1/6

(1)

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,

IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 3 heures

L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est

amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.

Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

(2)

Espaces vectoriels d’endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère desR-espaces vectoriels de dimension finie. Soit E un tel espace vectoriel etuun endomorphisme deE. On dit queuest nilpotent lorsqu’il existe un entier p ≥ 0 tel que u^p = 0 ; le plus petit de ces entiers est alors noté ν(u) et appelénilindicede u, et l’on remarquera qu’alorsu^k = 0 pour tout entier k ≥ ν(u). On rappelle queu⁰ = idE. L’ensemble des endomorphismes nilpotents deE est notéN(E).

Un sous-espace vectoriel V deL(E) est ditnilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsqueV ⊂ N(E).

Une matrice triangulaire supérieure est dite strictelorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note T⁺⁺_n (R) l’ensemble des matrices triangulaires supé- rieures strictes de Mn(R).

L’objectif du problème est d’établir le théorème suivant, démontré par Murray Gerstenhaber en 1958 :

Théorème de Gerstenhaber

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel nilpotent de L(E). Alors, dimV ≤ ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ · Si en outre dimV = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ alors il existe une base deE dans laquelle tout élément deV est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents.

Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d’un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemmeA), et une condition suffisante pour que les éléments d’un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemmeB). Dans l’ultime partie IV, les résul- tats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur la dimension de l’espaceE.

(3)

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectorielréelEde dimensionn >0.

1. Soitu∈ N(E). Montrer quetru^k= 0pour toutk∈N^∗.

2. On fixe une base BdeE. On noteN_B l’ensemble des endomorphismes deE dont la matrice dansBest triangulaire supérieure stricte. Justifier queN_Best un sous-espace vectoriel nilpotent deL(E)et que sa dimension vaut ⁿ⁽ⁿ⁻₂¹⁾· 3. SoitBune base deE. Montrer que

{ν(u)|u∈ N_B}={ν(u)|u∈ N(E)}= [[1, n]].

4. Soitu∈ L(E). On se donne deux vecteursxetydeE, ainsi que deux entiers p ≥ q ≥ 1 tels que u^p(x) = u^q(y) = 0 et u^p−¹(x) #= 0. Montrer que la famille (x, u(x), . . . , u^p−¹(x)) est libre, et que si (u^p−¹(x), u^q−¹(y)) est libre alors(x, u(x), . . . , u^p−¹(x), y, u(y), . . . , u^q−¹(y))est libre.

5. Soitu∈ N(E), de nilindicep. Déduire de la question précédente que sip≥n−1 etp≥2alorsImu^p−¹= Imu∩KeruetImu^p−¹est de dimension1.

II Endomorphismes de rang 1 d’un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien^!E,(− | −)^". Étant donné a∈E etx∈E, on noteraa⊗xl’application deE dans lui-même définie par :

∀z∈E, (a⊗x)(z) = (a|z).x

6. On fixex∈E\ {0}. Montrer que l’applicationa∈E(→a⊗x est linéaire et constitue une bijection deE sur{u∈ L(E) : Imu⊂Vect(x)}.

7. Soita∈Eetx∈E\ {0}. Montrer quetr(a⊗x) = (a|x).

III Deux lemmes

On considère ici un R-espace vectoriel E de dimensionn >0. Soit V un sous- espace vectoriel nilpotent de L(E)contenant un élément non nul. On note

p:= max

u∈V ν(u),

appelénilindice génériquedeV (cet entier est bien défini grâce à la question 3).

On notera que p≥2.

(4)

On introduit le sous-ensemble V^• de E formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles Imu^p⁻¹pourudansV; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré

K(V) := Vect(V^•).

Enfin, étant donnéx∈E, on pose

Vx:={v(x)|v∈ V}.

L’objectif de cette partie est d’établir les deux résultats suivants :

Lemme A.SoituetvdansV. Alorstr(u^kv) = 0pour tout entier naturelk.

Lemme B.SoitxdansV^•\ {0}. SiK(V)⊂Vect(x) +Vx, alorsv(x) = 0pour tout vdansV.

Dans les questions 8à 11, on se donne deuxéléments arbitrairesuetv deV.

8. Soit k ∈N^∗. Montrer qu’il existe une unique famille(f₀^(k), . . . , f_k^(k))d’endomorphismes deEtelle que

∀t∈R, (u+tv)^k=

!k

i=0

tⁱf_i^(k).

Montrer en particulier quef₀^(k)=u^ketf₁^(k)=^k^"⁻¹

i=0

uⁱvu^k⁻¹⁻ⁱ.

9. Montrer que^p^"⁻¹

i=0

uⁱvu^p⁻¹⁻ⁱ= 0.

10. Étant donné k ∈ N, donner une expression simplifiée de tr(f₁^(k+1)), et en déduire la validité du lemmeA.

11. Soit y ∈ E. Démontrer que f₁^(p⁻¹⁾(y) ∈ K(V). À l’aide d’une relation entre u(f₁^(p⁻¹⁾(y)) etv(u^p⁻¹(y)), en déduire quev(x)∈u(K(V))pour toutx ∈ Imu^p⁻¹. 12. Soit x ∈ V^•\ {0} tel que K(V) ⊂ Vect(x) +Vx. On choisit u ∈ V tel que

x∈Imu^p⁻¹.

Étant donnéy∈K(V), montrer que pour toutk∈N il existeyk∈K(V)et λ_k∈Rtels que y=λ_kx+u^k(yk). En déduire queK(V)⊂Vect(x)puis que v(x) = 0pour toutv∈V.

IV Démonstration du théorème de Gerstenhaber

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur l’entiern. Le casn= 1est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel n ≥ 2 et on suppose que pour tout espace vectoriel réelE^′ de dimension n−1 et tout sous-espace vectoriel nilpotent

(5)

V^′ de L(E^′), on a dimV^′ ≤ ⁽ⁿ⁻¹⁾⁽₂ⁿ⁻²⁾, et si en outre dimV^′ = ⁽ⁿ⁻¹⁾⁽₂ⁿ⁻²⁾ alors il existe une base deE^′dans laquelle toutélément deV^′est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel Ede dimensionn, ainsi qu’un sous-espace vectoriel nilpotentV deL(E). On munitEd’un produit scalaire(−|−), ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire x deE\ {0}. On pose,

H:= Vect(x)^⊥, Vx:={v(x)|v∈V} et W:={v∈V: v(x) = 0}.

On noteπla projection orthogonale deEsurH. Pouru∈W, on noteul’endomorphisme deH défini par

∀z∈H, u(z) =π(u(z)).

On considère enfin les ensembles

V:={u|u∈W} et Z:={u∈W: u= 0}.

13. Montrer que Vx, W, V et Z sont des sous-espaces vectoriels respectifs deE, V,L(H)etV.

14. Montrer que

dimV= dim(Vx) + dimZ+ dimV.

15. Montrer qu’il existe un sous-espace vectorielLdeE tel que

Z=^!a⊗x|a∈L^" et dimL= dimZ,

et montrer qu’alorsx∈L^⊥.

16. En considérant u et a⊗x pour u ∈ V et a ∈ L, déduire du lemme A que Vx ⊂ L^⊥, et que plus généralement u^k(x) ∈ L^⊥ pour tout k ∈ N et tout u∈V.

17. Justifier queλx'∈Vxpour toutλ ∈R^∗, et déduire alors des deux questions précédentes que

dimVx+ dimL≤n−1.

18. Soitu∈W. Montrer que (u)^k(z) =π(u^k(z))pour tout k∈Net toutz∈H.

En déduire queV est un sous-espace vectoriel nilpotent deL(H).

19. Démontrer que

dimV≤ n(n−1)

2 ·

Dans toute la suite du problème, on suppose quedimV= ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾·

(6)

20. Démontrer que

dimV = (n−1)(n−2)

2 , dim(Vect(x)⊕Vx) + dimL=n et

L^⊥= Vect(x)⊕Vx.

En déduire queVect(x)⊕Vxcontientv^k(x)pour tout v∈V et tout k∈N.

21. En appliquant l’hypothèse de récurrence, montrer que le nilindice générique deV est supérieur ou égalàn−1, et que si en outreVx={0}alors il existe une base deE dans laquelle toutélément deV est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Compte tenu du résultat de la question 21, il ne nous reste plus qu’àétablir que l’on peut choisir le vecteurxde telle sorte queVx={0}.

On choisitxdansV^•\ {0}(l’ensembleV^•a été défini dans la partie III). On note ple nilindice générique deV, et l’on fixeu∈V tel quex∈Imu^p−1. On rappelle que p≥n−1d’après la question 21.

22. Soitv∈V tel quev(x)%= 0. Montrer queImv^p−1⊂Vect(x)⊕Vx.On pourra utiliser les résultats des questions 5 et 20.

23. On suppose qu’il existev₀dansVtel quev₀(x)%= 0. Soitv∈V. En considérant v+tv₀pourtréel, montrer que Imv^p−1⊂Vect(x)⊕Vx.

24. Conclure.

Fin du problème