© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 1/22

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Centrale Physique et Chimie PSI 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Fabrice Maquère (Professeur agrégé) et Tom Morel (ENS Cachan) ; il a été relu par Grégoire Deback (ENS Lyon), Arnaud Jaoul (École Polytechnique), Vincent Freulon (ENS Ulm) et Anna Venancio-Marques (ENS Lyon).

Ce sujet, composé de quatre parties indépendantes, porte sur le traitement des surfaces.

• Dans la première partie, on modélise l’interaction d’un laser avec une surface métallique. Dans un premier temps, on caractérise l’interaction laser-matière liée à la réflexion et à la transmission d’une onde électromagnétique à la sur- face d’un métal et on s’intéresse particulièrement au coefficient de réflexion en énergie. On étudie ensuite la température du métal lorsqu’il est soumis à une impulsion du laser. Cette partie permet de revoir les équations de Maxwell, la réflexion des ondes électromagnétiques ainsi que la conduction électrique et thermique. L’étude aboutit à l’optimisation des paramètres permettant une trempe superficielle du métal.

• La deuxième partie traite de la lutte contre la corrosion et donne l’occasion d’utiliser les diagrammes d’Ellingham, les diagrammes potentiel-pH ainsi que les courbes intensité-potentiel.

• La troisième partie présente la mesure de l’indice d’iode de peintures à l’huile dites siccatives, ce qui utilise des bilans de matière et la titration à l’aide de réactions d’oxydo-réduction.

• La quatrième partie commence par une étude cristallographique de l’oxyde de titane utilisé comme peinture dépolluante et se termine par deux questions sur la cinétique de dégradation d’un polluant.

Les connaissances mises en jeu dans la grande majorité des questions sont somme toute classiques et sans difficulté particulière si l’on connaît son cours. Cependant, quelques questions sont plus originales et demandent une réflexion plus poussée.

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Indications

Partie I I.A.1.d Comparer ω τ c à 1.

I.A.2.a Utiliser la conservation de la charge et l’équation de Maxwell-Gauss.

I.A.4.c Que représente physiquement D k − →

Π k E

? Que devient l’énergie perdue entre z et z + dz ?

I.B.1 Utiliser le premier principe avec l’enthalpie.

I.B.4 Écrire la condition en z = 0 sur la puissance reçue par le milieu.

Partie II

II.A.1 L’oxygène a, dans ces oxydes, un nombre d’oxydation de -II.

II.A.2 Écrire la réaction d’oxydation pour une mole de dioxygène.

II.A.3 Calculer l’enthalpie libre de cette réaction et discuter de son signe.

II.B.3 Le terme anodique a trait à l’oxydation.

II.C.2 Seule l’oxydation est étudiée ici et l’allure des courbes diffère des courbes intensité-potentiel traditionnelles du fait de l’utilisation d’une échelle loga- rithmique pour les courants surfaciques. La densité de courant de corrosion en l’absence d’inhibiteur j corr se mesure sur le graphe comme l’ordonnée, au potentiel d’oxydation, de la tangente à la courbe pour les potentiels juste supérieurs au potentiel d’oxydation.

Partie III

III.B La formule du thiosulfate se trouve dans les données.

III.C On peut exprimer la constante d’équilibre de la réaction en fonction de l’en- thalpie libre standard puis en fonction des potentiels standard d’oxydoréduc- tion des couples mis en jeu.

Partie IV

IV.A.1 S’intéresser aux plus proches voisins des ions inclus dans la maille.

IV.A.3 Il est commode de représenter une coupe diagonale de la maille du rutile.

IV.B.2 Utiliser la loi de Van’t Hoff ou un système d’équations à deux inconnues.

IV.C.1 On fait l’hypothèse de l’ordre 1 par rapport à l’héliantine et l’on intègre la loi cinétique puis on vérifie si les données expérimentales suivent cette loi.

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I. Traitement de surfaces par faisceau laser

I.A.1.a En prenant en compte la force d’amortissement et celle du champ électro- magnétique, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron s’écrit

m ∂ − → v

∂t = −e ( − →

E + − → v ∧ − → B ) − m

τ c

−

→ v

I.A.1.b Dans le cas non relativiste, on a v ≪ c. Or, l’équation de Maxwell-Flux pour une onde plane s’écrit,

−i − → k ∧ − →

E = −iω − → B

Or, dans le vide, la relation de dispersion c = ω/k conduit à E = c B en norme.

Comparons alors la force électrique et celle magnétique. On a k − →

E k k− → v ∧ − →

B k

= c v ≫ 1

La force magnétique est donc négligeable devant la force électrique. L’équation dif- férentielle de la question précédente se simplifie,

m ∂ − → v

∂t = −e − → E − m

τ c

−

→ v

I.A.1.c Si on choisit comme convention complexe, − → E = − →

E ₀ e ^{i(ωt − kx)} , la relation fondamentale de la dynamique devient

m iω − → v = −e → − E − m

τ c

−

→ v

Ce qui se réécrit, − → v = −e − → E

m(iω + 1/τ c ) = −e τ c

−

→ E m(iωτ c + 1) Or − →  = −n e − → v , donc avec l’expression ci-dessus,

−

→  = n τ c e ² m 1 + iωτ c

−

→ E

Finalement, − →  = γ 0

1 + iωτ c

−

→ E avec γ 0 = n e ² τ c

m

I.A.1.d Regardons si on peut assimiler la conductivité à γ 0 . Pour cela, on doit comparer ωτ c à 1. Avec les valeurs données en annexe du sujet,

ωτ c = 2π c

λ τ c = 1,42

La partie imaginaire de γ n’est pas négligeable devant la partie réelle, si bien que On ne peut pas assimiler γ à γ 0 .

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En posant γ = γ ^′ − iγ ^′′ et si on écrit l’expression de γ sous cette forme, on obtient γ = γ 0

1 + (ωτ c ) ² (1 − iωτ c ) alors, en comparant, les parties réelle et imaginaire,

γ ^′ = γ 0

1 + (ωτ c ) ² et γ ^′′ = ωτ c γ 0

1 + (ωτ c ) ² I.A.2.a L’équation de conservation de la charge s’écrit

∂ρ

∂t + div − →  = 0 Comme − →  = γ − →

E , l’équation Maxwell-Gauss donne div − →  = γ div − →

E = γ ρ ε 0

On obtient alors l’équation différentielle suivante,

∂ρ

∂t + γ ε 0

ρ = 0

I.A.2.b Résolvons l’équation différentielle trouvée à la question précédente, ρ = ρ 0 e ^{− γt/ε}

Or, exp

− γ ε 0

t

= exp

− γ ^′ ε 0

t

× exp i γ ^′′

ε 0

t

La partie réelle de ρ est ρ(t) = ρ 0 e ^{− t/τ}

cos(ω d t)

avec τ d = ε 0

γ ^′ = ε 0

1 + (ωτ c ) ²

γ 0 et ω d = γ”

ε 0 = γ 0 ωτ c

ε 0

1 + (ωτ c ) ² I.A.2.c Avec les données numériques de la fin de l’énoncé, on calcule τ d ,

τ d = 1,33.10 ^{− 17} s

Cette valeur est très petite devant les autres temps caractéristiques. On peut donc considérer le conducteur comme électriquement neutre à tout instant .

I.A.3.a Avec − →  = γ − →

E et en tenant compte du fait que ρ = 0, on peut écrire les équations de Maxwell,



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 div − →

E = 0 div − →

B = 0

−→ rot − →

E = − ∂ − → B

∂t

−→ rot − →

B = µ 0 γ − → E + µ 0 ε 0

∂ − → E

∂t

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