X Physique A PC 2012 — Corrigé

(1)

X Physique A PC 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Rémi Lehe (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite des oscillations d’une bulle d’air seule, plongée dans un bain d’eau d’extension infinie. Il comporte quatre parties liées qu’il est souhaitable de traiter dans l’ordre proposé.

• Dans la première partie, il s’agit d’étudier les oscillations libres de la bulle.

On montre que le système se comporte comme un ressort, dont la raideur est liée à la compressibilité de l’air et dont l’inertie est due à l’eau qui entoure la bulle.

La conservation de l’énergie mécanique de l’eau permet d’aboutir à une équation d’oscillateur harmonique, sans second membre, pour le rayon de la bulle.

• L’étude des oscillations forcées est réalisée dans la deuxième partie. À par- tir de l’équation d’Euler, de la continuité de la pression à l’interface gaz/eau et de l’incompressibilité de l’écoulement, on établit une équation d’oscillateur harmonique, cette fois avec second membre, en raison de l’excitation par un haut-parleur. Une étude de la réponse du système en régime sinusoïdal forcé est alors menée.

• La troisième partie modélise l’amortissement selon la physique des ondes acous- tiques, en régime libre : l’eau est traitée comme un fluide compressible. L’énoncé invite à comprendre la forme des solutions, de type « onde sphérique », qu’il faut utiliser pour résoudre le problème. Via les équations de la dynamique, on montre que le rayon de la bulle est solution de l’équation différentielle d’un oscillateur amorti libre.

• Dans la quatrième partie, les calculs précédents sont repris mais en ajoutant, cette fois, l’excitation du haut-parleur. L’étude est menée en régime sinusoïdal forcé. On doit alors confronter les résultats théoriques à des courbes expéri- mentales, ce qui est l’occasion de commenter la modélisation.

Le sujet n’est ni long, ni réellement difficile, mais nécessite une bonne connaissance des méthodes de résolution des trois domaines du programme auxquels il touche : la physique des oscillateurs, la physique des ondes et la mécanique des fluides.

Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr

(2)

Indications

Partie I

I.1 Appliquer la loi de Laplace à l’air à l’intérieur de la bulle. La pression dans la bulle estP0+pa(t).

I.2 Raisonner sur l’eau comprise entrer= R0+r1 et r≫R0. I.3 Montrer que dVa≃4πR0

2dr1.

I.4 L’incompressibilité permet de montrer quer²v1(r, t)est indépendant der.

I.5 Raisonner d’abord sur une coquille sphérique d’épaisseur dr située en r, puis intégrer sur le rayon.

I.6 Traduire la conservation de l’énergie mécanique et dériver.

Partie II

II.3 La pression est continue à la traversée de l’interface gaz/eau.

II.5 Utiliser l’expression établie à la question II.2, évaluée enr=d.

II.8 La bulle tend spontanément à monter... pourquoi ? Partie III

III.2 Il suffit de vérifier qu’une fonctiony de la forme y(r, t) = 1

rf

t⁺⁻r−R0

c^s

est solution de l’équation de d’Alembert.

III.3 ψdécrit une onde convergente.

III.6 Traduire la continuité de la pression à l’interface gaz/eau.

Partie IV

IV.6 d/R0 s’obtient en évaluantp^m0/p^e0 à une fréquence donnée.

IV.7 Utiliser le résultat de la question I.6.

(3)

Oscillations d’une bulle

I. Oscillations libres d’une bulle d’air

I.1 Appliquons la loi de Laplace à l’air, considéré comme un gaz parfait en évolution adiabatique réversible,

(P0+pa) V^γ = P0

4π 3 R03

γ

oùVest le volume de la bulle. Puisque la bulle est supposée sphérique à tout instant, (P0+pa(t))×

4π

3 (R0+r1(t))³ γ

= P0

4π 3 R03

γ

si bien que pa(t) = P0

(1 +r1(t)/R0)³^γ −P0

Puisque|r1| ≪R0, linéarisons cette expression,

p^a(t) =−3γP0

R0

r1(t)

Il est cohérent d’obtenir que p^a et r1 sont de signe opposé, car pour une évolution isentropique d’un gaz parfait,P V^γ= C^teimpose quePetVvarient en sens contraire.

I.2 Considérons l’eau comprise entre les sphères de rayon intérieur R0+r1 et de rayon extérieurR1, avecR1≫R0. Le travail des forces pressantes enr= R0+r1vaut

δW(R0+r1) = (P0+p^a) dV^a Enr= R1, la pression estP0et le travail de ces forces s’écrit

δW(R1) =−P0dV^a

Dans les deux travaux, la variation de volume estdV^a car l’eau est supposée incompressible donc seul le volume de l’air dans la bulle varie. En sommant les travaux reçus, il apparaît que

δW =padVa

I.3 Remplaçonspapar son expression obtenue à la question I.1. Il vient δW =−3γP0

R0

r1dV^a

Puisque V^a = 4π

3 [R0+r1(t)]³ on déduit, dV^a = 4π[R0+r1(t)]²dr1

(4)

c’est-à-dire que dV^a≃4πR0

2dr1 car (|r1| ≪R0)

Ainsi, δW =−12π γP0R0r1dr1

Le coefficient multipliantdr1 s’identifie à la résultante des forces de pression s’exer- çant sur l’eau qui dérive du potentielU(r1), tel que

dU dr1

= 12π γP0R0r1

Alors la résultante des forces de pression s’exerçant sur l’eau dérive de U(r1) =1

2Kr12 avec K = 12π γP0R0

I.4 NotonsD^m(r, t) le débit massique à l’instantt, à travers la sphère de rayonr, centrée enO. Puisque l’écoulement est supposé incompressible,

D^m(r, t) = D^m(r+ dr, t)

ce qui prouve que ∂Dm

∂r = 0 CommeD^m(r, t) = 4π ρ0r²v1(r, t), on en déduit que

Le produitr²v1(r, t)est indépendant der.

Évaluons ce produit enr= R0: par continuité de la vitesse normale à l’interface eau/gaz, il vient

r²v1(r, t) = R0 2r˙1(t)

d’où v1(r, t) = R0

2

r² r˙1(t)

I.5 L’énergie cinétique de la coquille sphérique d’eau d’épaisseurdrsituée enrest dEc = 1

2ρ04π r²dr×v12(r, t)

= 1

2ρ04π r²dr× R02

r² r˙1(t) ²

donc dE^c = 1

2ρ04πr˙12(t) R04dr r²

Puisque l’eau occupe l’espace compris entre r= R0 et r→+∞, il suffit d’intégrer surrentre ces deux valeurs,

E^c = Z ^+∞

R0

1

2ρ04πr˙12

(t) R0 4dr

r²

= 1

2ρ04πr˙12(t) R04

Z +∞

R0

dr r²

= 1

2ρ04πr˙12(t) R0 4

−1 r

^+∞

R0

Par conséquent, E^c = 1

2M ˙r12 avec M = 4π ρ0R0 3