Comptage de représentations cuspidales congruentes

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Preprint submitted on 9 Jul 2015

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Vincent Sécherre

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Vincent Sécherre. Comptage de représentations cuspidales congruentes. 2015. �hal-01174800�

par

Vincent S´ echerre

Abstract. — Let F be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristicp, G be an inner form of GLⁿpFq,ně1, andℓbe a prime number different fromp. We give a numerical criterion for an integralℓ-adic irreducible cuspidal representationρrof G to have a supercuspidal irreducible reduction mod ℓ, by counting inertial classes of cuspidal representations that are congruent to the inertial class ofρ, generalizing results by Vign´eras and Dat.r

In the case the reduction modℓofρris not supercuspidal irreducible, we show that this counting argument allows us to compute its length and the size of the supercuspidal support of its irreducible components. We define an invariantwprρq ě1 — the product of this length by this size — which is expected to behave nicely through the local Jacquet-Langlands correspondence.

Given anℓ-modular irreducible cuspidal representationρof G and a positive integera, we give a criterion for the existence of an integralℓ-adic irreducible cuspidal representationρrof G such that its reduction modℓcontainsρand has lengtha. This allows us to obtain a formula for the cardinality of the set of reductions modℓof inertial classes ofℓ-adic irreducible cuspidal representationsρrwith given depth and invariantw.

These results are expected to be useful to prove that the local Jacquet-Langlands correspondence preserves congruences modℓ.

2010 Mathematics Subject Classification: 22E50

Keywords and Phrases: Modular representations of p-adic reductive groups, Jacquet-Lang- lands correspondence, Cuspidal representations, ℓ-adic lifting, Congruences mod ℓ

1. Introduction et ´ enonc´ e des principaux r´ esultats 1.1.

Soit F un corps localement compact non archim´edien, soit H le groupe lin´eaire g´en´eral GL

pFq, n ě 1, et soit A le groupe multiplicatif d’une F-alg`ebre ` a division centrale de degr´e r´eduit ´egal

`

a n. Soit ℓ un nombre premier diff´erent de la caract´eristique r´esiduelle p de F. Dat a construit dans [4] un cas particulier de correspondance de Jacquet-Langlands locale modulo ℓ. C’est une bijection entre classes de repr´esentations irr´eductibles ℓ-modulaires — c’est-` a-dire ` a coefficients dans une clˆ oture alg´ebrique F

d’un corps fini de caract´eristique ℓ — de A et classes de certaines

Mon s´ejour `a l’University of East Anglia en mai 2014, durant lequel une partie de ce travail a ´et´e effectu´ee, a ´et´e financ´e par l’EPSRC (grant EP/H00534X/1). Je remercie chaleureusement Shaun Stevens pour son invitation et pour les discussions que nous avons eues `a propos de ce travail.

repr´esentations irr´eductibles ℓ-modulaires de H, baptis´ees “super-Speh” (paragraphe 1.11). Elle est compatible, en un certain sens, ` a la correspondance de Jacquet-Langlands locale entre les classes de repr´esentations irr´eductibles ℓ-adiques — c’est-` a-dire ` a coefficients dans une clˆ oture alg´ebrique Q

du corps des nombres ℓ-adiques — de A et la s´erie discr`ete ℓ-adique de H.

1.2.

Plutˆot que d’´etudier directement la s´erie discr`ete ℓ-adique, qui se r´eduit mal modulo ℓ, Dat ´etu- die son image par l’involution de Zelevinski, c’est-` a-dire l’ensemble des classes de repr´esentations de Speh ℓ-adiques de H. Une telle repr´esentation est dite ℓ-super-Speh lorsqu’elle est enti`ere, et lorsque sa r´eduction modulo ℓ est irr´eductible et super-Speh. La construction de la correspondan- ce de Jacquet-Langlands locale modulo ℓ de [4] repose sur le fait crucial que la correspondance de Jacquet-Langlands locale ℓ-adique fait se correspondre bijectivement repr´esentations ℓ-adiques enti`eres de A dont la r´eduction modulo ℓ est irr´eductible, et repr´esentations ℓ-super-Speh de H.

1.3.

Pour prouver ce fait, Dat utilise un crit`ere num´erique de ℓ-supercuspidalit´e ´etabli par Vign´eras pour construire une correspondance de Langlands locale modulo ℓ ([13]). La r´eduction modulo ℓ d’une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere ρ r de H est toujours irr´eductible et cuspidale, mais elle n’est pas toujours supercuspidale ; plus pr´ecis´ement, elle est supercuspidale si et seulement si le nombre de repr´esentations cuspidales ℓ-adiques enti`eres de H qui sont stric- tement congrues ` a ρ r est “le plus grand possible” (voir [13, Proposition 2.3]). Il prouve aussi une variante de ce crit`ere num´erique pour A (voir [4, Proposition 2.3.2]).

1.4.

Soit maintenant D une F-alg`ebre ` a division centrale de degr´e r´eduit d, et posons G “ GL

pDq, m ě 1. Si l’on veut construire une correspondance de Jacquet-Langlands locale modulo ℓ g´en´erale, il est naturel de commencer par g´en´eraliser le crit`ere num´erique de ℓ-supercuspidalit´e de Vign´eras et Dat. C’est ce que nous faisons, en le pr´esentant sous une forme l´eg`erement diff´erente. Soit ρ r une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere de G. Il y a ([10, Th´eor`eme 3.15]) une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire ρ de G et un unique entier a “ a pr ρ q ě 1 tels que la r´eduction modulo ℓ de ρ r soit ´egale ` a :

(1.1) r

pr ρ q “ ρ ` ρν ` ¨ ¨ ¨ ` ρν

dans le groupe de Grothendieck des repr´esentations ℓ-modulaires de longueur finie de G, o` u ν d´esigne le caract`ere valeur absolue de la norme r´eduite. La repr´esentation ρ n’est pas unique en g´en´eral, mais sa classe inertielle rG, ρs ne d´epend que de la classe inertielle rG, ρs r de ρ. Quand r G est d´eploy´e, l’entier ap ρq r est toujours ´egal ` a 1, c’est-` a-dire que la r´eduction modulo ℓ de ρ r est toujours irr´eductible.

D´ efinition 1.1. — On dit que ρ r est ℓ-supercuspidale si r

p ρq r est irr´eductible et supercuspidale.

1.5.

Etant donn´ee une repr´esentation irr´eductible cuspidale ρ r comme en 1.4, on note : r

prG, ρ r sq

l’ensemble des r´eductions modulo ℓ des repr´esentations enti`eres inertiellement ´equivalentes `a ρ, r

et on appelle cet ensemble la r´ eduction modulo ℓ de rG, ρ r s. On note n pr ρ q le nombre de caract`eres

ℓ-adiques non ramifi´es χ r de G tels que ρ r χ r est isomorphe ` a ρ r et cp ρq r la plus grande puissance de ℓ divisant q

´ 1. Le r´esultat suivant g´en´eralise [13] et [4].

Th´ eor` eme 1.2. — Soit ρ r une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale ℓ-adique enti` ere de G.

(1) L’ensemble des classes inertielles de repr´ esentations irr´ eductibles cuspidales ℓ-adiques en- ti` eres de G congrues ` a ρ r est fini, de cardinal not´ e tpr ρq .

(2) On a :

t p ρ r q ď c p ρ r q avec ´ egalit´ e si et seulement si ρ r est ℓ-supercuspidale.

1.6.

Int´eressons-nous maintenant au cas o` u ρ r n’est pas ℓ-supercuspidale ; en ´etudiant plus finement la fa¸con dont les entiers tp ρq r et cp ρq r diff`erent, il est raisonnable de penser qu’on pourra en d´eduire des informations sur la structure de ρ. D’apr`es la classification des repr´esentations irr´eductibles r cuspidales ℓ-modulaires de G en fonction des supercuspidales ([9, Th´eor`eme 6.14]), il existe un unique entier naturel :

kpρq ě 1

tel que ρ apparaisse comme sous-quotient de l’induite parabolique d’une repr´esentation irr´educ- tible supercuspidale du sous-groupe de Levi standard GL

pDq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ GL

pDq avec rkpρq “ m.

En particulier, ρ est supercuspidale si et seulement si k p ρ q “ 1. Posons :

(1.2) w p ρ r q “ k p ρ q a p ρ r q .

Ainsi ρ r est ℓ-supercuspidale si et seulement si wp ρq “ r 1. Le r´esultat suivant montre qu’on peut d´eterminer la valeur de wp ρq r en comparant tp ρq r et cp ρq. r

Th´ eor` eme 1.3. — Soit ρ r une Q

-repr´ esentation irr´ eductible cuspidale enti` ere et non ℓ-super- cuspidale de G. Alors :

t p ρ r q w p ρ r q “

"

c p ρ r q ´ 1 si t pr ρ q est premier ` a ℓ, cp ρqpℓ r ´ 1qℓ

sinon.

1.7.

Changeons maintenant de point de vue. Quand G est d´eploy´e, Vign´eras a montr´e ([12]) qu’une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire ρ de G se rel`eve toujours en une repr´esentation ℓ-adique de G, c’est-` a-dire qu’il existe une repr´esentation ℓ-adique enti`ere de G dont la r´eduction modulo ℓ est isomorphe ` a ρ. Si maintenant G n’est pas d´eploy´e, toute repr´esentation irr´eductible supercuspidale ℓ-modulaire de G se rel`eve ` a Q

(voir [10, 9]) mais il existe des repr´esentations cuspidales qui ne se rel`event pas. Etant donn´ee une repr´esentation cuspidale non supercuspidale ℓ-modulaire ρ de G, il est naturel de demander ` a quelle condition elle admet un rel`evement.

1.8.

Pour r´epondre ` a cette question, nous avons besoin de l’invariant : spρq ě 1

introduit dans [10], dont la d´efinition repose sur la construction des repr´esentations irr´eductibles

cuspidales de G par la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko (voir la section 2 ci-dessous). C’est

un diviseur de d ; en particulier il est toujours ´egal ` a 1 quand G est d´eploy´e. Cet invariant est reli´e

`

a un autre invariant, le degr´ e param´ etrique δpρq introduit dans [2], par l’identit´e δpρqspρq “ md.

Th´ eor` eme 1.4. — Soit ρ une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale non supercuspidale ℓ-modu- laire de G. Pour que ρ se rel` eve ` a Q

, il faut et il suffit que les entiers s p ρ q et k p ρ q soient premiers entre eux et que la repr´ esentation tordue ρν soit isomorphe ` a ρ.

Quand G est d´eploy´e, on a toujours s p ρ q “ 1 et une repr´esentation irr´eductible cuspidale non supercuspidale ρ est toujours isomorphe ` a sa tordue ρν. La condition du th´eor`eme 1.4 est donc toujours v´erifi´ee ; on retrouve ainsi le r´esultat de Vign´eras du paragraphe 1.7.

1.9.

Plus g´en´eralement, une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire ρ de G ´etant fix´ee, nous pouvons chercher les valeurs possibles de wp ρq r lorsque ρ r d´ecrit les repr´esentations irr´educ- tibles cuspidales ℓ-adiques enti`eres de G dont la r´eduction modulo ℓ contient ρ. Le th´eor`eme 1.5 r´epond ` a cette question et compl`ete ainsi le th´eor`eme 1.4. Notons v la valuation ℓ-adique sur Z (normalis´ee par v p ℓ q “ 1) et notons ε p ρ q l’ordre de q

dans pZ{ ℓZq

, c’est-` a-dire le plus petit entier k ě 1 tel que ρν

soit isomorphe ` a ρ.

Th´ eor` eme 1.5. — Soit ρ une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale ℓ-modulaire de G et soit un entier a ą 1. Pour qu’il existe une Q

-repr´ esentation irr´ eductible cuspidale enti` ere ρ r de G dont la r´ eduction modulo ℓ contienne ρ et soit de longueur a, il faut et il suffit que :

(1) il existe un entier u P t0, . . . , vpspρqqu tel que a “ εpρqℓ

; (2) les entiers spρqa

et kpρq soient premiers entre eux.

1.10.

Dans la derni`ere section, nous utilisons le th´eor`eme 1.5 pour obtenir une formule de comptage de classes inertielles de repr´esentations cuspidales ℓ-modulaires, dans l’esprit de [3]. Contraire- ment ` a Bushnell et Henniart, qui obtiennent leur formule en s’appuyant sur la correspondance de Jacquet-Langlands locale et sur l’existence pr´ealable d’une telle formule dans le cas du groupe multiplicatif d’une alg`ebre ` a division, nous ´etablissons la nˆ otre par un calcul direct, en termes de F-endoclasses de caract`eres simples [1].

Fixons des entiers n, w ě 1 tels que w divise n, et un nombre rationnel j ě 0. Soient m, d ě 1 des entiers tels que md “ n et soit D une F-alg`ebre ` a division centrale de degr´e r´eduit d. On note A

pD, j, w q l’ensemble des r´eductions mod ℓ de classes inertielles de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-adiques ρ r telles que :

(1) il existe un entier u ě 1 divisant m tel que ρ r soit une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique de GL

pDq ;

(2) on a wp ρq “ r w et le niveau normalis´e de ρ r est inf´erieur ou ´egal ` a j.

C’est un ensemble fini, de cardinal not´e a

pD, j, wq. Fixons par ailleurs une clˆ oture alg´ebrique k du corps r´esiduel k

de F, et notons y

pq, n, wq le nombre de y P k

tels que :

(1) l’ordre de y est premier ` a ℓ ;

(2) le degr´e de y sur k

, not´e degpyq, divise nw

;

(3) l’ordre de q

dans pZ{ℓZq

est ´egal au plus grand diviseur de w premier ` a ℓ.

On a la formule suivante ; pour la notion d’endo-classe, on renvoie au paragraphe 6.1 ci-dessous

et `a [1].

Th´ eor` eme 1.6. — On a :

a

pD, j, wq “ ÿ

Θ

y

pqpΘq, npΘq, wq,

la somme portant sur les F-endoclasses Θ de niveau normalis´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a j et de degr´ e degpΘq divisant nw

, et o` u :

npΘq “ n

degpΘq , qpΘq “ q

, l’entier f pΘq d´ esignant le degr´ e r´ esiduel de Θ.

Cette somme ne d´ependant que de ℓ, n, w, j et q, on en d´eduit le corollaire suivant.

Corollaire 1.7. — On a a

pD, j, wq “ a

pF, j, wq . 1.11.

Dans un travail ult´erieur, nous montrerons comment le crit`ere num´erique affin´e (th´eor`eme 1.3) et la formule de comptage (corollaire 1.7) jouent un rˆ ole central pour prouver que la correspon- dance de Jacquet-Langlands locale ℓ-adique entre repr´esentations irr´eductibles enti`eres de A et s´erie discr`ete enti`ere de G pr´eserve les congruences et l’invariant w, induisant une bijection entre classes de congruence modulo ℓ de repr´esentations. Les r´esultats de Dat [4] correspondent au cas particulier o` u G “ H “ GL

pFq et w “ 1.

Notations et conventions

Dans tout cet article, on fixe un corps localement compact non archim´edien F et une F-alg`ebre

`

a division centrale D, de degr´e r´eduit not´e d. On fixe un entier m ě 1 et on pose G “ GL

pDq.

Si K d´esigne une alg`ebre ` a division sur une extension finie de F, on note k

son corps r´esiduel et q

le cardinal de k

. On note en particulier q “ q

le cardinal du corps r´esiduel de F.

On fixe un nombre premier ℓ ne divisant pas q. On note Q

une clˆ oture alg´ebrique du corps des nombres ℓ-adiques et Z

son anneau d’entiers. Son corps r´esiduel F

est une clˆ oture alg´ebrique d’un corps fini de caract´eristique ℓ.

Toutes les repr´esentations consid´er´ees dans cette article sont lisses.

Deux repr´esentations ℓ-adiques enti`eres de longueur finie (de G ou d’un groupe profini) sont dites congruentes (modulo ℓ) si elles ont la mˆeme r´eduction modulo ℓ (voir [12, 14]).

2. Rappels sur les repr´ esentations cuspidales

Au paragraphe 2.1, R est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0 ou ℓ. Ensuite, ce sera ou bien le corps Q

, ou bien le corps F

.

2.1.

Rappelons quelques faits tir´es de [10] sur les R-repr´esentations irr´eductibles cuspidales de G.

D’abord, il y a une correspondance bijective naturelle :

(2.1) rG, ρs Ø rJ, λs

entre classes inertielles de R-repr´esentation irr´eductible cuspidale de G et classes de G-conjugai-

son d’objets appel´es types simples maximaux de G ([10, §3]). Plus pr´ecis´ement, la classe d’inertie

de ρ et la classe de conjugaison de pJ, λq se correspondent par (2.1) si et seulement si la restriction de ρ ` a J poss`ede une sous-repr´esentation isomorphe ` a λ.

Un type simple maximal de G est une paire pJ, λq form´ee d’un sous-groupe ouvert compact J de G et d’une R-repr´esentation irr´eductible λ de J dont la construction est effectu´ee en [10,

§2]. R´esumons-en bri`evement les principales ´etapes.

D’abord, on part d’une strate simple rΛ, n, 0, βs dans la F-alg`ebre de matrices M

pDq et d’un caract`ere simple θ P C pΛ, 0, β q d’un sous-groupe ouvert compact H

“ H

p β, Λq de G. Il y a un sous-groupe ouvert compact J

“ J

pβ, Λq de G contenant et normalisant H

, et poss´edant une unique repr´esentation irr´eductible η dont la restriction `a H

contienne θ.

La repr´esentation η se prolonge en une repr´esentation irr´eductible κ d’un sous-groupe ouvert compact J “ Jpβ, Λq de G contenant et normalisant J

, de mˆeme ensemble d’entrelacement que η ; un tel prolongement κ s’appelle une β-extension de η.

On suppose que J XB

est un sous-groupe compact maximal de B

. On fixe un isomorphisme d’alg`ebres entre le centralisateur B de E “ Fr β s dans M

pDq et une E-alg`ebre M

pD

q pour un m

ě 1 et une E-alg`ebre ` a division centrale D

convenables, identifiant J X B

au sous-groupe compact maximal standard de GL

pD

q.

Le groupe J est ´egal ` a pJ X B

qJ

, et on a des isomorphismes de groupes : J{J

» pJ X B

q{pJ

X B

q » GL

p k

q,

le second ´etant induit par l’isomorphisme de E-alg`ebres fix´e pr´ec´edemment. Notons G ce dernier groupe et fixons une repr´esentation irr´eductible cuspidale σ de G. Elle d´efinit, par inflation, une repr´esentation irr´eductible de J triviale sur J

, encore not´ee σ. Alors la paire pJ, κ b σq est un type simple maximal de G, et tous sont construits de cette fa¸con.

Soit ρ une R-repr´esentation irr´eductible cuspidale de G dont la classe inertielle rG, ρs corres- pond ` a la classe de conjugaison d’un type simple maximal pJ, λ q. Le groupe de Galois de k

sur k

agit sur les repr´esentations de G ; on note :

spρq “ spσq

l’ordre du stabilisateur de σ dans ce groupe de Galois. Quand G est deploy´e, c’est-` a-dire quand D est ´egale ` a F, ce groupe de Galois est trivial et on a toujours spρq “ 1.

Notons n p ρ q le nombre de caract`eres non ramifi´es χ de G tels que la repr´esentation tordue ρχ soit isomorphe ` a ρ, et fpρq le quotient de md par l’indice de ramification de E sur F.

Ces trois entiers sont ind´ependants des choix effectu´es dans la construction de pJ, λ q ; ils ne d´ependent que de la classe inertielle de ρ. Lorsque R est de caract´eristique 0, ils sont li´es par la relation :

npρqspρq “ f pρq.

Lorsque R est de caract´eristique ℓ en revanche, l’entier spρq divise f pρq, et npρq est le plus grand diviseur de f pρqspρq

premier ` a ℓ.

Lorsque R est de caract´eristique ℓ, on a introduit au paragraphe 1.6 un entier kpρq : le nombre de termes dans le support supercuspidal de ρ. De fa¸con analogue, il y a un unique entier naturel :

kpσq

tel que σ apparaisse comme sous-quotient de l’induite parabolique d’une repr´esentation irr´educ-

tible supercuspidale du sous-groupe de Levi standard GL

p k

qˆ ¨ ¨ ¨ˆ GL

p k

q avec rk p σ q “ m

.

Lemme 2.1. — On a k p ρ q “ k p σ q .

D´ emonstration. — Posons k “ kpρq et d´efinissons un entier r ě 1 par kr “ m. Il y a une repr´e- sentation irr´eductible supercuspidale ρ

et des R-caract`eres non ramifi´es χ

, . . . , χ

de GL

pDq tels que ρ apparaisse comme un sous-quotient de l’induite parabolique de ρ

χ

b ¨ ¨ ¨ b ρ

χ

` a G ([9, Th´eor`eme 6.14]). Fixons un type simple maximal pJ

, κ

b σ

q contenu dans ρ

. D’apr`es, par exemple, la preuve de [9, Lemme 6.1], on peut choisir σ

de sorte que σ apparaisse comme un sous-quotient de l’induite parabolique de σ

b ¨ ¨ ¨ b σ

` a G. D’apr`es [9, Proposition 6.10], la repr´esentation σ

est supercuspidale. Par unicit´e de k p σ q, on en d´eduit que k p σ q “ k.

Remarque 2.2. — On en d´eduit que kpρq divise m

, et pas seulement m.

2.2.

Fixons une extension k de k

de degr´e m

, et notons X l’ensemble des x P k

de degr´e m

sur k

. D’apr`es Green [7], il y a une application surjective :

(2.2) x ÞÑ σpxq r

de X vers l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-adiques de G ; les ant´ec´edents de σpxq r sont les conjugu´es de x sous Galp k { k

q. Pour x P k

, notons rxs l’orbite de x sous Galp k { k

q et :

degpxq “ cardprxsq le degr´e de x sur k

. Notons d

le degr´e r´eduit de D

sur E.

Lemme 2.3. — Pour x P X, soit σ r la repr´ esentation cuspidale lui correspondant par (2.2). On a la relation :

(2.3) degpxq “ m

d

sp r σq et spr σq est premier ` a m

.

D´ emonstration. — Notons φ l’automorphisme de Frobenius x ÞÑ x

. Pour k P Z, on a : r

σ

» r σ ô il existe l P Z tel que x

“ x

. Si l’on note r r σs l’orbite de σ r sous Galp k

{ k

q, on en d´eduit que :

cardprr σsq “ d

sp σq r “ pd

, degpxqq.

Par ailleurs, si n est l’ordre de x, alors l’ordre de q

dans pZ{nZq

est degpxq, tandis que l’ordre de q

dans pZ{nZq

est m

. On en d´eduit le r´esultat voulu.

Corollaire 2.4. — L’entier sp r σq est premier ` a m.

D´ emonstration. — Notons g le degr´e de E sur F, de sorte que : d

“ d

pd, gq , m “ m

¨ g pd, gq .

L’entier s pr σ q divise d

, et il est premier ` a m

d’apr`es le lemme 2.3 ; le r´esultat s’ensuit.

D’apr`es Dipper et James [5, 6, 8], si x P X, la r´eduction modulo ℓ de σpxq r est irr´eductible et cuspidale, et ne d´epend que de la partie ℓ-r´eguli`ere de x, c’est-` a-dire de l’unique y P k

tel que l’ordre de xy

soit une puissance de ℓ. Ceci d´efinit une application surjective :

(2.4) y ÞÑ σpyq

de l’ensemble Y des parties ℓ-r´eguli`eres des ´el´ements de X vers celui des (classes de) repr´esenta- tions irr´eductibles cuspidales ℓ-modulaires de G ; l’ensemble des ant´ec´edents de σpyq est l’orbite de y sous le groupe de Galois de k sur k

.

Lemme 2.5. — Pour y P Y, soit σ la repr´ esentation cuspidale lui correspondant par (2.4). On a la relation :

(2.5) degp y q “ m

k p σ q ¨ d

s p σ q et spσq est premier ` a m

kpσq

.

D´ emonstration. — Si l’on note m

le cardinal de l’orbite de y sous Galp k { k

q, alors l’entier kpσq d´efini ` a la section 2 v´erifie la relation m

“ kpσq ¨ m

. Comme dans le lemme pr´ec´edent, on en d´eduit la relation (2.5) et que spσq est premier ` a m

“ m

kpσq

.

Soit x P X, et soit y P Y la partie ℓ-r´eguli`ere de x. Soit σ r la repr´esentation cuspidale ℓ-adique correspondant ` a x et σ sa r´eduction modulo ℓ, qui correspond ` a y. On pose :

ap r σq “ spσq sp r σq , wp r σq “ degpxq

degpyq “ kpσqap r σq.

On a les propri´et´es suivantes.

Lemme 2.6. — On a pwpr σq, m

q “ kpσq et pwpr σq, spσqq “ apr σq .

D´ emonstration. — Comme sp r σq est premier ` a m

, il est aussi premier ` a kpσq. Multipliant par a pr ρ q, on en d´eduit que p w pr σ q , s p σ qq “ a pr σ q. Ensuite, m

k p σ q

´etant premier ` a s p σ q, il est aussi premier ` a ap ρq. Multipliant par r kpσq, on en d´eduit que pwp σq, m r

q “ kpσq.

Notons ε p σ q l’ordre de :

(2.6) q

E

dans pZ{ℓZq

.

Lemme 2.7. — Si x ‰ y, le plus grand diviseur de apr σq premier ` a ℓ est εpσq.

D´ emonstration. — Dans p Z { nZ q

(o` u n d´esigne l’ordre de x), l’ordre de (2.6) est : degpxq

pdegp y q k p σ q , degp x qq “ ap σq. r

Comme x ‰ y, l’entier n est divisible par ℓ. En projetant sur pZ{ℓZq

, on en d´eduit que le plus

grand diviseur de a pr σ q premier ` a ℓ est ε p σ q.

3. Comptage

3.1. Preuve du th´ eor` eme 1.2

Soit ρ r une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere de G, et soit O p ρq r l’ensemble des classes inertielles rG, ρ r

s de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-adiques de G congrues

`

a rG, ρs r modulo ℓ, c’est-` a-dire telles que :

r

prG, ρ r

sq “ r

prG, ρsq. r

Fixons un type simple maximal pJ, r λq dans la classe de G-conjugaison correspondant ` a rG, ρs, et r notons λ la r´eduction de r λ modulo ℓ. Alors pJ, λq est un F

-type simple maximal correspondant

`

a la classe inertielle de la repr´esentation ρ apparaissant dans (1.1), et l’entier a “ ap ρq r est l’indice du G-normalisateur de pJ, r λq dans celui de pJ, λq (voir [10, §3]).

L’ensemble O p ρq r s’identifie donc ` a l’ensemble des classes de G-conjugaison de Q

-types simples maximaux pJ

, λ r

q tels que, si l’on note λ

la r´eduction de λ r

modulo ℓ, on ait :

(1) les F

-types simples maximaux pJ

, λ

q et pJ, λ q sont conjugu´es sous G ; (2) on a pN

pJ

, λ

q : N

pJ

, r λ

qq “ pN

pJ, λq : N

pJ, r λqq ;

o` u N

pJ, λq d´esigne le normalisateur de pJ, λq dans G. Quitte ` a conjuguer, on peut donc supposer que J

“ J et λ

“ λ ; l’ensemble O p ρq r s’identifie donc ` a l’ensemble T pJ, λq r des classes de N

pJ, λq- conjugaison de Q

-types simples maximaux pJ, r λ

q de G tels que :

(1) les repr´esentations r λ

et λ r sont congruentes modulo ℓ ; (2) les paires pJ, r λ

q et pJ, r λq ont le mˆeme normalisateur dans G.

Fixons une d´ecomposition de λ r sous la forme r κ b r σ et un isomorphisme de groupes de J{J

sur G (voir la section 2). Le foncteur :

r

τ ÞÑ r κ b r τ

d´efinit une bijection entre les repr´esentations irr´eductibles cuspidales de G et les types simples maximaux de G d´efinis sur J et contenant κ. D’apr`es [11, Theorem 7.2], sa r´eciproque induit une r bijection de T pJ, r λq sur l’ensemble C p r σq des orbites, sous l’action du groupe de Galois Galp k

{ k

q, de repr´esentations irr´eductibles cuspidales r σ

de G telles que :

(1) les repr´esentations r σ

et r σ sont congruentes modulo ℓ ;

(2) les orbites de σ r

et de r σ sous Galp k

{ k

q ont le mˆeme cardinal.

Si x P X correspond ` a r σ, alors (2.2) induit une bijection entre C p σq r et l’ensemble K pxq des orbites des ´el´ements x

P X, sous le groupe de Galois Γ de k sur k

, tels que :

(1) x

et x ont la mˆeme partie ℓ-r´eguli`ere ;

(2) les Γ-orbites de x

et de x ont le mˆeme cardinal, c’est-` a-dire que degpx

q “ degpxq.

Remarquons que la condition 2 ci-dessus signifie que x, x

ont le mˆeme stabilisateur dans Γ. En prenant l’intersection avec Galp k { k

q, on voit que tout x

P k

v´erifiant la condition 2 appartient automatiquement ` a X. On obtient finalement une bijection entre O p ρq r et K pxq ; on a donc prouv´e le r´esultat suivant.

Proposition 3.1. — L’ensemble O p ρq r est fini, et son cardinal tp ρq r est le nombre de Γ-orbites

des x

P k

tels que x, x

ont la mˆ eme partie ℓ-r´ eguli` ere et le mˆ eme degr´ e sur k

.

Ecrivons ´ x sous la forme yz o` u y est d’ordre premier ` a ℓ et z d’ordre une puissance de ℓ (donc y est la partie ℓ-r´eguli`ere de x). L’application :

(3.1) z

ÞÑ yz

est une bijection entre la composante ℓ-primaire P

de k

et l’ensemble des x

P k

dont la partie ℓ-r´eguli`ere est y. ´ Etant donn´es z

P P

et k P Z, remarquons que :

(3.2) pyz

q

“ yz

ô y

“ y et pz

q

“ z

.

Notons k

l’extension de k

engendr´ee par y. Pour z

P P

, notons rrz

ss son orbite sous le groupe de Galois de k sur k

et :

deg

pz

q “ cardprrz

ssq

son degr´e sur k

. D’apr`es (3.2), les ´el´ements yz, yz

ont le mˆeme degr´e sur k

si et seulement si :

(3.3) deg

pzq “ deg

pz

q.

Notons P pzq l’ensemble des rrz

ss pour z

P P

v´erifiant (3.3). On a prouv´e le r´esultat suivant.

Lemme 3.2. — L’application (3.1) induit une bijection de P pzq sur K pxq.

Il ne nous reste plus qu’`a calculer deg

p z q en fonction des invariants associ´es ` a ρ. Comme on r a ap ρq “ r apr σq et kpρq “ kpσq, et compte tenu de (2.3) et (2.5), on en d´eduit que :

(3.4) deg

p z q “ degpxq

degp y q “ k p ρ q a p ρ r q que l’on note wp ρq “ r wp r σq. On obtient donc le r´esultat suivant.

Lemme 3.3. — L’entier wp ρqtp r ρq r est le nombre de z

P P

de degr´ e wp ρq r sur k

.

Compte tenu de la relation np ρqsp r ρq “ r f p ρq r (voir la section 2), l’extension de k

de degr´e wpr ρq est de cardinal :

q

.

On en d´eduit l’in´egalit´e tp ρq ď r cp ρq, et cette in´egalit´e est une ´egalit´e si et seulement si r wp ρq “ r 1, c’est-` a-dire si et seulement si ρ r est ℓ-supercuspidale. Ceci met fin ` a la preuve du th´eor`eme 1.2.

3.2. Preuve du th´ eor` eme 1.3

Poussons maintenant plus loin les calculs dans le cas o` u r

pr ρ q n’est pas irr´eductible et super- cuspidale, c’est-` a-dire que w “ wp ρq ą r 1. Notons Q le cardinal de k

et, pour tout n ě 1, notons f p n q “ f

p n q le nombre de z

P P

de degr´e n sur k

. D’apr`es le lemme 3.3, on a donc :

(3.5) tp ρq “ r f pwq

w .

Notons v la valuation ℓ-adique sur Z, et notons k

l’extension de k

de degr´e w contenue dans k ; en partitionnant k

selon le degr´e de ses ´el´ement sur k

, on obtient l’´egalit´e :

ℓ

“ ÿ

n|w

f pnq.

Par inversion de M¨obius, on a :

f pwq “ ÿ

n|w

µ

´ w n

¯

ℓ

o` u µ d´esigne la fonction de M¨obius. Notons w

le plus grand diviseur de w premier ` a ℓ.

Lemme 3.4. — L’ordre de Q dans p Z { ℓZ q

est ´ egal ` a w

.

D´ emonstration. — L’ordre de z est de la forme ℓ

, r ě 0. Comme w ą 1, on d´eduit que r ě 1.

La condition deg

pzq “ w signifie que l’ordre de Q dans pZ{ℓ

Zq

est ´egal ` a w. En projetant sur pZ{ℓZq

, on en d´eduit que l’ordre de Q dans pZ{ℓZq

est ´egal au plus grand diviseur de w premier ` a ℓ, c’est-` a-dire w

.

On a donc :

f pwq “ ÿ

tďvpwq

ÿ

n|w0

µpℓ

qµ ´ w

n

¯ ℓ

t

´1q

. Si vpwq “ 0, on a w “ w

ą 1 et cela donne simplement :

f p w

q “ ÿ

n|w⁰

µ ´ w

n

¯

ℓ

. On trouve que :

f p w

q “ ℓ

` ÿ

n|w0 n‰w0

µ ´ w

n

¯

“ ℓ

´ 1.

Supposons maintenant que vpwq ě 1. Cela donne : f pwq “ ÿ

n|w⁰

µ ´ w

n

¯ ℓ

vpwq

´1q

´ ÿ

n|w⁰

µ ´ w

n

¯ ℓ

vpwq´1

´1q

“ f

Q^ℓvpwq

pw

q ´ f

Q^ℓvpwq´1

pw

q.

Comme Q a le mˆeme ordre que Q

, k ě 0, dans pZ{ℓZq

, ` a savoir w

, on trouve que : f pwq “ ℓ

v´1q

´ ℓ

v´1

´1q

“ ℓ

pℓ ´ 1q.

On trouve ainsi le r´esultat annonc´e, en remarquant que cpr ρq est ´egal ` a ℓ

. 3.3. Lien avec la formulation de Vign´ eras et Dat

Dans ce paragraphe, nous allons reformuler le th´eor`eme 1.2 sous une forme analogue ` a celles de Vign´eras [13, Proposition 2.3] et Dat [4, Proposition 2.3.2].

Fixons une uniformisante ̟ de F et, pour toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere ρ r de G, notons O p ρ, ̟q r l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-adiques enti`eres de G qui sont congrues ` a ρ r et dont le caract`ere central prend la mˆeme valeur que celui de r ρ en ̟. Soit Cp ρq r la plus grande puissance de ℓ divisant :

md

np ρq r ¨ pq

´ 1q.

On a le r´esultat suivant.

Proposition 3.5. — Soit ρ r une Q

-repr´ esentation irr´ eductible cuspidale et enti` ere de G. Alors l’ensemble O p ρ, ̟q r est fini, de cardinal not´ e Tp ρq, et on a : r

Tp ρq ď r Cp ρq r

avec ´ egalit´ e si et seulement si ρ r est ℓ-supercuspidale.

D´ emonstration. — D’apr`es le th´eor`eme 1.2, il suffit de prouver que Tp ρq r est le produit de tp ρq r par la plus grande puissance de ℓ divisant mdnp ρq r

. Commen¸cons par remplacer la correspon- dance bijective (2.1) par la bijection :

ρ Ø pJ, Λq

entre classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles cuspidales de G et classes de conju- gaison (sous G) de types simples maximaux ´etendus de G (voir [10, Th´eor`eme 3.11]).

Soit pJ, λq r un type simple maximal contenu dans la Q

-repr´esentation irr´eductible cuspidale ρ, r et soit r J son normalisateur dans G. D’apr`es [10, Proposition 3.1], il y a une unique repr´esentation Λ de r r J prolongeant r λ dont l’induite ` a G est isomorphe `a ρ. Notons Λ la r´eduction modulo r ℓ de Λ, qui est un prolongement de r λ ` a r J.

Soit ρ r

une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere de G. Pour qu’elle soit con- grue ` a ρ, il faut et il suffit qu’elle contienne un type simple maximal ´etendu r p J r

, Λ r

q tel que J r

soit ´egal ` a r J et dont la r´eduction modulo ℓ, not´ee Λ

, soit ´egale ` a Λ. L’entier Tp ρq r est donc le nombre de classes de G-conjugaison de p r J

, Λ r

q tels que :

r J

“ J, r Λ

“ Λ et Λ r

p̟q “ Λp̟q. r Fixons une uniformisante ̟

de D

et posons :

r

̟ “ p̟

q

.

Le groupe r J est engendr´e par J et ̟. L’entier Tp r ρq r est ´egal au produit tp ρqt r

p ρq r o` u t

p ρq r est le nombre de repr´esentations Λ r

de J r prolongeant r λ telles que :

Λ

p ̟q “ r Λp ̟q r et Λ r

p̟q “ Λp̟q. r

Le nombre de repr´esentations irr´eductibles de r J prolongeant λ et prenant une valeur fix´ee en ̟ est ´egal ` a l’indice de F

J dans r J, c’est-` a-dire ` a :

(3.6) e pE : Fq s pr ρ q “ md

npr ρq ,

o` u epE : Fq d´esigne l’indice de ramification de E sur F. Compte tenu de la condition suppl´emen- taire sur Λ

p ̟q, on trouve que r t

p ρq r est la plus grande puissance de ℓ divisant (3.6).

4. Preuve du th´ eor` eme 1.4

Soit ρ une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire de G et soit pJ, κ b σq un F

-type simple maximal dans la classe de G-conjugaison correspondant ` a rG, ρs. D’apr`es [10], pour que ρ se rel`eve ` a Q

, il faut et suffit que σ, consid´er´ee comme une repr´esentation irr´eductible cuspidale de G, se rel`eve en une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique r σ telle que spr σq “ spσq.

Soit y P Y correspondant ` a σ par (2.4). Pour qu’une telle repr´esentation r σ existe, il faut et il suffit donc, d’apr`es (3.4), qu’il existe un x P X dont la partie ℓ-r´eguli`ere soit y et qui v´erifie :

degpxq “ kpσq ¨ degpyq.

Si ρ (donc σ) est supercuspidale, c’est-` a-dire si l’on a kpσq “ 1, alors x “ y P X v´erifie les con-

ditions requises, et on retrouve bien le fait que toute repr´esentation irr´eductible supercuspidale

ℓ-modulaire se rel`eve.

Supposons maintenant que ρ est cuspidale mais pas supercuspidale, c’est-` a-dire que kpσq ą 1.

Notons :

ε p ρ q

l’ordre de q

dans pZ{ℓZq

(voir le paragraphe 2.1 pour la d´efinition de l’entier npρq). Soit ν le caract`ere non ramifi´e ℓ-modulaire de G obtenu en composant la norme r´eduite de G sur F

, la valuation de F

dans Z (envoyant une uniformisante sur 1) et le morphisme envoyant 1 sur l’inverse de q modulo ℓ.

Lemme 4.1. — Soit un entier i P Z. Pour que ρν

“ ρ, il faut et il suffit que ε p ρ q divise i.

D´ emonstration. — D’apr`es [10, §3.4], les repr´esentations ρν

et ρ sont isomorphes si et seulement si ν

“ 1. L’ordre de ν ´etant ´egal ` a l’ordre de q dans pZ{ℓZq

, not´e e, ceci ´equivaut ` a dire que e divise npρqi. Il ne reste plus qu’`a remarquer que :

εpρq “ e pe, npρqq pour conclure.

Corollaire 4.2. — On a ρν » ρ si et seulement si ε p ρ q “ 1.

Ainsi le th´eor`eme 1.4 peut ˆetre reformul´e de la fa¸con suivante.

Th´ eor` eme 4.3. — Soit ρ une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale non supercuspidale ℓ-modu- laire de G. Pour que ρ se rel` eve ` a Q

, il faut et il suffit que les entiers spρq et kpρq soient premiers entre eux et que εpρq “ 1.

D’apr`es le paragraphe 2.1, l’entier npρq est le plus grand diviseur de f pρqspρq

premier `a ℓ.

Par cons´equent, εpρq est ´egal ` a l’entier εpσq du paragraphe 2.2.

Lemme 4.4. — Pour toute repr´ esentation irr´ eductible cuspidale ℓ-adique r σ relevant σ, le plus grand diviseur de apr σq premier ` a ℓ est εpσq.

D´ emonstration. — Fixons un x P X correspondant ` a r σ et de partie r´eguli`ere y. Comme ρ (donc σ) n’est pas supercuspidale, on a x ‰ y. Le r´esultat suit alors du lemme 2.7.

Posons f pσq “ f pρq (voir le paragraphe 2.1).

Lemme 4.5. — Soit z P P

d’ordre ℓ

, r ě 0. On a yz P X si et seulement si l’ordre de :

(4.1) q

dans pZ{ℓ

Zq

est ´ egal ` a kpσq.

Comme y P Y, il y a un z P P

(non trivial puisque σ n’est pas supercuspidale) tel que yz P X.

Il y a donc un r ě 1 tel que l’ordre de (4.1) dans pZ{ℓ

Zq

est ´egal ` a kpσq. En r´eduisant modulo ℓ, on en d´eduit que son ordre dans pZ{ℓZq

est le plus grand diviseur de kpσq premier ` a ℓ.

Lemme 4.6. — Soit z P P

d’ordre ℓ

, r ě 0. On a degp yz q “ k p σ q ¨ degp y q si et seulement si l’ordre de :

(4.2) q

dans pZ{ ℓ

Zq

est ´ egal ` a k p σ q .

Supposons d’abord que ρ se rel`eve ` a Q

. D’apr`es les lemmes 2.6 et 2.7, on trouve que kpρq est premier ` a spρq et que εpρq “ 1.

Inversement, supposons que les conditions du th´eor`eme 1.4 sont v´erifi´ees. Soit z P P

d’ordre ℓ

, r ě 1, tel que yz P X, et notons n l’ordre de (4.2) dans pZ{ℓ

Zq

. D’apr`es le lemme 4.5, on a :

(4.3) n

pn, spσqq “ k p σ q . L’hypoth`ese εpρq “ 1 implique que :

(4.4) n

pn, kpσqq “ ℓ

, t ě 0.

Si ℓ divise kpσq, alors spσq est premier ` a ℓ, et (4.3) et (4.4) impliquent que n “ kpσq.

En revanche, si kpσq est premier ` a ℓ, ´ecrivons n “ kpσqn

avec n

“ pn, spσqq “ ℓ

. On peut remarquer que t “ vpnq. Alors l’´el´ement :

z

P P

qui est d’ordre ℓ

, v´erifie la condition du lemme 4.6 car l’ordre de (4.2) dans pZ{ℓ

Zq

est ´egal ` a nℓ

“ kpσq. Comme kpρq est premier ` a spρq, il v´erifie aussi la condition du lemme 4.5. Ceci met fin ` a la preuve du th´eor`eme 1.4.

Remarque 4.7. — Posons k “ kpσq et s “ spσq, et notons τ l’unique repr´esentation irr´educti- ble supercuspidale de GL

p k

q telle que σ soit un sous-quotient de l’induite parabolique de τ b ¨ ¨ ¨ b τ . Le plus grand diviseur de k premier ` a ℓ est εpτ qps, εpτ qq

et εpσq est ´egal ` a ps, εpτ qq.

La condition du th´eor`eme 1.4 s’´ecrit donc εpρq “ 1 et minpvpkq, vpsqq “ 0.

5. Preuve du th´ eor` eme 1.5

Soit ρ une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire de G, et soit a ą 1. On cherche ` a quelle condition ρ admet un a-rel`evement, c’est-` a-dire une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique enti`ere ρ r de G dont la r´eduction modulo ℓ contienne ρ et soit de longueur a. Il faut et suffit pour cela que σ se rel`eve en une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique r σ telle que spσq “ a ¨ spr σq. D’apr`es les lemmes 2.6 et 2.7, on a des conditions n´ecessaires :

(1) a “ εpσqℓ

avec u ě 0.

(2) a divise spσq et spσqa

est premier ` a kpσq.

Supposons donc qu’elles sont v´erifi´ees.

Remarque 5.1. — En particulier, si σ n’est pas supercuspidale, les lemmes 2.6 et 2.7 montrent que ε p σ q divise s p σ q.

Soit y P Y correspondant ` a σ par (2.4). Pour qu’une telle repr´esentation r σ existe, il faut et il suffit donc, d’apr`es (3.4), qu’il existe un x P X dont la partie ℓ-r´eguli`ere soit y et qui v´erifie :

degpxq “ akpσq ¨ degpyq.

Comme y P Y, il y a un z P P

(non trivial car a ą 1) tel que yz P X. Il y a donc un entier r ě 1

tel que l’ordre de (4.1) dans pZ{ℓ

Zq

est ´egal ` a kpσq. En r´eduisant modulo ℓ, on en d´eduit que

son ordre dans pZ{ ℓZq

est le plus grand diviseur de k p σ q premier ` a ℓ.

Lemme 5.2. — Soit z P P

d’ordre ℓ

, r ě 0. On a degpyzq “ akpσq ¨ degpyq si et seulement si l’ordre de :

(5.1) q

dans pZ{ℓ

Zq

est ´ egal ` a akpσq.

Soit z P P

d’ordre ℓ

, r ě 1, tel que yz P X, et soit n l’ordre de (5.1) dans pZ{ℓ

Zq

. D’apr`es le lemme 4.5, on a :

(5.2) n

pn, spσqq “ kpσq.

En particulier, on a :

(5.3) vpnq “ vpkq ` minpvpnq, vpspσqqq.

Si l’on note n

le plus grand diviseur de n premier ` a ℓ, on a :

(5.4) n

p n

, k p σ qq “ εpσq.

On d´eduit de l’hypoth`ese sur a que pn

, spσqq “ εpσq, puis que n

“ k

pσqεpσq, o` u k

pσq d´esigne le plus grand diviseur de kpσq premier ` a ℓ.

On cherche un t P t1, . . . , vpq

´1qu tel que l’ordre de (5.1) dans pZ{ℓ

Zq

soit ´egal ` a akpσq.

D’apr`es l’hypoth`ese sur a, cela impliquera automatiquement que l’ordre de (4.1) est kpσq. Soit : t

“ vpQ

´ 1q.

On a donc :

vpq

´ 1q “ t

` vpspσqq ` vpkq.

Posons t “ t

` u ` v p k q (on a bien t ď v p q

´ 1q car u ď v p s p σ qq). Alors l’ordre de (5.1) dans pZ{ℓ

Zq

est ´egal ` a n

ℓ

“ akpσq.

Remarque 5.3. — Compte tenu de la remarque 4.7, la condition du th´eor`eme 1.5 se r´esume ` a u P t0, . . . , v p s p ρ qqu et minp v p k p ρ qq , v p s p ρ qq ´ u q “ 0.

6. Preuve du th´ eor` eme 1.6

Dans toute cette section, on fixe des entiers n, w ě 1 tels que w divise n.

6.1.

Dans ce paragraphe, nous rappelons bri`evement quelques attributs des F-endoclasses de carac- t`eres simples dont nous aurons besoin. Pour plus de d´etails, nous renvoyons le lecteur ` a [1].

Soit A une F-alg`ebre centrale simple de dimension finie, soit rΛ, n

, 0, βs une strate simple de A et soit θ P C pΛ, 0, β q un caract`ere simple. Le couple prΛ, n

, 0, β s, θq d´efinit un ps-caract`ere dont l’endo-classe – qui est une classe d’´equivalence de ps-caract`eres – est not´ee Θ. Les entiers :

f pΘq “ fpFrβs : Fq, degpΘq “ rFrβs : Fs,

c’est-` a-dire le degr´e r´esiduel et le degr´e de Frβs sur F respectivement, ne d´ependent pas du choix de β mais uniquement de Θ. Le nombre rationnel positif :

l pΘq “ ´ v

p β q ,

o` u v

d´esigne la valuation sur Frβs normalis´ee en donnant la valeur 1 ` a une uniformisante de F, ne d´epend pas non plus du choix de β mais uniquement de Θ.

Si ρ est une R-repr´esentation irr´eductible cuspidale de A

(ici R d´esigne Q

ou F

), il existe un couple prΛ, n

, 0, βs, θq comme ci-dessus tel que la restriction de ρ au pro-p-sous-groupe H

pβ, Λq contienne θ. L’endoclasse Θ d´efinie par ce couple ne d´epend que de la classe d’isomorphisme de la repr´esentation ρ, et le nombre rationnel lpΘq ě 0 est le niveau normalis´e (ou aussi profondeur) de ρ.

6.2.

Soit D une F-alg`ebre centrale simple de degr´e r´eduit d divisant n, et soit Θ une F-endoclasse de degr´e g divisant nw

. On d´efinit un entier m ě 1 par la relation md “ n et on pose :

d

“ d

pd, gq , m

“ m p d, g q g .

Pour tout u ě 1 divisant m, notons A pD, Θ, w, u q l’ensemble des classes inertielles de repr´esen- tations irr´eductibles cuspidales ℓ-adiques ρ r de GL

pDq telles que :

(1) wp ρq “ r w ;

(2) l’endoclasse de r ρ est ´egale ` a Θ.

Remarquons que, pour qu’il y ait une repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-adique ρ r de GL

pDq d’endoclasse Θ, il faut et il suffit que l’entier u soit de la forme :

(6.1) u “ g

pd, gq ¨ u

o` u u

est un diviseur de m

. Posons maintenant :

(6.2) A pD, Θ, wq “ ď

u|m

A pD, Θ, w, uq

et notons A

pD, Θ, w q l’ensemble des r´eductions mod ℓ des ´el´ements de (6.2). L’endoclasse Θ

´etant fix´ee, cet ensemble est fini, et son cardinal sera not´e a

pD, Θ, wq.

6.3.

Dans ce paragraphe, on suppose que Θ est la F-endoclasse nulle 0, et on va calculer a

pD, 0, w q.

Etant donn´e un entier ´ u ě 1 divisant m, toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ℓ-modulaire σ de GL

p k

q d´efinit un type simple maximal de niveau 0 de GL

pDq — donc une classe inertielle Ωp σ q de repr´esentations cuspidales de niveau 0 de GL

pDq. L’application :

(6.3) σ ÞÑ Ωpσq

est surjective (toutes les classes inertielles de repr´esentations cuspidales de niveau 0 de GL

p k

q sont atteintes) et ses fibres sont les classes de conjugaison sous le groupe de Galois de k

sur k

. Lemme 6.1. — Soit σ une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale ℓ-modulaire de GL

p k

q. Alors Ωpσq appartient ` a A

pD, 0, wq si et seulement s’il existe une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale ℓ-adique σ r de GL

p k

q dont la r´ eduction modulo ℓ soit σ et telle que wpr σq “ w.

Notant B

pq, m, d, wq l’image r´eciproque de A

pD, 0, wq par (6.3), qui est d´ecrite par le lemme 6.1, on obtient ainsi :

a

pD, 0, wq “ ÿ

σ

spσq

d

o` u σ d´ecrit l’ensemble B

pq, m, d, wq.

Fixons une clˆ oture alg´ebrique k de k

et notons k l’extension de k

de degr´e nw

incluse dans k . (Attention ! Cette extension k de k

ne co¨ıncide avec l’extension ainsi not´ee dans la section 2 que si w “ 1.) Pour tout y P k

, posons :

degpyq “ degr´e de y sur k

,

ǫ pyq “ ordre de q

dans pZ{ℓZq

.

et notons Y

pq, n, wq l’ensemble des y P k

, d’ordre premier ` a ℓ, tels que ǫ pyq soit ´egal ` a w

, le plus grand diviseur de w premier ` a ℓ. Nous allons d´efinir une application surjective :

Y

pq, n, wq Ñ B

pq, m, d, wq d´ependant du choix de D.

Soit y P Y

p q, n, w q. Notons :

rpyq “ degpyq pdegpyq, dq

le degr´e de y sur k

et τ

pyq la repr´esentation irr´eductible supercuspidale ℓ-modulaire du groupe GL

p k

q correspondant ` a y par (2.4). Posons spyq “ sp τ

pyqq et :

kpyq “ w pw, spyqq . On a le lemme suivant.

Lemme 6.2. — Il existe une unique repr´ esentation irr´ eductible cuspidale : σ

pyq

dont le support supercuspidal soit ´ egal ` a k p y q ¨ τ

p y q .

D´ emonstration. — D’apr`es [12, III.2.5], il suffit de prouver que le plus grand diviseur de k pre- mier ` a ℓ, not´e k

, est ´egal ` a l’ordre de q

dans pZ{ℓZq

. Comme on a ǫ pyq “ w

d’une part et r p y q d “ s p y q degp y q d’autre part, cet ordre est ´egal ` a :

w

pw

, spyqq “ k

, ce qui met fin ` a la d´emonstration.

Lemme 6.3. — Pour tout y P Y

pq, n, wq, la repr´ esentation σ

pyq appartient ` a B

pq, m, d, wq.

D´ emonstration. — Il faut d’abord prouver que le degr´e de σ

p y q divise m. D’abord, on a : spyq “ d

pdegpyq, dq .

Par hypoth`ese sur y, il existe un entier t ě 1 tel que n “ wt ¨ degp y q. On en d´eduit que : rpyq “ m

pm, wtq et spyq “ wt

pm, wtq et kpyq “ pm, wtq ppm, wtq, tq ,

puis que l’entier degp σ

pyqq “ kpyqrpyq divise m. D ’apr`es le d´ebut de la section 5, il ne reste qu’`a v´erifier que a “ pw, spyqq divise spyq et que spyqa

“ spyqpw, spyqq

est premier ` a kpyq, ce qui est imm´ediat.

Ceci d´efinit une application σ

: y ÞÑ σ

p y q de Y

p q, n, w q dans B

p q, m, d, w q.

Proposition 6.4. — L’application σ

est surjective, et ses fibres sont les classes de conjugaison sous l’automorphisme de Frobenius x ÞÑ x

.

D´ emonstration. — Soit σ P B

pq, m, d, wq. Il y a une unique repr´esentation irr´eductible super- cuspidale ℓ-modulaire τ p σ q telle que le support supercuspidal de σ soit ´egal ` a k p σ q ¨ τ p σ q. Soit y P k

un param`etre de James pour τ pσq. Il est d’ordre premier ` a ℓ et v´erifie ǫ pyq “ w

, mais il est a priori dans une extension de k

de degr´e nkpσq

. Toutefois, par hypoth`ese sur σ, l’entier wk p σ q

divise s p τ q. On en d´eduit que y est dans une extension de k

de degr´e nw

, c’est-` a-dire que y P Y

pq, n, wq, ce qui prouve la surjectivit´e. Ensuite, on a :

(6.4) degpσq “ degpyq

pdegpyq, dq ¨ w

pw, spyqq et kpσq “ pw, degpσqq “ w pw, spyqq . Il s’ensuit que l’application σ ÞÑ τ pσq est injective.

On en d´eduit que :

a

pD, 0, wq “ ÿ

y

sp σ

pyqq

d ¨ 1

degp σ

pyqq

“ ÿ

y

1 degpyq (o` u y d´ecrit Y

pq, n, wq), valeur que l’on note y

pq, n, wq.

6.4.

Supposons maintenant que Θ est quelconque, de degr´e g divisant nw

. On pose : qpΘq “ q

, npΘq “ m

d

“ n

g ,

o` u f pΘq d´esigne le degr´e r´esiduel de l’endoclasse Θ. Fixons un entier u de la forme (6.1) et une r´ealisation prΛ, n

, 0, β s , θ q, o` u θ est un caract`ere simple (ℓ-modulaire) attach´e ` a la strate simple rΛ, n

, 0, βs de M

pDq. On suppose que l’intersection entre l’ordre h´er´editaire associ´e ` a Λ et le centralisateur de Fr β s dans M

pDq est maximal. Fixons aussi une β-extension κ de θ et posons J “ Jpβ, Λq. L’application σ ÞÑ κ b σ induit une surjection :

(6.5) σ ÞÑ rJ, κ b σ s Ø rGL

pDq , ρ s

entre classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-modulaires du groupe GL

p k

q et classes inertielles de repr´esentations irr´eductibles cuspidales ℓ-modulaires du groupe GL

pDq d’endoclasse Θ. L’image d’une repr´esentation σ par (6.5) appartient ` a A

pD, Θ, wq si et seulement si σ est dans B

pqpΘq, m

, d

, wq, et l’ensemble des ant´ec´edents d’une classe inertielle rGL

pDq , ρ s par (6.5) est de cardinal s p ρ q. On obtient ainsi :

a

pD, Θ, w q “ ÿ

σ

s p σ q

d

“ y

p q pΘq , n pΘq , w q

(o` u σ d´ecrit l’ensemble B

p q pΘq , m

, d

, w q).