Probabilité de la distance minimale pour un système MIMO précode

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Submitted on 30 Jan 2014

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Probabilité de la distance minimale pour un système MIMO précode

Olufemi James Oyedapo, Baptiste Vrigneau, Rodolphe Vauzelle

To cite this version:

Olufemi James Oyedapo, Baptiste Vrigneau, Rodolphe Vauzelle. Probabilité de la distance minimale

pour un système MIMO précode. Colloque GRETSI 2013, Sep 2013, Brest, France. pp.271. �hal-

00939444�

Probabilit´e de la distance minimale pour un syst`eme MIMO pr´ecod´e

Olufemi James O YEDAPO , Baptiste V RIGNEAU , Rodolphe V AUZELLE

Universit´e de Poitiers, XLIM-SIC UMR CNRS 7252

Blvd Marie et Pierre Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, France prenom.nom@univ-poitiers.fr

R´esum´e – Ce papier s’int´eresse aux pr´ecodeurs MIMO avec connaissance du canal `a l’´emission. De tels syst`emes sont maintenant pr´esents dans les nouvelles normes et offrent des perspectives int´eressantes. Cependant, l’´evaluation th´eorique des performances est plus complexe. Nous proposons une m´ethode d’´etude bas´ee sur la statistique de la distance minimale. Le calcul est propos´e pour le pr´ecodeur max-d min et son exploitation permet d’´evaluer la capacit´e et le taux d’erreur binaire dans un canal de Rayleigh d´ecorr´el´e.

Abstract – This paper deals with precoded MIMO systems using channel state information. Such systems are now included in recent wireless norms. However, theoretical evaluations of performance are more complex. We propose a method based on minimal distance statistics in order to evaluate capcity or binary error rate in a uncorrelated Rayleigh fadding channel.

1 Introduction

Les syt`emes multi-antennaire ou MIMO pour “Multiple Input- Multiple Output” sont pr´esents dans les normes de communi- cation sans fil comme le LTE-A, le 802.11n ou 802.16e. En effet, ils permettent d’am´eliorer la robustesse de la transmis- sion ou le d´ebit de donn´ees. Si des ´emetteurs ou r´ecepteurs peuvent poss´eder plusieurs antennes, il est ´egalement possible de cr´eer des syst`emes MIMO virtuels grˆace `a la coop´eration de diff´erents nœuds dans un r´eseau de capteurs (MIMO dis- tribu´e ou coop´eratif)[2]. Il existe plusieurs techniques MIMO qui peuvent ˆetre s´epar´ees en deux grandes familles : la boucle ouverte et la boucle ferm´ee se diff´erenciant par la connaissance compl`ete ou partielle du canal. Si les techniques en boucle ou- verte ont ´et´e bien ´etudi´ees comme le code d’Alamouti et les OSTBC, seuls les pr´ecodeurs relativement simples comme le max-SNR ou le “multiple beamforming” poss`edent des ´etudes sur leur TEB [4, 6]. Dans cet article, nous consid´erons des pr´ecodeurs ´evolu´es en boucle ferm´ee avec connaissance par- faite du canal `a l’´emission et plus sp´ecifiquement le pr´ecodeur max-d min [1]. Notre objectif est de fournir un outil permettant d’estimer rapidement les performances d’un syst`eme MIMO afin d’optimiser les param`etres comme la technique MIMO `a employer, le nombre de nœuds ´emetteurs ou r´ecepteurs afin d’atteindre la qualit´e de service d´esir´ee comme le taux d’er- reur binaire (TEB) ou la consommation d’´energie. Nous pro- posons une m´ethode pour estimer les performances en termes de capacit´e et de TEB pour n’importe quel nombre d’antennes et n’importe quelle taille de MAQ dans un canal de Rayleigh.

Le principe est donn´e dans la partie 2 et, dans un soucis de gain de place, les r´esultats sont donn´es directement dans la partie 3.

Dans la partie 3, des figures illustreront la validation de la pdf obtenue et les utilisations possibles.

2 Pr´ecodage et loi de Wishart

Soit un syst`eme MIMO avec n T antennes `a l’´emission et n R

`a la r´eception. Un syst`eme pr´ecod´e transmettant b symboles est de la forme :

y = GHFs + Gn = H v F d s + n v (1) o`u y[b × 1] est le vecteur du signal rec¸u, H[n R ×n <sub>T</sub> ] est la ma- trice de canal, s[b ×1] est le vecteur de symboles transmis, n est le bruit additif, F[n T ×b] est la matrice de pr´ecodage, G[b×n R ] est la matrice de d´ecodage, H v est la matrice virtuelle diag- onalis´e grˆace `a une d´ecomposition en valeurs singuli`eres et F d est la matrice optimisant un crit`ere donn´e comme la dis- tance minimale pour une modulation et un nombre de symboles donn´es [1, 5]. La g´en´eralisation de ce pr´ecodeur est compliqu´ee et une solution sous-optimale bas´ee sur deux formes a ´et´e pro- pos´ee [3] :

- if 0 ≤ γ ≤γ ₀ (M ), F ^d _d ^min = F r1 = p

E T

cos θ _M sin θ _M .e ^{iϕ M}

0 0

(2) - if γ ₀ (M )≤γ ≤π/4,

F ^d _d ^min =F octa = r E T

2

cos ψ 0 0 sin ψ

1 e ^{i π 4}

−1 e ^{i π 4}

(3) avec les diff´erents param`etres utilisant N = √

M − 1 :



 



 



ϕ M = arctan _{2N +} ^{1 √} ₃ et θ M = arctan (2 sin ϕ M ) γ = arctan q

λ 2

λ ₁ et ψ = arctan ^√ _cos ²⁻¹ _γ γ ₀ (M ) = arctan q √

2 − 1

√ 2N ² + √ 6N √

2 − 1 .

(4)

Cette solution n’est valable que pour b = 2 symboles mais peut

ˆetre combin´ee avec le principe expos´e dans [7]. La distance

pour b = 2 a ´et´e exprim´ee en fonction de γ et ρ = √ λ ₁ + λ ₂ mais nous commenc¸ons par proposer un autre changement de variables :

Γ = λ 1 + λ 2 = ρ ² et β = λ ₁ − λ ₂

λ ₁ + λ ₂ = cos 2γ (5) La distance minimale au carr´e est alors :

d ² _min = α _M Γδ(β) (6) avec α _M une constante d´ependante de la modulation et

F r1 : δ(β) = 1 + β

2 ou F octa : δ(β) = 1 − β ² 2 − √

2β (7) Lorsque la matrice suit une loi de Rayleigh, la loi conjointe des valeurs propres ordonn´ees de HH ^∗ , λ ₁ ≥ λ ₂ . . . ≥ λ _m avec m = min( n _T , n _R ), sont des variables al´eatoires (VA) et suivent la loi de Wishart :

f λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ _m (λ 1 , λ ₂ , . . . , λ m ) = κ _{n S}

m

Y

i=1

λ ⁿ _i ^S e ^{− λ i}

! Y

1≤ i<j ≤ m

( λ _i − λ _j ) ² (8) avec n S = |n T − n R | et κ n _S une constante d´ependante de n S . Le cas m = 2 reste relativement simple. Pour les cas m = 3 et m = 4 rencontr´es dans les MIMO classiques, il faut, dans un premier temps, int´egrer la loi conjointe des λ i pour obtenir celle de λ ₁ et λ ₂ . Elles peuvent ˆetre trouv´ees tr`es facilement et rapidement avec un logiciel type Maxima ou Mathematica et prennent la forme :

f _{λ 1 ,λ 2} ( λ ₁ , λ ₂ ) = κ ( λ ₁ λ ₂ ) ^{n s} e ^{−(λ 1 +λ 2 )} ( λ ₁ − λ ₂ ) ² ×

m − 2

X

n=0

e ^{− nλ 2} X

i,j

p n,i,j λ ⁱ ₁ λ ^j ₂ . (9) Il suffira d’alimenter le programme avec les coefficients p n,i,j .

3 Calcul de la densit´e de probabilit´e

En applicant les r`egles de changement de variables al´eatoires, la densit´e jointe de Γ et β est :

f _Γ,β (Γ, β) = f _{λ 1 ,λ 2} (Γ 1 + β

2 , Γ 1 − β 2 ) × Γ

2 (10) La pdf de Γδ(β) est d´efinie par :

f _∆ (z) = Z

D Γ

f _Γ,β

Γ, δ ⁻¹ ( z

Γ ) ∂δ ^{− 1} ( _Γ ^z )

∂z dz (11) o`u D _Γ est le domaine d’int´egration d´ependant des valeurs pos- sibles de la distance de chaque pr´ecodeur. Il suffira ensuite d’appliquer l’influence de la modulation avec la constante α _M . Il faut d´eterminer la contribution de chaque forme.

3.1 Forme F _r1

Le r´esultat pour la forme F r1 est : f _{F r1} (z) = κe ^{− z} z ^{n s} X

n,i,j

p _n,j z ⁱ Ψ n,i,j (z, 1) (12) avec

Ψ n,j (z, a) =

γ inc (n s + j + 3, ξ) (n + 1) ^{n s +j+3}

−2z γ inc (n s + j + 2, ξ)

(n + 1) ^{n s +j+2} + z ² γ inc (n s + j + 1, ξ) (n + 1) ^{n s +j+1}

(13) o`u ξ = a(n + 1)z et γ inc (a, x) = R x

0 t ^{a − 1} e ^{− t} dt est la fonction gamma incompl`ete inf´erieure. La derni`ere ´etape est d’appliquer la constante de modulation :

pdf _{F r1} (d ² ) = 1 α M

f _{F r1} d ²

α M

(14)

3.2 Forme F octa

Le calcul pour la forme F octa est plus compliqu´ee par la forme de l’int´egrale et le fait que δ ⁻¹ accepte deux solutions :

(

β ₁ = ^√ ₂ ² (δ + √

δ ² − 4δ + 2) β ₂ = ^√ ₂ ² (δ − √

δ ² − 4δ + 2) (15) Il faut alors calculer deux int´egrales. Par gain de place, seul le r´esultat est donn´e par :

f F _octa (z) = κ 2 √ 2

X

n,i,j

p n,i,j ( z 2 √

2 ) ^{2n s +3+i+j} e ^{− z(1+ n 2 )}

×

e ^{− z √ 2 2 n} Φ ^i,j _n,0 (z, ∞) + e ^{z √ 2 2 n} Φ ^i,j _0,n (z, √ 2 + 1)

(16) avec

Φ ^i,j _a,b (x, t sup ) =

"

e ^{− 2 √ x 2} ( ^{(a+1)t+ b+1} t ) X

l

ω _l ( a, b, i, j ) t ^l

# ^t sup

1

+ω K ₀

Z t _sup 1

e ^{− 2 √ x 2} ( ^{(a+1)t+ b+1} t ) 1 t dt + ω _{K 1} x

√ 2 Z t sup

1

e ^{− 2 √ x 2} ( ^{(a+1)t+ b+1} t ) ( t ² − 1) ² 4t ³ dt

(17)

Les diff´erents coefficients ω l , ω K 0 et ω K 1 sont d´etermin´es grˆace aux relations de r´ecurrence en fonction des a _l coefficients du polynˆome `a int´egrer :

ω l = − _(a+1)u ¹ a l + _(a+1)u ^l+1 ω _l+1 + _a+1 ^b+1 ω _k+2 ω l = _(b+1)u ¹ a l −2 + ^a+1 _b+1 ω l −2 − _(b+1)u ^{l − 1} ω l −1

ω ₋ 1 = ^{b+1 u τ a − (a+1) 2 τ b −} (b+1)(a+1)τ d − ^b+1 u τ _e (a+1) ² +(b+1) ²

ω 0 = ^{τa u +(b+1)τ} _u((b+1) ^{b −} 2 ^(a+1)τ +(a+1) ^{d 2 −} ) ^{τ e ./u}

ω ₁ = ^{a+1 u τ a} +(a+1)(b+1)τ b +(b+1) ² τ _d − ^a+1 _u τ _e (b+1) ² +(a+1) ²

ω K ₀ = ^{2(a+1) 2 τ a − u(b − a) 2 (a+1)τ} _(a+1) 2 ^b +(b+1) ^{− u(b − a) 2 2 (b+1)τ d +2(b+1) 2 τ e} + τ c ; ω K ₁ =

2(a+1)2

u τ a +2(b+1)(a+1) ² τ b +2(b+1) ² (a+1)τ d + ^2(b+1)2 _u τ e

(b+1) ² +(a+1) ² ;

(18)

avec u = ^z

2 √

2 , τ _a = a _{− 3} + 2ω ₋ 2 + (a + 1)uω ₋ 3 , τ _b = a _{− 2} + (a + 1)uω ₋₂ , τ c = a ₋₁ , τ d = a ₀ − (b + 1)uω 2 , τ e = a ₁ − 2ω 2 −(b +1)uω 3 . Il reste encore deux int´egrales `a calculer avec comme param`etres n et t sup . En appliquant un changement de variable d’int´egration τ = ^√ _n+1 ^t , le probl`eme est reformul´e par :

A 0 =

Z t _sup 1

e ^{− 2 √ x 2} ( ^{t+ n+1} t ) 1

t dt (19)

=

Z ^{√ tsup} _n+1

√ 1 n+1

e ^{− x}

√ n+1 2 √

2 ( ^{τ+ 1} τ ) 1

τ dτ (20) A ₁ = x

√ 2 Z t sup

1

e ^{− 2 √ x 2} ( ^{t+ n+1} t ) ( t ² − 1) ²

4 t ³ dt (21)

= x

√ 2 Z ^{√ tsup} _n+1

√ 1 n+1

e ⁻

x √ n+1 2 √

2 ( ^{τ +} τ ¹ ) (( n+1)τ ² −1) ² (n + 1)τ ³ dτ (22) Lorsque n = 0 et t _sup → ∞, ces int´egrales correspondent `a K ₀ (x) et K ₁ (x), les fonctions de Bessel modifi´ees du second genre d’ordre 0 et 1. Pour les autres valeurs, elles ne sont pas d´efinies. Afin d’obtenir une valeur approch´ee, un d´eveloppement limit´e de e ^{− 1/τ} est utilis´e. Le r´esultat est une somme de K ₀ (x), K ₁ (x) et de Γ inc (a, x) = R ∞

x t ^{a − 1} e ^{− t} dt fonction gamma in- compl`ete sup´erieure. La forme exacte n’est pas disponible mais l’approximation est tr`es facile `a programmer et offre une bonne pr´ecision lorsque l’ordre de d´eveloppement est compris entre 10 et 20. Finalement, il faudra appliquer l’influence de la mod- ulation :

pdf _F

octa (d ² ) = 1 α _M f F _octa

d ² α _M

(23)

3.3 Utilisation des deux formes pour le max-d _min

Pour le pr´ecodeur final, les r´esultats pr´ec´edents sont utilis´es en changeant les bornes qui d´ependent du seuil de choix β ₀ :

g _{F r1} ( z ) = κe ^{− z} z ^{n s} X

n,i,j

p _n,j z ⁱ Ψ n,j ( z, β ₀

1 + β 0 ) (24) g _{F octa} (z) = κ

2 √ 2

X

n,i,j

p _n,i,j ( z 2 √

2 ) ^{2n s +3+i+j} e ^{− z(1+ n 2 )}

×

e ^{− z √ 2 2 n} Φ ^i,j _n,0 (z, t 0 ) + e ^{z √ 2 2 n} Φ ^i,j _0,n (z, √ 2 + 1)

(25)

avec t ₀ = ^{√ 1 − 6β 0 +β 0 +}

√ 2(1 − β 0 )

1+β 0 et finalement pdf _max-d

min (d ² ) = p _{F r1} (d ² ) + p _{F octa} (d ² ) (26) avec p _{F r1} (d ² ) = _α ¹

M g F _r1

d ² α _M

la contribution du F r1 et p _F

octa (d ² ) = _α ¹

M g _{F octa}

d ² α _M

celle du F octa .

4 R´esultats

La premi`ere ´etape est de valider la densit´e de probabilit´e de la distance minimale. La figure 1 propose des compara- isons entre la th´eorie et la simulation pour diff´erents syst`emes

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5

dmin MAQ-16 maxdmin 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 5 10 15 20

dmin MAQ-4 maxdmin

2x2 sim 2x2 th 2x2 sim 2x2 th 3x3 sim 3x3 th 4x4 sim 4x4 th

3x3 sim 3x3 th 4x4 sim 4x4 th

F IGURE 1 – Comparaison des ddp th´eoriques et simul´ees pour des syst`emes 2 × 2, 3 × 3 et 4 × 4

MIMO sym´etriques et MAQ-4 et MAQ-16. Nous pouvons ob- server que les diff´erentes courbes se superposent et permettent de valider notre calcul de ddp.

Les capacit´es des formes F r1 et F octa sont donn´ees pour une matrice H en fonction de la distance minimale par :

c _{F r1} ( d ² ) = log ₂

1 + RSB n R

d ² α M

(27) c _{F octa} (d ² ) = log ₂ 1+ RSB

n R

d ² α M

+ RSB

n R

d ² 2 √

2α M

² ! (28) Il reste ensuite `a moyenner grˆace `a la ddp de la distance :

C _{F r1} = Z ∞

0

c _{F r1} ( u ) .pdf _F

r1 ( u ) du (29) C F _octa =

Z ∞ 0

c F _octa (u).pdf _{F octa} (u) du (30) Cette derni`ere int´egrale est obtenue num´eriquement. Pour obtenir celle du max-d min , il faut tenir compte du choix des deux formes.

Or, l’expression de la ddp dans (26) est la somme de deux con- tributions. Afin d’obtenir la capacit´e du max-d min , il suffit de calculer la somme pond´er´ee par chaque contribution :

C max-d min = Z ∞

0

c _{F r1} ( u ) .P _{F r1} ( u ) du +

Z ∞ 0

c F _octa (u).P Focta (u) du

(31)

La figure 2 trace les capacit´es simul´ees et obtenues avec la for- mule (31). Ces courbes permettent d’observer que notre for- mule est tr`es proche de la simulation. De plus, on peut remar- quer que la modulation n’aura qu’une faible influence sur la capacit´e : la distance est divis´ee par la constante α M dans (27) et (28) et seule la valeur de β 0 changera.

Le second crit`ere observ´e est le TEB. Pour cela, nous avons utilis´e l’approximation classique du plus proche voisin :

TEB ' Z ∞

0

N v N b

2 erfc

r RSBu 4

!

pdf(u) du (32)

0 2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20

Capacit´e

RSB dB

4x4 3x3 2x2

F IGURE 2 – Comparaison des capacit´es th´eoriques et simul´ees pour des syst`emes 2 × 2, 3 × 3 et 4 × 4

avec N _v le nombre moyen de voisins `a la distance minimale et N <sub>b</sub> le nombre moyen de bits diff´erents. Ces valeurs sont pro- pres `a une forme de pr´ecodeur et sont obtenues par une ´etude num´erique de chaque modulation. Comme pour la capacit´e, le moyennage pour le max-d min s´eparera les contributions de chaque forme. La figure 3 montre les r´esultats d’approxima- tion du TEB. Les courbes de simulation mettent en ´evidence que l’approximation est proche du TEB `a fort RSB mais peut avoir une erreur importante `a faible RSB ou pour le cas 2 × 2.

Cela vient de la formule utilis´ee en sachant a priori qu’elle en- trainerait une erreur surtout lorsque la distance est faible, ce qui est le cas pour un syst`eme 2 × 2 (cf ddp sur la figure 1) et

`a faible RSB. Cette limite de l’approximation avait d´ej`a ´et´e ob- serv´ee pour les MAQ-M et des am´eliorations ont ´et´e publi´ees en ´etudiant la constellation enti`erement. Un travail analogue pourrait ˆetre men´e pour le pr´ecodeur max-d min avec la prise en compte de la constellation du F r1 et celles du F octa .

5 Conclusion

Dans cet article, nous avons propos´e une m´ethode d’´etude des performances d’un pr´ecodeur MIMO complexe. Elle est bas´ee sur l’´etude de la densit´e de probabilit´e de la distance min- imale. Nous avons pu obtenir une forme approch´ee facilement programmable pour une utilisation num´erique. Des simulations ont montr´e que les r´esultats ´etaient tr`es proches de la valeur exacte. Nous avons ensuite propos´e deux utilisations de cette ddp en calculant la capacit´e moyenne du pr´ecodeur et une ap- proximation simple et rapide du TEB. Si les r´esultats pour la capacit´e sont tr`es bons, ils sont en revanche plus mod´er´es pour le TEB avec une erreur `a faible RSB mais tout en restant bons

`a fort RSB. Ces r´esultats sont tr`es encourageants car ils offrent de nombreuses perspectives : ´etude des performances pour le pr´ecodeur E-d _min avec plus de symboles, application `a d’autres pr´ecodeurs qui optimisent d’autres crit`eres, calcul d’autres in- dices de performances comme l’information mutuelle puis es- timer les performances avec un d´ecodage souple, une approxi-

10⁶ 10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10¹ 10⁰

0 5 10 15 20 25 30

TE B

RSB dB MAQ-16 maxdmin

10⁶ 10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10¹ 10⁰

0 5 10 15 20 25 30

TE B

RSB dB MAQ-4 maxdmin

2x2 th 3x3 th 4x4 th 2x2 sim 3x3 sim 4x4 sim

2x2 th 3x3 th 4x4 th 2x2 sim 3x3 sim 4x4 sim

F IGURE 3 – Comparaisons des TEB obtenus par approximation th´eorique et par simulation, pour des syst`emes 2 × 2, 3 × 3 et 4 × 4, MAQ-4 et MAQ-16

mation plus fine du TEB avec l’´etude des constellations.

R´ef´erences

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