Chapitre 4
Polynˆ omes : ´ evaluation et interpolation
4.1 Evaluation
4.1.1 Evaluation de Horner
Entr´ ee: a
0, . . . , a
n, coefficients du polynˆ ome P ; t, r´ eel.
Sortie: val = P (t) val ← a
n;
pour i de n − 1 ` a 0 faire val ← a
i+ t × val;
fpour
retourner val;
Algorithme 1: Evaluation de Horner L’algorithme est de complexit´ e lin´ eaire en n.
Exercice 4.1.1 Programmez l’´ evaluation d’Horner en Python et en xcas, verifiez avec la fonction xcas d´ eja programm´ ee.
4.1.2 Evaluation de Newton-Horner
Th´ eor` eme 4.1.2 Soit c
0, . . . , c
n−1des r´ eels (distincts ou non).
Alors les polynˆ omes P
0= 1, P
i= (X − c
0) . . . (X − c
i−1) (1 ≤ i ≤ n) forment une base de IR
n[X].
L’´ ecriture d’un polynˆ ome dans cette base s’appelle forme de Newton.
Entr´ ee: c
0, . . . , c
n−1, centres de Newton ; d
0, . . . , d
n, coefficients de Newton du polynˆ ome P ; t, r´ eel
Sortie: val = P (t) val ← d
n;
pour i de n − 1 ` a 0 faire val ← d
i+ (t − c
i) × val;
fpour
retourner val;
4.2 Le polynˆ ome d’interpolation
Th´ eor` eme 4.2.1 Soit (c
0, y
0), . . . , (c
n, y
n) une suite de points, avec les c
ideux ` a deux distincts.
Il existe un unique polynˆ ome d’interpolation de degr´ e au plus n :
L
n(x) =
n
X
i=0
y
i.
Q
0≤j≤n,j6=i
(x − c
j)
Q
0≤j≤n,j6=i
(c
i− c
j)
1
Soit f la fonction qu’on cherche ` a interpoler aux centres c
0, c
1, . . . (y
i= f (c
i)).
Le k-i` eme coefficient de Newton du polynˆ ome d’interpolation est not´ e d
k= f [c
0, . . . , c
k], et on l’appelle la diff´ erence divis´ ee relative ` a c
0, . . . , c
k.
L
n(x) =
n+1
X
k=0
d
k.P
k(4.1)
Proposition 4.2.2 On
1a f [c
0, . . . , c
n] =
X0≤i≤n
f(c
i)
Q
0≤j≤n,j6=i
(c
i− c
j)
Corollaire 4.2.3 On a : d
0= y
0, d
1= y
1− y
0c
1− c
0,
d
k= f [c
0, . . . , c
k] = f[c
1, . . . , c
k] − f [c
0, . . . , c
k−1] c
k− c
0D´ etermination des diff´ erences divis´ ees
Entr´ ee: n, entier ; c
0, . . . , c
n, centres distincts ; y
0, . . . , y
n, valeurs.
Sortie: d = (d
0, . . . , d
n), vecteur des diff´ erences divis´ ees.
pour i de 0 ` a n faire d
i← y
i;
fpour
pour i de1 ` a n faire pour j de n ` a i faire
d
j← d
j− d
j−1c
j− c
j−i;
fpour fpour
Algorithme 2: Calcul des diff´ erences divis´ ees
Majoration de l’erreur
Th´ eor` eme 4.2.4 Soit f une fonction C
n+1sur [a, b], notons L
nle polynˆ ome d’interpolation de f en n + 1 points distincts (c
i) de [a, b]. Alors, pour tout x de [a, b], il existe ξ
x∈ [a, b] tel que :
|f (x) − L
n(x)| ≤
f
(n+1)(ξ
x)
(n + 1)! .P
n+1(x)
o` u P
n+1(x) =
n
Y
i=0
(x − c
i).
Exercice 4.2.5 (Preuve du th). On pose : E
n= f − L
n, et pour un x fix´ e distinct des (c
i) dans [a, b], on pose aussi G(t) = E
n(t) − P
n+1(t)
P
n+1(x) .E
n(x). Montrer que G est C
n+1sur [a, b] et y poss` ede n + 2 z´ eros. D´ eduire le r´ esultat du th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires
Exercice 4.2.6 (Id´ ees de projets) Etudiez l’interpolation avec des points ´ egaux, ou bien ´ etudiez le cas de la dimension 2, ou de l’interpolation par morceaux. Splines.
R´ eference : Quarteroni-Sacco-Saleri : ”m´ ethodes num´ eriques”
1. en identifiant le coefficient dexn dans la formule : 4.1
