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Submitted on 1 Jan 1924
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Sur le théorème d’equivalence d’une double couche et d’une ligne de tourbillon
C. de Jans
To cite this version:
C. de Jans. Sur le théorème d’equivalence d’une double couche et d’une ligne de tourbillon. J. Phys.
Radium, 1924, 5 (12), pp.368-376. �10.1051/jphysrad:01924005012036800�. �jpa-00205169�
SUR LE THÉORÈME D’EQUIVALENCE D’UNE DOUBLE COUCHE ET D’UNE LIGNE DE TOURBILLON
Par M. C. DE JANS.
Sommaire. - L’auteur démontre une proposition qui peut être considérée comme la
réciproque du théorème d’équivalence d’un courant électrique linéaire et d’un feuillet
magnétique, ou, plus généralement, d’une double couche et d’une ligne de tourbillon.
Il montre qu’un certain système d’hypothèses générales, complété par le postulat de
l’identité des champs, conduit d’une manière univoque aux lois de Coulomb et de Biot-
Savart-Laplace. Le même groupe d’hypothèses, auquel on adjoint le postulat que le flux dû au feuillet et capté par une surface quelconque ne dépend que des contours du feuillet et de la surface, mène d’une manière univoque à la loi de Coulomb.
Les démonstrations sont basées sur le calcul vectoriel de Gibbs et l’auteur les appuie
sur deux formules probablement nouvelles.
1. On connaît d’assez nombreux théorèmes mettant en évidence des caractères sin-
guliers des lois de la Nature : en admettant certaines hypothèses, dont chacune en
particulier peut être d’une grande généralité, on démontre que leur ensemble déter- mine une loi unique s’accordant précisément avec les lois déjà déduites due l’expérience.
Joseph Bertrand, qui manifestait une prédilection marquée pour ce genre de questions, en
a donné plusieurs exemples, entre autres dans ses Leçons sur la 7"héoî-ie lïialllénïalique de professées au Collège de France. On trouvera également un certain nombre de.
théorèmes de l’espèce dans les Leçons s2c7° r Electricité et le -,IIagiiétisnie, de P. Duhe1l1.
Dans la livraison de novembre 1910 du Journal de théorique et
nous avons démontré, dans le même ordre d’idées, la proposition suivante relative à une
ligne de tourbillon fermée et à une double couche limitée, à cette ligne : ces figures étant quelconques, si l’on regarde le champ de vecteurs créé par chacune d’elles comme résultant d’actions élémentaires, l’identité de ces champs exige, moyennant quelques hypothèses très générales, que les éléments de la ligne de tourbillon agissent suivant la loi de Laplace, et
que l’agent qui recouvre les faces de la double couche obéisse à la loi de Coulomb.
Nous nous proposons de développer une démonstration nouvelle de ce théorème, en précisant mieux les hypothèses qui en assurentla validité. Nous le compléterons ensuite par
une remarque relative aux flux de vecteurs engendrés.
Pour la brièveté de l’écriture, nous fonderons les démonstrations sur la méthode vectorielle de J. W. Gibbs (1).
2. Nous aurons à faire usage de deux formules de transformation, que nous allons tout d’abord faire connaître.
Considérons, dans une région simplement connexe (R) ~ de l’espace, une ligne fermée quelconque (s) sans dérivations, et soit (f) une surface quelconque à ùeux côtés, simplement
connexe, admettant cette ligne comme contour (2).
Fixons sur la ligne (s) un sens de circulation arbitraire, et représentons par ds l’élément (1) Les vecteurs seront caractérisés par des lettres grasses. Le produit scalaire de deux vecteurs a, b
sera désigné par ab, leur produit vectoriel par [ab]. Les symboles grad, cliv, rot désigneront respectivement
un gradient, une divergence, un rotationnel.
(’-’) Une telle surface existe toujours dans les conditions énoncées. (Voir, par exemple, l’ouvrage cité de Duhem, t. 3, p. 62.)
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01924005012036800
369 vectoriel de celte ligne, c’est-à-dire un vecteur infiniment petit, d(’ longueur égale à 1 élément
’
.. d’arc ds, dirigé suivant la tangente et dont le sens coïncide avec le senx U circulation.
Représentons de même par df l’élément vectoriel de la surface (f), c’est-à-dire un vecteur
infiniment petit dirigé suivant la normale, de longueur proportionnelle à l’étendue de l’élé-
,ment superficiel d f, et dont le sens soit direct par rapport au sens de circulation sur le contour (’).
Supposons qu’à chaque point de la région (R) soit associé un vecteur A, dont les com- posantes sont des fonctions uniformes et continues des cooldonnées de ce point, à dérivées partielles continues. Soit, d’autre part, B un vecteur constant arbitraire.
On a, par le théorème de Stokes,
l’intégrale du premier membre étant étendue à la ligne (s), celle du second membre à la surface ( f). Ecrivons les identités bien connues (~) :
La première donne
’
Posons dans les deux autres a - B, b - A, puis éliminons (B B7) A entre les égalités obtenues ; il viendra, puisque B est constant,
Faisons le produit scalaire des deux membres de cette relation par le vecteur df, et transformons le dernier terme de l’égalité obtenue, au moyen de l’identité (.2); nous trou-
verons
.D’autre part, on prouve facilement l’identité
en y faisant a ~ df, b = A, c - B = CI’, elle devient t
Substituons la valeur du premier membre dans la formule (6) ; il viendra
, Portons les expressions (5) et (7) dans la formule (1), et tenons compte du fait que le vecteur B est constant et arbitraire : nous obtiendrons
(1) Le sens de circulation admis sur (s)délermineun sens de circulation sur le contour de chaque élément l superficiel de ( f,; le sens direct sur la normale à l’élément est alors le sens de progression d’un~ vis il.
droite dirigée suivant cette normale et tournant dans le sens de circulation.
V représente l’opératcur différentiel de lIamilton.
Cette relation peut encore se mettre sous les deux formes suivantes :
il suffit, pour s’en assurer, d’appliquer les identités (3) et (4) et d’observer que le vecteur
df, pouvant en chaque point être pris arbitrairement, doit être traité comme un vecteur constant dans les dérivations partielles que ces identités impliquent.
3. La formule (8) constitue la première des deux formules de transformation auxquelles
nous avons fait allusion. Pour établir la seconde, désignons par P un point quelconque de la
surface (/) ou due son contour; par NI, un point quelconque de la région (R), en supposant
toutefois qu’il soit ,situé à distance finie et différente de zéro de ( f ) et de (s). Nous affecterons d’un indice les signes grad, div, rot, pour rappeler le point par rapport aux coordonnées
duquel les dérivations partielles résumées dans ces symboles doivent être effectuées.
Soit li (r) une fonction uniforme et régulière, dépendant uniquement de la distance r des points M et P. Posons, dans la formule (10),
Il viendra, le rotationnel d’un gradient étant identiquement nul,
1
En transformant la dernière intégrale à l’aide de la formule de Gibbs (1)
nous obtenons
D’autre part, la substitution (11) transforme la formule (9) en
ou
A désignant l’opérateur différentiel de Laplace (1).
L’équation (~~) peut donc s’écrire
Telle est la seconde des deux formules que nous voulions établir (1).
4. Supposons maintenant que la courbe ~s) soit une ligne de tourbillon et que la surface
(i) supporte une double couche, et admettons les hypothèses suivantes
"
a. La surface (f) et son contour (s) satisfont aux conditions énoncées au n° 2.
b. La double couche est homogène, c’est-à-dire d’égale puissance en tous ses points ; la
(1) F.-BV. GiBBs. Scienlilie Papers,.Lonllres, etc., t. 2 (1906) p. 77. L représente un scalaire.
(2) Cn indice au symbole à est inutile, attendu qve;p F (r) - F(r).
3)Cette relation ne diffère pas de l’équation (3) de l’article prérappelé. Sa forme la plus générale est
a et b ulant dps constantes qnelcondues; car F (r) -~ a ~ b est la fonction uniforme et régulière. la plus
r
générale tle r dont le paramètre différentiel du second ordre soit à F (r).
371
ligne de tourbillon est pareillement homogène, c’est-à-dire d’égale intensité tourbillonnaire
en tous ses points.
c. La double couche et la ligne de tourbillon suscitent chacune un champ stationnaire de vecteurs s’étendant à tout l’espace ; nous désignerons respectivement par u f et par u, les vecteurs de ces champs, en un point quelconque M non situé sur ( f ) ni sur (s).
~l. La double couche est née, grâce à un passage à la limite, de la juxtaposition de deux simples couches de signes opposés, formées au Inoyen d’un agent dont l’action dérive d’un
potentiel scalaire. Le potentiel, au point M, dù à la double couche, est déduit, par un pas-
sage la limite, de la somme algébrique des potentiels élémentaires dus aux charges des
éléments superficiels des couches simples. La contribution apportée par un élément d f de simple couche au potentiel total est proportionnelle à la quantité d’agent répandue sur l’élé- ment, et à une fonction uniforme et régulière ~(i,) de la distance r de l’élément au point M ;
cette fonction s’évanouit à l’infini.
e. Le champ produit par la ligne de tourbillon dérive d’un potentiel vecteur, qui est la
résultante de potentiels élémentaires dus aux éléments linéaires ds de la ligne. La contribu- tion apportée par l’élément ds au potentiel vecteur en 1~ est un vecteur infiniment petit parallèle à l’élément; la grandeur de ce vecteur est proportionnelle à la longueur de l’élé.
ment, à un facteur scalaire q mesurant l’intensité de la ligne de tourbillon, et à une fonctiol
uniforme et régulière de la distance r de l’élélnent au point 1B1; cette fonction s’annule à
l’infini.
’f. Quelles que soient la figure et les dimensions de la double couche et de son contour,
les champs provoqués sont identiques dans tout l’espace : -.
Nous voulons montrer que ce système d’hypothèses implique que la double couche est
newtonienne, la ligne de tourbillon laplacienne, c’est-) lire que les fonctions ~(1~) et Ç(+)
sont proportionnelles à 1/î-.
5. Conformément aux suppositions réunies sous la lettre le potentiel, au point M,
d’un élément superficiel d f de la double couche est de la forme
l’indice P désigne un point de l’élément, et le scalaire 1) mesure la puissance de la double couche en ce point. La double couche étant homogène, p est constant sur toute son étendue;
le potentiel total de la couche sera
D’autre part, il résulte des postulats réunis sous la lettre e que la grandeur du vecteur élémentaire, contribution de l’élément ds du contour au potentiel vecteur total, est de la
forme y Y (~~). ds, le scalaire q étant constant tout le
long du contour à cause de l’homogé-
néité de la ligne de tourbillon. Le vecteur élémentaire !ui-mème sera donc + q ~(r). ds; le signe à adopter dépendra du sens de ce vecteur par rapport au sens de circulation fixé sur
le contour. Ce signe sera donc le même en tous les points de la ligne, et nous pouvons le
comprendre dans la définition de q, c’est-à-dire écrire simplement q (j-). cls. Le potentiel
vecteur en 31, dû à l’action de la ligne de tourbillon, sera donc
Nous avons maintenant, conformément à la signification des concepts de potentiel sca-
laire et de potentiel vecteur,
-
Par suite, l’identité (14) devient
Noug obtenons une autre expression du premier membre de cette relation, en rempla- çant, dans l’équation (13,) F(r) par ~(r). Comme les constantes p et q sont indépendantes du
choix du point la comparaison de la relation obtenue avec (19) donne
et cette égalité a lieu identiquement, en tout point non situé sur ( f ) ni sur (s), pour tout circuit (s) et pour toute surface ( f) bordée par ce circuit. Nous pouvons donc égaler les divergences, au point lB1I, des deux membres de l’égalité. Puisque la divergence d’un rota-
.
tionnel est identiquement nulle, et quel) est constant et différent de zéro, il en résulte
ou la différentiation sous le signe f étant permise,
Mais de l’identité (1)
il suit, pour U = /-~?, a - df, et attendu que df ne dépend pis des coordonnées de ~~l,
Sot n’ le vecteur unitaire de la normale à la double pris dan3 le sens direct tel que
C3 sens résulte du sens de circulation fixé sur le contour. Alors df ~ n~ df, et finalement (~0) devient
cette égilité existe, quelle que soit la on a id3nHquem3n!:
de plus, comme nous pouvons donner à n° une diction arbilraire, il vient
Ainsi, la fonction scalaire à? est constante dans tout l’espace. Or on sait que la fonc-
iion régulière :(r) la plus générale, dépendant uniquement de la distance, qui satisfait à la
condition ~11 ~ Cte, est de la forme
,a, h, Ic désignant des constantes. Mais nous avons supposé b( x) - 0; donc = 0, et reste
L’agent de la double couche obéit donc à la loi de Coulomb.
{l ) GIBBS, loc. cit., t 2, p 3 î .
373 En substituant dans ( 1~), il vient
et l’on reconnaît dans cette formule la forme ordinaire du potentiel newtonien de double couche.
6. Revenons à l’identité (19). Posons dans (’13)
.et éliminons
entre (19) et l’égalité obtenue. Il nous viendra
relation identique, quelles que soient la forme et les dimensions de (@).
En prenant le rotationnel des deux membres, et en remarquant encore que le rotation- nel d’un gradient est nul, nous trouvons
ou
Mais au moyen de l’iclen ti té (’ )
.on trouve, pour U- a - df, et en remarquant que dans les dérivations parrappoct aux
coordonnées de M le vecteur df doit être traite comme un vecteur constant,
ou encore
Cette égalité a de nouveau lieu pour une surface ( f ) quelconque, et nous pouvons-
Adonner à n° une direction arbitraire; partant, quel que soit d’ailleurs le point )1,
La conclusion est la même que pour la fonction ? : puisque (r) s’annule à l’infini, elle .
est de la forme
fi désignant une constante. On voit donc que les éléments de la ligne de tourbillon
agissent suivant la loi de Laplace.
En vertu de (16),-Ie potentiel vecteur sera
7. Remarque. - Si nous portons les valeurs (21) et (24) dans la formule (19), nous
obtenons
.(1) J.-W. GIBBS, loe. Cit., p. 31.
Appliquons l’identité (4) à a - gratl 1, b = df, et l’identité C 23 (26)
il j
devient
l’indice M dont l’opérateur de Hamilton est affecté signifie, comme toujours, que les déri- vées partielles sont prises par rapport aux coordonnées du point M.
Mais la formule (8), appliquée pour A - donne, si nous remarquons qu’on a
r
.
i .,
div. grad - == 0,
et par suite
Moyennant cettte égalité, (27) se réduit à
Si nous choisissons les unités de telle sorte, que a ~ 1, il vient ~ q - 1), et par suite les
équations (i2) et 25) s’écrivent
comme cela devait être pour la double couche newtonienne et la ligne de tourbillon lapla-
cienne équivalente.
8. Autre remarque. - Il va sans dire que, au lieu de postuler l’identité des champs
de vecteurs dus à une double couche et à une ligne de tourbillon qui la borde, il revient au
même d’exiger l’égalité des flux de vecteurs à travers une surface quelconque. Malgré l’équi-
valence de ces deux conditions, nous allons nous arrêter un instant à la dernière, car, outre les conclusions précédemment obtenues, nous rencontrerons une propriété caractéristique
de la seule loi de Coulomb.
Soient ( f ), (f’) deux surfaces; de contours (s), (s’), satisfaisant aux conditions énoncées
au n° 2. Prenons la surface ( f ) comme support d’une double couche, et considérons son
contour (s) comme une ligne de tourbillon. Nous faisons les mêmes hypothèses qu’au n° 4,
sauf l’hypothèse f de l’identité des champs, que nous remplacerons par l’hypothèse de
l’identité des flux.
Considérons le flux vectoriel dû au circuit (s) et traversant la surface ( f’). Ce flux a
pour expression, en vertu de (18),
P’ désigne un point de la surface { f’).
Le théorème de Stokes permet de mettre S, sous la forme
ou, puisque l’ordre des intégrations est quelconque,
.375 est indépendant de ( f’) ; sa valeur ne dépend que des contours (s), (s’), et cela quelle que soit la loi d’action définie par la fonction uniforme et régulière ’~(1’).
Considérons maintenant le flux émané de la double couche (/) et traversant la surface
(f’). Ce flux sera, en vertu de (17),
Nous postulons l’identité
quelles que soient la surface ( f ) et sa frontière (s). Cette identité exige d’abord que l’expres-
sion (29) ne dépende, comme Si, que des contours (s) et (s’). Nous allons voir que, par cette condition, la fonction Cf’ (1~) est déterminée. 1
En effet, écrivons l’équation (13) pour - ~(}’), les domaines d’intégration étant le
circuit (s) et la surface (/) et le point M étant P’. Il vient
Formons le produit scalaire des deux membres de cette égalité par le vecteur df’, et intégrons sur toute l’étendue de ( f’); nous obtenons
Transformant le premier membre à l’aide de la formule de Stokes, et tenant compte de (29), nous trouvons
On voit que, si la fonction ? est quelconque, S2 ne dépend pas seulement des contours,
car la dernière intégrale de (3i) varie, en général, avec les surfaces (f), ( f’), comme on peut
le constater par l’application du théorème de la divergence (Gauss-Green).
Pour que le flux S2 soit entièrement déterminé par les contours, il faut et il suffit que
A ? soit constant. Puisque nous exigeons en outre que ? (r) s’annule à l’infini, il résulte de ce
qui précède que cette fonction sera de la forme ,
@a étant une constante. Ainsi, dans les conditions énuraérées au n° 4 (sauf la conditions
d’identité des champs),pour que le flux lancé par une double couche quelconque à travers une
surface quelconque ne dépende que des contours des deux surfaces, il faut et il suffit que
l’agent dont la double couche est issue agisse suivant la loi de Coulomb.
On a alors A? - 0, et l’équation (31) devient
-
La fonction ~(r) étant déterminée, portons les expressions (28) et (32) dans l’identité (30) ; nous obteuons
De cette relation identique, on conclut
.
