Le PRODUIT VECTORIEL

Prof/ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 1 Exercices avec solutions : Le produit vectoriel

PROF : ATMANI NAJIB 2BAC série science expérimental filière : svt+pc http:// xriadiat.e-monsite.com

Exercice1: u et v deux vecteurs tels que : 1

u  et v 3 et

 

^{u v; }₃

Calculer : uv Solution :

3 3 3 sin 1 3sin 3

3 2 2

u v u  v       

Exercice2: dans l’espace muni d’un repère orthonormée directe



^{0; ; ;i j k}



on considère les vecteurs : ^u



^1;1;1



^{et v}



^{2;1; 2}



Calculer : uv Solution :

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 0

u v i j k i j  k i k Exercice3: u i 2jk etv3i 2jk Calculer : uv

Solution :

2 2 1 3 1 3

4 8

1 1 1 1 2 2

u v  i j k j k

     

  

Exercice4: dans l’espace muni d’un repère orthonormée directe



^{0; ; ;i j k}



on considère les points^A



^{0;1; 2}



^etB



^{1;1; 0}



^{et C}



^1;0;1



1)Déterminer les coordonnées du vecteur ABAC et vérifier que les points

A et B et C sont non alignés

2)Calculer la surface du triangle ABC 3)Déterminer une équation cartésienne du plan



^ABC



Solution :1) AB x



B xA^;yB yA^;zB zA





^{1; 0; 2}



AB  et ^AC



^{1; 1; 1 }



0 1 1 1 1 1

2 1 1

2 1 2 1 0 1

AB AC  i j k i j k

       

    

0

ABAC  Donc les points A et B et C sont non alignés

2) 1

ABC 2

S  ABAC

     

^{2 2 1 2 1 2 6}

ABAC       

Donc : ⁶

ABC 2

S 

3) AB AC    2 1i j 1k un vecteur normal du plan ABC

Donc une équation cartésienne du plan ABC est de la forme :

0 axbycz d



^{2; 1; 1}



ABAC    donc a 2 et b 1 et c 1 Donc : 2 x 1y  1z d 0



^ABC



Et on a : ^A



^{0;1; 2}

  

^{ P donc :} 0 1 2   d 0 donc d 3

Donc



^ABC



^{: 2 x 1y  1z 3 0}

Donc



^ABC



^{: 2x   y z 3 0}

Exercice5L’espace est muni d'un repère orthonormé.

Quelle est l'intersection des plans d'équations respectives

 

^{P x y 2z 1 0 et}

 

^{P 2x   y z 2 0}

Solution :ⁿ



^{1; 1; 2}



^{et n}



^{2;1; 1}



deux vecteurs normaux respectivement de

 

^{P et}

 

P 

On a : 1 1 1 2 1 2

2 1 2 1 1 1

u n n  i j k

    

  

Donc : u    n n i 5j3k0

les plans

 

^{P et}

 

^{P } sont sécants suivant une droite

 

^D

et ^u



^1;5;3



est un vecteur directeur de

 

^D

et la droite

 

^D passe par ^A



^1;5;3



(il suffit de donner par exemple z0 et résoudre le

système et calculer xet y)

Donc : une représentation paramétrique de

 

^D est

 

^{D :} 5¹ 3

x t

y t z t

  

 

 





^t



Le PRODUIT VECTORIEL

Prof/ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 2 Exercice6 : L’espace est muni d'un repère

orthonormé. Calculer la distance du point



^1;0;1



M  à la droite

 

^D dont une représentation paramétrique est :

 

^{D :}

1 5 3

x t

y t z t

  

 

 





^t



Solution : la droite

 

^D passe par : ^A



^{1; 1; 0}



et ^u



^{2; 1; 2}



est un vecteur directeur de

 

^D

et ^AM



^2;1;1



1 1 2 2 2 2

3 6

1 2 1 2 1 1

AM u  i  j  k i j

     



Donc : AM u 9 36 3 5 et u  4 1 4 3   Donc :



^;

  

^{3 5 5}

d M D  3 

Exercice7 soit ABCDEFGH un cube dans L’espace orienté muni d'un repère orthonormé directe



^{A AB AC AE; ; ;}



Soit I milieu du segment

 

^EF et K centre de gravité du carré ADHE

1)a)Montrer que BKIGIA

b) En déduire la surface du triangle IGA 2) on suppose que ABCD est un quadrilatère convexe de diagonales qui se coupent en T et soit  un point tel que : D BT

2)a) comparer les distances : BD et T et comparer la surface des triangles ABD et

A T

2)b) Montrer que AC  A ACBD

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien