Problème de complémentarité linéaire semi‐défini; méthodes de points intérieurs; algorithmes primal‐dual de trajectoire; complexité polynomiale des algorithmes

Texte intégral

(1)République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique _________________________ Université El-Hadj Lakhdar Batna Faculté des sciences Département des Mathématiques _________________________ THESE Présentée en vue de l'obtention du diplôme de DOCTORAT EN SCIENCES MATHEMATIQUES Option: Mathématiques Appliquées Par Boudiaf Naima Thème. Problème de complémentarité linéaire semi-défini. Etude théorique et algorithmique. Soutenue le : 28/02/2012. Devant le jury composé de. Président : Dr. Rachid Bennacer Rapporteur : Dr. Mohamed Achache Examinateurs: Dr. Khaled Melkemi Dr. Naceurdine Bensalem Dr. Bachir Merikhi Dr. Lakhdar Djeffel. Pr Pr Pr Pr M.C M.C. Université El-Hadj Lakhdar Batna Université Ferhat Abbes Sétif Université de Biskra Université Ferhat Abbes Sétif Université Ferhat Abbes Sétif Université El-Hadj Lakhdar Batna. Année Universitaire 2011-2012.

(2) Remerciements Je tiens à remercier mon encadreur Monsieur Mohamed Achache, professeur à l’Université Ferhat Abbas, Sétif, qui m’a o¤ert la possibilité de réaliser ce travail et m’a encadré durant ces années. Je remercie également les membres du jury: Monsieur Rachid Bennacer, professeur à l’Université l’Hadj Lakhdar, Batna de m’avoir fait l’honneur de présider ce jury et de juger mon travail. Et Messieurs Naceurdine Bensalem, professeur à l’Université Ferhat Abbas, Sétif d’avoir évalué mon travail ; Bachir Merikhi , Maître de Conférences à l’Université Ferhat Abbas, Sétif ; Khaled Melkemi , professeur à l’Université de Biskra d’avoir accepté de faire partie de ce jury et Lakhdar Dje¤el , Maître de Conférences à l’Université l’Hadj Lakhdar de Batna de faire partie de ce jury. Mes remerciements s’adressent également à toute l’équipe administrative du département de mathématiques de Batna d’avoir mis à notre service tous les moyens disponibles, en particulier le comité et le conseil scienti…que d’avoir entrepris avec une grande souplesse les démarches nécessaires pour la soutenance. Je voudrais aussi adresser mes remerciements à tous les membres du Laboratoire de Mathématiques Fondamentales et Numériques de l’Université Ferhat Abbas Sétif. Qu’il me soit permis d’exprimer ma gratitude à mes parents pour leurs encouragements, leur patience et le soutien qu’ils m’ont apporté en toutes circonstances durant mes études. Que mon mari trouve ici l’expression de mes sentiments, les meilleurs, pour sa compréhension et ses encouragements durant ce travail. En…n, je tiens à remercier tous mes amis au Département de mathématiques et ailleurs, pour leur disponibilité et leur soutien.. i.

(3) Notations et terminologies PCLSD. :. Problème de complémentarité linéaire semi-dé…ni;. PSD. :. Programme linéaire semi-dé…ni;. PL. :. Programmation linéaire;. PCL. :. Problème de complémentarité linéaire;. (P). :. Programme linéaire;. (D). :. Dual d’un programme linéaire (P);. (PO). :. Problème d’optimisation;. SDLS. :. problème des moindres carrés semi-dé…ni;. NS-SDLS. :. problème des moindres carrés semi-dé…ni non symétrique;. LMI-LS. :. problème des moindres carrés d’inégalités matricielles linéaires;. (PQ). :. Programme quadratique;. KKT. :. Karush-Kuhn-Tucker;. xT. :. Le vecteur transposé de x de Rn ;. xi. :. La i. Diag(x). =. A, La matrice diagonale dont aii = xi ;. diag(X). =. xLe vecteur dont les composantes sont les éléments diagonaux de X;. x. :. Les composantes de x, xi. :. La matrice transposée de X;. 0. XT. ème composante de x;. 0 pour tout i;. X. 0 (X. 0). :. X est une matrice symétrique semi-dé…nie positive (dé…nie positive);. X. 0 (X. 0). :. X est une matrice symétrique semi-dé…nie négative (dé…nie négative);. Sn. =. Sn+. =. fX : X 2 Sn , X. 0g;. Sn++ = int(Sn+ ). =. fX : X 2 Sn , X. 0g;. i (X). :. les valeurs propres de la matrice X 2 Rn. max (X). =. max ( i (X)), si. min (X). =. min ( i (X)), si i (X) 2 R 8i; i P P xii = i (X), xii sont les composantes de la diagonale de la matrice X;. Tr(X). =. X : X 2 Rn. =. , X = XT ;. i (X). i. i. < X; Y >. n. X. n;. 2 R 8i;. i. Y =Tr(X:Y ), le produit scalaire (trace);. ii.

(4) I. :. La matrice d’identité;. det(X). :. Déterminant de X =. (X). =. max j i (X)j, rayon spectrale de X;. =. unique matrice symétrique qui véri…e X = X 2 :X 2 , X 2 Sn+ ;. O(g(x)) = f (x). :. kXk2F. =. 9k > 0 tel que g(x) kf (x); PP 2 P 2 n < X; X >= xij = i (X) ( si X 2 S ) norme de Frobenius;. X. 1 2. kXk2. i (X);. i. 1. i. =. i. max (X. T X). j. 1 2. 1. i. = (XX T ), désigne la norme spectrale de X dans Rn. iii. n..

(5) Résumé Dans cette thèse, nous présentons une étude théorique et algorithmique concernant le problème de complémentarité linéaire semi-dé…ni (PCLSD) qui a fait l’objet de plusieurs recherches ces dernières années. En e¤et, on présente dans une première partie, une synthèse sur les principaux travaux liés à ce dernier. La présentation est donnée de façon à rendre le bagage utilisé pour ce problème compréhensible et permettant de nouveaux développements. Dans la deuxième partie,une étude algorithmique est faite où on présente une méthode Newtonienne de trajectoire de points intérieurs de type primal-dual pour résoudre le (PCLSD) monotone. On montre que l’algorithme correspondant admet une complexité polynomiale. Mots clés: Problème de complémentarité linéaire semi-dé…ni; méthodes de points intérieurs; algorithme primal-dual de trajectoire; compléxité polynomiale des algorithmes.. Abstract In this thesis, we present a theoretical and an algorithmic study for the semide…nite linear complementarity problem which has made the object of many researchers in this last years. Indeed, we present in a …rst part, a synthesis of principal works linked with this problem. The presentation is given so as to make the used knoweldge for this problem understandable and allowed new developments. In the second part, an algorithmic study is done where we present a Newtonian primal-dual path-following interior point method to solve monotone (SDLCP). We prove that the corresponding algorithm has a polynomial complexity. Keywords : The linear semide…nite complementarity problem; interior point methods; primal-dual path-following algorithms; polynomiale complexity of algorithms. iv.

(6) Introduction Le sujet traité dans cette thèse concerne le problème de complémentarité linéaire semi-dé…ni (abbréviation PCLSD) qui est une généralisation du problème complémentaire linéaire standard dans le sens où les variables sont des matrices symétriques semi-dé…nies positives au lieu d’être des vecteurs positifs. L’importance grandissante de ce problème est mesurée par les di¤érentes applications qu’il couvre, aussi bien en mathématiques que dans la pratique, en l’occurence : la chimie quantique, la théorie de côntrole, la programmation linéaire semi-dé…nie, les systèmes linéaires et bilinéaires, l’optimisation combinatoire, l’optimisation structurelle, l’analyse du facteur minimum de trace, les tests des problèmes éducationnels, et pour prouver le Théorème de Lyapunov (théorème de stabilité) et le Théorème de Stein ( les problèmes di¤érentiels dynamiques continus et discrets) on a besoin d’utiliser la notion de la complémentarité linéaire semi-dé…nie. L’étude de ce problème est apparue pour la première fois dans le travail de Kojima, Shindoh et Hara en (1997) sous le nom de problème complémentaire linéaire semi-dé…ni géométrique, La recherche des méthodes de résolution pour le (PCLSD) a évoqué un grand intérêt chez les chercheurs. Les propriétés analytiques telles que l’existence et l’unicité de la solution de (PCLSD) sont développées par Gowda et ses collaborateurs en l’an 2000. Il existe alors trés peu de résultats publiés et ils sont principalement d’ordre théorique. Actuellement, le (PCLSD) constitue l’un des sujets de recherche les plus convoités dans le domaine d’optimisation numérique. Le but étant de développer une méthodologie adéquate. A ce propos, il est impératif de traiter des questions ouvertes, déja étudiées au niveau du problème complémentaire linéaire: existence ( et eventuellement l’unicité) de la solution qui sont ici plus complexes en raison de la structure complexe du problème. Notre objectif est de contribuer à la résolution du (PCLSD) en utilisant des méthodes adéquates qui mènent au résultat le plus proche de la solution exacte. Notre travail consiste d’abord à é¤ectuer une étude bibliographique approfondie concernant le (PCLSD), en mettant l’accent sur les principaux dévelopements en vue de synthétiser les travaux existants, qui sont trés peu, ce qui laisse la porte ouverte devant toutes les suggestions, tout en étant persuadé des di¢ cultés qui peuvent faire face aux chercheurs. v.

(7) comme : L’inéxistence d’une théorie adéquate pour la résolution du (PCLSD). Le problème complémentaire linéaire peut servir de base pour développer une véritable méthodologie pour (PCLSD). Cependant, l’extension directe des résultats d’éxistence et d’unicité concernant le (PCL ) au (PCLSD) n’est pas immédiate. Deux problèmes sont rencontrés, d’une part le cône des matrices symétriques semi-dé…nies positives n’est pas polyédrique et d’autre part le produit de deux matrices symétriques n’est pas commutatif. De plus les notions utilisées dans dans le cas du (PCL) doivent être reconsidérées pour les besoins de (PCLSD). Notre étude est répartie en trois volets : Le premier volet est une étude uni…catrice en théorie. Le deuxième concerne la résolution d’un problème de complémentarité linéaire semi-dé…ni monotone. En e¤et, nous avons pu formuler le (PCLSD) en un problème d’optimisation avec contraintes. Cette formualtion conduit au résultat suivant : que toute solution du problème d’optimisation, est une solution du (PCLSD) et vice-versa. Le troisième volet s’intèresse à la réalisation d’un algorithme pour résoudre le (PCLSD) qui était trés importante. E¤ectivement, nous avons établi un algorithme de points intérieurs approprié avec une étude détaillée sur sa complexité polynomiale. La thèse est structurée comme suit : Dans le premier chapitre, nous présentons quelques notions de base de calcul matriciel, de l’analyse convexe, les conditions d’optimalité d’un programme mathématique et les méthodes de points intérieurs. Le deuxième chapitre est consacré à la dé…nition du (PCLSD) en citant quelques exemples de ce dernier. Dans le troisième chapitre, on propose une étude théorique du (PCLSD). Le dernier chapitre est consacré à la résolution du (PCLSD) par les méthodes de points intérieurs. En e¤et, nous avons développés une méthode Newtonienne de trajectoire centrale de type primal dual pour le (PCLSD). Notre analyse de son complexité est inspirée des travaux faits pour la programmation semi-dé…nie (SDP). On montre que l’algorithme p n à court pas (short-step) admet une complexité qui est de l’ordre O( n log ). Cette comvi.

(8) plexité est la meilleure complexité trouvée jusqu’à nos jours pour ce genre d’algorithmes. n Tandis que, la complexité de l’algorithme à grand pas (long-step) est de l’ordre O(n log ). Cette complexité est similaire pour certaines méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire (LP), la programmation quadratique convexe (PQC), le problème de compléméntarité linéaire standard et la programmation linéaire semi-dé…nie. Finalement, on terminera cette thèse par une conclusion et perspectives pour d’autres recherches que ce soit dans leurs aspects théoriques et algorithmiques ou celui des applications numériques.. vii.

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