemple un peu plus complet de construction.

Dans ce paragraphe, nous allons étudier plus en détails la construction (ou plutôt les constructions) du corpsF16. Pour cela, nous allons tout d’abord, comme men- tionné dans le paragraphe précédent, factoriser le polynôme X¹⁶−X. Ce calcul peut se faire soit à la main (en utilisant un méthode de classes cyclotomiques, voir [PW,95] p.131-133), soit en utilisant un logiciel type Maple.

Finalement on obtient que :X⁴+X+ 1 est un polynôme irréductible. Soitαune racine de ce polynôme dans une extension de F2. Alors α est un élément primitif

(10)

et on a la table suivante :

α α

α² α²

α³ α³

α⁴ α+ 1 α⁵ α²+α α⁶ α³+α² α⁷ α³+α+ 1 α⁸ α2 + 1 α⁹ α³+α α¹⁰ α²+α+ 1 α¹¹ α³+α²+α α¹² α³+α²+α+ 1 α¹³ α³+α²+ 1 α¹⁴ α³+ 1

α¹⁵ 1

On calcule alors que les facteurs irr´eductibles deX¹⁶−X sont : – X (racine 0)

– X−1 (racine 1)

– X⁴+X+ 1 (racinesα, α², α⁴, α⁸)

– X⁴+X³+X²+X+ 1 (racinesα³, α⁶, α¹², α⁹) – X²+X+ 1 (racinesα⁵, α¹⁰)

– X⁴+X³+ 1 (racines α¹¹, α⁷, α¹⁴, α¹³) Donc :

X¹⁶−X =X·(X−1)·(X⁴+X+1)·(X⁴+X³+X²+X+1)·(X²+X+1)·(X⁴+X³+1)

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Index

Caract´eristique,1

Degr´e d’un corps,2

El´ement primitif,3

Fonction d’Euler,6

Ordre

d’un ´el´ement,2

Premier corps,1 sous-corps,1

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Bibliographie

[Mi,89] M.Mignotte.Math´ematiques pour le calcul formel. PUF, 1989.

[Perrin] D.Perrin.Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1990.

[PW,95] O. Papini and J. Wolfmann. Alg`ebre discr`ete et codes correcteurs. Springer-Verlag, 1995.

(13)

Annexe A. Les fonctions d’Euler et de M¨obius

Dans cette partie, nous allons brièvement rappeler quelques points clés sur la fonction d’Euler (et sur sa compagne inséparable : la fonction de Möbius).

A.1. La fonction d’Euler.

Définition A.1. On définit lafonction d’Eulerϕ : N→Ncomme suit : pour tout n∈N, ϕ(n) est le nombre d’entiers inférieurs à net premiers avecn.

Théorème A.2 (Petit théorème de Fermat). Soit a, n ∈ N, si pgcd(a, n) = 1, alors

a^ϕ(n)≡1 [n]

Pour démontrer ce théorème, nous aurons en fait besoin du lemme suivant : Lemme A.3. Soitn∈N^∗, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) a∈Z/nZ est inversible (ii) pgcd(a, n) = 1

Dans toute la suite, on notera (Z/nZ)^∗ le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ.

Démonstration. Supposons (i), alors il existe un élément u∈Z/nZ tel quea·u≡ 1 [n], c’est-à-dire qu’il existe un entierk∈Ntel queau= 1 +kn, ie. 1 =−ua+kn, puis, d’après Bezout, on a pgcd(a, n) = 1.

Réciproquement, supposons (ii). D’après Bezout, il existe deux entiers u et v tels que l’on ait 1 =ua+vn, d’oùau≡1 [n], c’est-à-dire queaest inversible dans

Z/nZ.

D’o`u le corollaire suivant de ce lemme : Corollaire A.4. Pour toutn∈N, on a :

# (Z/nZ^∗) =ϕ(n)

Démonstration du théorème A.2. Comme pgcd(a, n) = 1, d’après le lemme précédent, a est inversible (ie. a ∈ (Z/nZ)^∗). Or, d’après le corollaire précédent, l’ordre de (Z/nZ)^∗ est ϕ(n), donc l’ordre deadiviseϕ(n), puisa^ϕ(n)≡1 [n].

Proposition A.5. Soitn∈N^∗, on a : X

d|n

ϕ(d) =n

D´emonstration. On consid`ere les fractions suivantes :

(2) 1

n,2 n, . . . ,n

n

il y en an. Par ailleurs, chacune de ces fractions s’´ecrit, sous sa forme r´eduite : a

d oùd|navec pgcd(a, d) = 1 eta≤d Réciproquement, pour toute fraction de la forme précédente, on a :

a

d = a·ⁿ_d

d·ⁿ_d = a·ⁿ_d n

Donc toute fraction de la forme précédente est l’une des fractions de notre liste de départ.

Ainsi, il y a exactement autant de fractions dans la liste (2) que de fractions de la forme

a

d o`ud|navec pgcd(a, d) = 1 eta≤d

(14)

A dfix´e, il y en aϕ(d), d’o`u :

X

d|n

ϕ(d) =n

Nous allons maintenant énnoncer quelques propriétés permettant le calcul effectif de la fonction d’Euler :

Propri´et´e A.6.

(i) Soientaetb deux entiers premiers entre eux, on a ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b)

(ii) Soitpun nombre premier, on a : ϕ(p) =p−1 et

ϕ(p^k) = (p−1)p^k−1

(iii) Soit n un entier se d´ecomposant en produit de facteurs premiers de la mani`ere suivanten=p^k₁¹· · ·p^k_r^r, on a

ϕ(n) = (p1−1)p^k₁¹⁻¹· · ·(pr−1)p^k_r^r⁻¹ Enfin, donnons notre dernier théorème sur la fonction d’Euler : Théorème A.7. Pour toutn∈N^∗, on a :

ϕ(n) =n· Y

p|n ppremier

1−1

p

Pour prouver ce théorème, il est nécessaire d’utiliser la fonction de Möbius ainsi que la formule d’inversion de Möbius (voir [Mi,89] p.249).