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E3A Maths A PSI 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Cette épreuve s’intéresse à l’application Ψ qui à une fonction b continue sur [ 0 ; 1 ] à valeurs réelles associe l’unique fonction y de classe C ² sur [ 0 ; 1 ] vérifiant

( ∀x ∈ [ 0 ; 1 ] y ^′′ (x) − y(x) = b(x) y(0) = y(1) = 0

• Dans la première partie, on démontre une formule exprimant Ψ(b) en fonction de b à l’aide d’une fonction intermédiaire H à deux variables.

• Dans la deuxième partie, on écrit H comme la somme d’une série de fonctions.

• Dans la troisième partie, on s’intéresse aux valeurs propres et aux vecteurs propres de l’application linéaire Ψ après avoir montré son caractère auto-adjoint pour le produit scalaire défini par

∀(f, g) ∈ C ⁰ ([ 0 ; 1 ] , R ) ² (f | g) = Z ¹

0

f (x)g(x) dx

• Enfin, la quatrième et dernière partie démontre la continuité de l’endomor- phisme Ψ de C ⁰ ([ 0 ; 1 ] , R ) pour la norme induite par le produit scalaire, et l’on calcule la norme de Ψ.

Ce sujet est d’une difficulté raisonnable à condition de bien maîtriser presque tous les chapitres d’analyse et d’algèbre linéaire, notamment les équations différen- tielles linéaires (théorème de Cauchy, principe de superposition), les séries de Fourier (coefficients trigonométriques, condition suffisante de convergence normale, relation de Parseval) et les endomorphismes dans un espace préhilbertien réel (symétrie, posi- tivité, éléments propres, continuité). C’est une bonne occasion de réviser ou d’appro- fondir ces sujets délicats.

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Indications

Partie I

I.5 Raisonner par analyse-synthèse.

Partie II

II.2 Justifier que ϕ est continue et de classe C ¹ par morceaux sur R puis démontrer

∀n ∈ N a ⁿ (ϕ) = 0 et ∀n ∈ N ^∗ b ⁿ (ϕ) = 2

1 + n ² π ² sin(πnx) II.3 Justifier que la série de Fourier de ϕ converge normalement vers ϕ sur R . II.4 Exploiter le lien entre ϕ et H ainsi que les deux questions précédentes.

Partie III

III.1 Utiliser le fait que H est bornée sur [ 0 ; 1 ] ² .

III.2 Penser à la question II.4 et intervertir la somme et l’intégrale.

III.3 Utiliser le théorème d’interversion des symboles de sommation et d’intégration pour montrer que pour tout (f, g) ∈ E ²

(Ψ(f ) | g) = 2

+

∞

P

n=1

1 1 + n ² π ²

Z ¹

0

f (t) sin(πnt) dt Z ¹

0

g(x) sin(πnx) dx III.4 Utiliser la relation démontrée à la question précédente.

III.5.1 Même indication que précédemment.

III.5.2 Justifier que F vérifie l’identité de Parseval.

III.5.3 Raisonner par l’absurde et utiliser la question III.4.

III.6.2 Montrer que ∀m ∈ N ^∗ Ψ(f ^m ) = 1 1 + π ² m ² f ^m III.7.3 Raisonner par l’absurde et utiliser la question III.7.2.

III.7.4 Raisonner par l’absurde et intégrer sur [ 0 ; 1 ], après l’avoir justifiée, la relation f ^λ f ^{λ ′′} =

1 − 1

λ

f ^{λ 2} III.7.5 Utiliser la question III.7.2.

Partie IV

IV.2.1 Utiliser la question III.2.

IV.2.2 Procéder comme en III.5.2.

IV.3 Appliquer le résultat de la question IV.2.2 à Ψ (f ), utiliser le caractère symé- trique de Ψ puis exploiter le résultat de la question III.6.2.

IV.5 Utiliser la question III.6.2 avec m = 1.

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I. Expression des solutions de (L)

I.1 L’équation (L ⁰ ) est linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants. Ainsi, Les solutions de (L ⁰ ) sur l’intervalle [ 0 ; 1 ]

forment un espace vectoriel de dimension 2.

L’équation caractéristique associée à (L ⁰ ) est X ² − 1 = 0

Celle-ci admet deux racines réelles simples : −1 et 1. Il vient donc, Les fonctions t 7→ e ^t et t 7→ e ^−t forment une base de l’espace vectoriel des solutions de (L ⁰ ) sur [ 0 ; 1 ].

Comme tout R -espace vectoriel de dimension 2, l’espace des solutions de L ⁰ sur R admet une infinité de bases. Par exemple, la famille (ch , sh ) est égale- ment une base de cet espace.

I.2 L’équation (L) est une équation linéaire, d’ordre 2 et à coefficients constants.

De plus, la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ]. Par conséquent, Les solutions de (L) sur l’intervalle [ 0 ; 1 ] forment un espace affine de dimension 2.

Plus précisément, pour toute solution y 0 de (L) sur [ 0 ; 1 ], l’espace (affine) des solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] est exactement l’ensemble

y 0 + S(L 0 )

où S(L 0 ) désigne l’espace (vectoriel) des solutions de (L 0 ) sur [ 0 ; 1 ].

I.3 Définissons les fonctions h ¹ et h ² sur [ 0 ; 1 ] en posant pour x ∈ [ 0 ; 1 ] h ¹ (x) =

Z ^x

0

e ^x−t b(t) dt et h ² (x) = Z ^x

0

e ^t−x b(t) dt

de sorte que h = 1

2 (h 1 − h 2 ) Remarquons que

h ¹ (x) = e ^x Z ^x

0

e ^−t b(t) dt et h ² (x) = e ^−x Z ^x

0

e ^t b(t) dt

Puisque la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ] et puisque les fonctions t 7→ e ^t et t 7→ e ^−t le sont aussi, il en est de même de leurs produits t 7→ e ^t b(t) et t 7→ e ^−t b(t). Par suite, les fonctions

x 7→

Z ^x

0

e ^t b(t) dt et x 7→

Z ^x

0

e ^−t b(t) dt

sont de classe C ¹ sur [ 0 ; 1 ]. Par produit, les fonctions h ¹ et h ² sont également de classe C ¹ sur [ 0 ; 1 ]. De plus, pour x ∈ [ 0 ; 1 ],

h ^′ 1 (x) = e ^x Z ^x

0

e ^−t b(t) dt + e ^x e ^−x b(x) = h 1 (x) + b(x) et de même h ^′ 2 (x) = −e ^−x

Z ^x

0

e ^t b(t) dt + e ^−x e ^x b(x) = −h ² (x) + b(x)

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Par conséquent, la fonction h est de classe C ¹ sur [ 0 ; 1 ] et vérifie h ^′ = 1

2 (h ^′ 1 − h ^′ 2 )

= 1

2 (h ¹ + b + h ² − b) h ^′ = 1

2 (h 1 + h 2 )

Les fonctions h 1 et h 2 étant de classe C ¹ sur [ 0 ; 1 ], il en est de même de h ^′ . Par suite, h est de classe C ² sur [ 0 ; 1 ]. En outre,

h ^′′ = 1

2 (h ^′ 1 + h ^′ 2 )

= 1

2 (h 1 + b − h 2 + b)

= 1

2 (h ¹ − h ² ) + b h ^′′ = h + b

En particulier, La fonction h est solution de (L) sur [ 0 ; 1 ].

I.4 Remarquons que les fonctions ch et sh sont solutions de (L 0 ) sur [ 0 ; 1 ] d’après le résultat de la question I.1. Puisqu’elles sont linéairement indépendantes, elles forment une base de l’espace vectoriel des solutions de (L 0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Comme h est une solution particulière de (L) sur [ 0 ; 1 ] d’après la question précédente, le résultat de la question I.2 assure que les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les fonctions de l’ensemble

h + S(L ⁰ )

où S(L ⁰ ) désigne l’ensemble des solutions de (L ⁰ ) sur [ 0 ; 1 ]. Puisque S(L ⁰ ) = Vect (ch , sh )

on en conclut que

Les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les fonctions de la forme x 7→ A ch (x) + B sh (x) + h(x) où A et B sont deux constantes réelles quelconques.

I.5 Raisonnons par analyse-synthèse. Supposons connue une solution s de l’équa- tion (L) sur [ 0 ; 1 ] vérifiant

s(0) = α sh (1) et s(1) = β sh (1)

D’après la question précédente, il existe deux réels A et B tels que pour tout x ∈ [ 0 ; 1 ] s(x) = A ch (x) + B sh (x) + h(x)

En particulier, s(0) = A ch (0) + B sh (0) + h(0) et s(1) = A ch (1) + B sh (1) + h(1)

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