Exercices PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS
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Exercice1 :
Résoudre dans ℝ les équations suivantes a) 2cosx 2 b) cos 1
x 2 c)cos2x 1 2 Solution: a) 2
cosx 2 ssi cos cos x 4 Donc les solutions de l’équation dans sont :
2 ; 2 /
4 4
S k k k
cos 1
x 2 ssi cos cos
x
3 ssi
cos cos
x 3
ssi cos cos 2 x 3
Donc les solutions de l’équation dans sont :
2 2
2 ; 2 /
3 3
S
k
k
k
c)cos2 1 cos2 1 0 cos 2 cos 2 0
2 2 2 2
x x x x
cosx 2 2
ou cosx 2
2 cosxcos
4 ou cosxcos 3
4 Ainsi :
3 3
2 ; 2 ; 2 ; 2
4 4 4 4
S k k k k avec k
Exercice2 :
Résoudre dans ℝ les équations suivantes :a) sin 3
x 2 b) 1
sinx 2 c) 2 1 sin x2
Solution: a) sin 3
x 2 ssi sin sin x
3 Donc les solutions de l’équation dans sont :2 ; 2 /
3 3
S
k
k
k
2 ;2 2 /
3 3
S
k
k
k
b) 1
sinx 2ssi sin sin x
6ssi sin sin
x 6 L'équation a pour solution
6 2k
et2 7 2
6 k 6 k
où k
Donc les solutions de l’équation dans sont :
2 ;7 2 /
6 6
S
k
k
k
c)sin2 1 sin2 1 0 sin 2 sin 2 0
2 2 2 2
x x x x
sin 2 x 2
ou 2
sinx 2 sin sin x
4 ou sin sin x 4
Ainsi : 2 ; 2 ;5 2 ;3 2
4 4 4 4
S k k k k avec k
Exercice3 :
Résoudre dans ,
l'équation : cos 2 3x 2
Solution: Étape 1 : utiliser le cercle trigonométrique et/ou le tableau de valeurs remarquables afin de retrouver une valeur dont le cosinus vaut 3
2
Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses
on peut dire que 3
2 est le cosinus de 6
par exemple.Étape 2 : Utiliser ce résultat pour écrire l'équation proposée sous la forme " "
cos 2 3
x 2 ssi cos 2 cos x
6 On applique alors la propriété
Donc on a : 2 2
x
6 k
ou 2 2 x
6 k
Je divise par 2 chaque membre de chaque égalité, j'obtiens
x12
k
oux 12
k
Étape3Mais il ne va falloir garder que les valeurs de dans l'intervalle imposé c'est à dire dans
,
on a deux méthodes soit encadrement ou on donnant des valeurs a
Pour la première série de valeurs : x12
k
avec dans ZTRIGONOMÉTRIE2
Prenons par exemple la valeur et remplaçons :
on obtient 2
x12
; cette valeur n'appartient pas à ,
; il est donc évident que des valeursde inférieures à -2 ne conviendront pas non plus.
Par contre, si je choisis : on obtient
x12
; cette valeur appartient à ,
.Il s'agit donc de trouver toutes les valeurs de telles que les solutions trouvées appartiennent bien à l'intervalle imposé, en appliquant cette démarche de manière systématique.
pour k
1
1 1112 12
x convient car appartient à
,
pour k
0
2 x 12
convient car appartient à
,
pour k
1
1312 12
x ne convient pas car n'appartient pas à
,
Il est inutile de poursuivre pour la première série de valeur (car si pour , la valeur trouvée n'appartient plus à l'intervalle, il en sera de même a fortiori pour des valeurs supérieures de )
Faisons de même pour la deuxième série de valeurs x 12
k
avec dans Zpour k
1
1312 12
x
ne convient pas car n'appartient pas à ,
pour k
0
3 x 12
convient car appartient à
,
pour k
1
1112 12
x
convient pas car appartient à ,
pour k
2
2x 12
ne convient pas car n'appartient pas à ,
Donc L'ensemble solution de l’équation dans
,
estdonc: 11 11
; ; ;
12 12 12 12
S
Exercice4 :
1) Résoudre dans ℝ l'équations suivantes4 tan x 4 0
2) Résoudre dans 5 2 ; 2
l'équations suivantes :
2 2 sin x 2 0
Solution:1) on a
4 tan x 4 0
est définie dans ssi x
2k
avec k un nombre relatif Donc 2 ;
D
k
k
4 tan x 4 0
ssitan x 1
ssitan tan
x 4
ssi tan tanx
4Donc les solutions de l’équation dans sont : 4 /
S
k
k
2)
2 2 sin x 2 0
ssi 2sinx 2 ssi sin sin x
4L'équation a pour solution 2
4 k
et 5
2 2
4 k 4 k
où k
Encadrement de 2
4 k
: 2 5
2 4 k 2
et
k
Donc 1 1 2 5
2 4 k 2
Donc 1 1 2 5 1
2 4 k 2 4
Donc 1 11
8 k 8
Donc 0,12 k 1, 37 et
k
Donc k
0
ou k 1
Pour k
0
on trouve 1 2 04 4
x
Pour k
1
on trouve 2 74 2 1 4
x
Encadrement de5
4
2k
: 5 52 4 2k 2
et
k
Donc 1 5 5
2 4 2k 2
Donc 1 5 5 5 2 4 2k 2 4
Donc 7 5
8 k 8
Donc 0,8 k 0, 6 et
k
Donc k
0
Pour k
0
on trouve 3 5 54 2 0 4
x
Donc 7 5
; ;
4 4 4
S
Exercice5 :
1) Résoudre dans ℝ l'équations suivantes : cos 2 cosx x
32) Résoudre dans
0 ;
l'équations suivantes :sin 2 sin
3 4
x
x
3) Résoudre dans ;
2 2
l'équations suivantes :
tan 2 1
x 5
Solution:1) on a cos 2 cos
x x
3 ssi2 2
x x
3 k
ou 2 2 x x3 kSsi 2 2
x x 3 k ou 2 2
x x
3 k
Ssi 3 2x
k
ou 29 3
x
k
et
k
2 ; 2 /
3 9 3
S
k
k
k
2) on a
sin 2 sin
3 4
x
x
ssi2 2
3 4
x
x k
ou 2 23 4
x
x k
ssi 3 2
4 3
x
k
ou 2 4 3 x
k
Donc 7 2
36 3
x
k
ou 13 12 2 x
k
Encadrement de7 2 36 3
k
: 7 2 0 36 3
k
etk
Donc 7 2
0 1
36 3
k Donc 7 29
24 k 36
Donc
0, 29 k 1, 2
et
k
Donc k
0
ou k 1
Pour k 0
on trouve 1 7x 36
Pour k
1
on trouve 2 7 2 3136 3 36
x
Encadrement de 13 12 2
x
k
0 13 2
12
k
et
k
Donc 13
0 2 1
12 k
Donc 13 1
24 k 24
Donc 0, 54 k 0, 04
et
k
Donc k n'existe pas
Donc 0. 7 31 36; 36 S
3) on a
tan 2 1
x 5
est définie ssi 2x
5 2 k
ssi 22 5 x
k
ssi 7
2x 10
k
ssi 7 20 2 x
k
Donc
7 ;
20 2
D
k
k
or on sait que :
tan 1 4
Donctan 2 tan
5 4
x
Donc 2
5 4
x
k
ssi 24 5
x
k
ssi 2 9x 20
k
ssi 9 40 2 x
k
Encadrement de 9 40 2
k
9
2 40 2 2
k
et
k
donc1 9 1
2 40 2 2
k donc 29 11
40 2 40
k
donc 29 11
40 2 40
k donc 29 11
20 k 20
Donc 1, 45 k 0, 55
et
k
Donc k
0
ou k 1
Pour k 0
on trouve 1 9x 40
Pour k
1
on trouve 2 9 1140 2 40
x
Donc 11 9
40 ;40
S
Exercice6 :
Résoudre dans
0, 2
l'inéquation suivante : 1sinx 2
Solution : sin 1
x2 ssi
sin sin
x
6
donc 5
6, 6 S
l'inéquation
,
Résoudre dans
:
7 Exercice
sin 1 x 2 :
suivante
Solution:sin 1 x 2 ssi
sin sin
x
6
donc 5
6 ; 6
S
Exercice8 :
Résoudre dans
,
l'inéquation suivante :cos 2 x 2 Solution :
cos 2
x 2 ssi cos cos x
4,
S 4 4
donc
Exercice9:
Résoudre dans , 2
l'inéquation
suivante : 1
cosx 2
Solution : cos 1
x 2 ssi cos cos
x
3, ,
2 3 3
S
Donc
Exercice10:
Résoudre dans ,
les inéquations suivantes : 1)cos x 0
2)sin
x 0
Solution : on utilise le cercle trigonométrique 1)
, ,
2 2
S
2)S 0,
Exercice11 :
Résoudre dans , S 2 2 l'inéquation suivante :tan x 1
Solution:
,
S
4 2
Exercice12:
Résoudre dans 0 ; 2
l'inéquationsuivante : 2
sinx 2
On sait que :
2
sin 4 2
et7 2
sin 4 2
L'arc
MM
en rouge correspond a tous les points M x
tq
x
vérifie 2sinx 2 Donc
sin 1
x2 ssi
sin sin
x 6
donc 5 7
0; ; 2
4 4
S
Exercice13 :
Résoudre dans ;
l'inéquation suivante :3 tan x 3 0
Solution :
On a
3 tan x 3 0
ssi
3
tan x 3
On sait que :tan 3
6 2
Les arc
MJ
etM J
en rouge correspond a tous les points M x
tqx
vérifie3 tan x 3 0
Donc
5 ; ;
6 2 6 2
S
Exercice14 :
Résoudre dans 0 ; 2
l'inéquation suivante :tan x 1 0
Solution :On a
tan x 1 0
ssitan x 1
On sait que :tan 1
4
7 M 4
5
M 4
M
6
5
M 6
M
4
5
M 4
Les arc
MJ
etM J
en rouge correspond a tous les points M x
tqx
vérifietan x 1 0
Donc5 3
; ;
4 2 4 2
S
Exercice15 :
1) a)Résoudre dans ℝ l'équations suivantes : 2 sin2 x9 sinx 5 0 et en déduire les solutions dans 0 ; 2
b) résoudre dans
0 ; 2
l'inéquation suivante : 2 sin2x9 sinx 5 02)Résoudre dans
0 ;
l'inéquation suivante : 2 cos
x 1 tan
x 1 0
Solution:1) a)on pose t
sin
x2 sin2x9 sinx 5 0 ssi 2t2 9t 5 0
On cherche les racines du trinôme 2t2 9t 5: Calcul du discriminant : = (-9) 2 – 4 x 2 x (-5) = 121 Les racines sont : 1 9 121 1
2 2 2
t
et
2
9 121 2 2 5
t
Donc
sin 1
x 2 et sinx5 Or on sait que 1 sinx1 donc l'équation sinx5 n'admet pas de solutions dans
sin 1
x 2 ssi sin sin
x
6 ssi 2x
6 k
ou 6 2x
k
ssi 2
x
6 k
ou 7 6 2x
k
etk
2 ;7 2 /
6 6
S
k
k
k
Encadrement de 2
6 k
: 0 2 2
6 k
et
k
Donc 1
0 2 2
6 k
Donc 1 13
12 k 12 Donc 0, 08 k 1, 02 et
k
Donc k
1
Pour k
1
on remplace on trouve1
2 11
6 6
x
Encadrement de7
6
2k
: 70 2 2
6
k
et
k
Donc 7
0 2 2
6 k
Donc 7 5
12 k 12
Donc
0, 5 k 0, 41
et
k
Donc k
0
on remplace on trouve 2 7 x 6
Donc 0 ; 2 11 76 ; 6 S
1) b) 2 sin2x9 sinx 5 0 ssi
2 sin 1 sin 5 0
x 2 x
Or on sait que 1 sinx1 donc 1 sinx 1 5 Donc sinx 5 0
Puisque sinx 5 0 et 20 alors
2 sin 1 sin 5 0
x 2 x
ssi
sin 1 0 x 2
ssi 1
sinx 2 ssi sin sin x
6
L'arc en rouge correspond a tous les points M x
tq
x
vérifie 1sinx 2
donc 7 11
0; ; 2
6 6
S
est définie
2 cos
x 1 tan
x 1 0
l'inéquation )
2
x
2 k
0 ;
ssi dansDonc
0 ;
D 2
2cos
x 1 0
ssi 1cosx2 ssi cos cos x
3tan
x 1 0
ssitan
x 1
ssi 3tan tan x 4
7
M
6
11
M 6
3
1 2
M4
3 M 4
1
donc 3
0; ;
3 2 4
S
« C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.
C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien
