Génération de l’accélération relativiste de la pesanteur à partir de déformations quantifiées d’un espace quadridimensionnel platonicien immergé dans un espace à cinq dimensions

1 GÉNÉRATION DE L’ACCÉLÉRATION RELATIVISTE DE LA PESANTEUR

À PARTIR DE DÉFORMATIONS QUANTIFIÉES D’UN ESPACE QUADRIDIMENSIONNEL PLATONICIEN IMMERGÉ DANS UN ESPACE À CINQ DIMENSIONS

Alain Jégat

Résumé

Les articles hal-01949616 et hal-02397067 proposent une modélisation de divers phénomènes relativistes à partir de variations quantifiées du temps absolu platonicien en présence d’un champ gravitationnel.

Le présent article vise à rétablir l’uniformité de l’écoulement de ce temps en attribuant ces variations apparentes à des déformations de l’espace platonicien dans une cinquième dimension spatiale.

Comme nous allons l’expliquer, ces déformations vont ainsi conduire, de façon purement géométrique, à une modélisation quantifiée de l’accélération relativiste de la pesanteur.

GENERATION OF THE RELATIVIST ACCELERATION OF GRAVITY

FROM QUANTIFIED DEFORMATIONS OF A QUADRIDIMENSIONAL PLATONIAN SPACE IMMERSED IN A FIVE-DIMENSIONAL SPACE

Abstract

The articles hal-01970150 and hal-02444592 propose a modeling of various relativistic phenomena from quantified variations of the Platonic absolute time in the presence of a gravitational field.

This article aims to restore uniformity of the flow of this time by attributing these apparent variations to deformations of the Platonic space in a fifth spatial dimension.

As we will explain, these deformations will thus lead, in a purely geometric way, to a quantified

modeling of the relativistic acceleration of gravity.

2 Introduction

Les articles hal-01949616 et hal-02397067 (cf. les articles cités en référence au paragraphe suivant) proposent, par le biais de variations quantifiées du « temps absolu » (cf. l’article hal- 01374546) une modélisation de plusieurs phénomènes relativistes, à savoir les variations de la mesure du temps dans un satellite en orbite autour de la Terre, le redshift gravitationnel (expérience de Pound-Rebka), l’avance du périhélie des planètes et la déflexion de la lumière dans un champ gravitationnel.

Toutefois, ces variations quantifiées du temps absolu vont à l’encontre d’un des principes fondamentaux du modèle platonicien (cf. l’article hal-01081576) dont le cadre est un espace euclidien de dimension quatre, dans lequel les objets se déplacent de façon uniforme (c'est-à- dire qu'entre deux observations, quelle que soit leur trajectoire, ils parcourent tous la même distance

^(*)

), mais où les événements sont vus en projection selon une direction privilégiée.

Pour restaurer ce principe, nous allons introduire ici une cinquième dimension spatiale dans laquelle l’espace platonicien va se déformer, de façon quantifiée, sous l’effet des ondes de phase générées par les corps massifs en interaction.

Nous verrons ainsi que les apparentes variations du « temps absolu » sont générées géométriquement par ces déformations qui imposent un cheminement complémentaire aux objets qui sont y soumis.

En application, nous allons montrer dans cet article que ces déformations offrent un nouvel éclairage sur une modélisation de l’accélération relativiste de la pesanteur.

(*)

Rappelons le concept de temps absolu introduit dans l’article hal-01333681 :

compte-tenu du mouvement régulier des objets observés dans l’univers platonicien (« entre deux observations, les distances parcourues par tous les objets observés sont égales,

quelle que soit leur trajectoire »), et en référence aux concepts newtoniens (« le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien d’extérieur, coule uniformément »), la notion de durée absolue (mesurée en mètres) a été introduite de la façon suivante :

"Le temps absolu  T entre deux événements est la distance parcourue

par (tous) les mobiles entre ces deux événements".

3 1. Le cadre géométrique

Cette modélisation a pour cadre l’espace platonicien proposé dans les articles intitulés :

« UN MODÈLE PLATONICIEN (EUCLIDIEN-PROJECTIF) POUR LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE » (pré-publication hal-01081576, version 1).

« A PLATONIC (EUCLIDEAN-PROJECTIVE) MODEL FOR THE SPECIAL THEORY OF RELATIVITY » (pré-publication hal-01165196, version 1).

Dans les articles précédents, l’espace quadridimensionnel euclidien était rapporté à un repère orthonormé ( ^{O i j k h , , , ,} ) , dont les axes étaient notés ( ^OX ) ^, ( ) ^{OY ,} ( ) ^{OZ ,} ( ^OW ) ^{; la}

direction de la projection étant celle du vecteur h .

L’introduction d’une cinquième dimension va nous conduire à revoir ces notations.

Ainsi, l’espace quadridimensionnel platonicien considéré sera rapporté à un repère orthonormé ( ^{O e e e e , ,}

^{1 2}

^{, ,}

^{3 4}

) dont les axes seront notés ( Ox

1

) , ( Ox

2

) , ( Ox

3

) et ( Ox

4

) ; la direction de la projection devient celle du vecteur e

₄

; cet espace est immergé dans un espace à cinq dimensions rapporté à un repère orthonormé ( O e e e e e ^{, , , , ,}

^{1 2 3 4 5}

) dont les axes seront notés

( Ox

1

) , ( Ox

2

) , ( Ox

3

) , ( Ox

4

) et ( Ox

5

) .

Suite aux articles hal-01205805, v1 et hal-01213062, v1, la notion relativiste de la masse d’une particule est décrite ici comme une conséquence de son interaction avec une stratification de l’espace quadridimensionnel platonicien par une suite d’hyperplans H

^{( )n}

orthogonaux à la direction de la projection e

₄

, régulièrement espacés d’une distance   w

₀

0 .

Cette distance  w

₀

est égale à la longueur d’onde de Compton de la particule considérée (par exemple, pour un électron,

_e

2, 426.10

¹²

e

w h

m c

 = 

−

m, où m

_e

désigne la masse au repos de l’électron).

Ces concepts sont détaillés dans les articles Hal ci-dessous :

hal-01081576, v1 : Un modèle platonicien (euclidien-projectif) pour la théorie de la relativité restreinte.

hal-01205805, v1 : Vers une modélisation de l’onde de phase de De Broglie dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-01213062, v1 : Une idée de la masse d'une particule dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-01247382, v1 : Une modélisation de l’interféromètre de Michelson - Morley dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-01333681, v1 : Chocs élastiques frontaux dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-01374546, v1 : Sur la mesure du temps dans un espace quadridimensionnel platonicien.

4 hal-01577669, v1 : Une approche quantifiée des lois de la gravitation dans un espace quadri-

dimensionnel platonicien.

hal-01739986, v1 : Onde de phase de De Broglie et quantification des orbites képlériennes dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-01949616, v1 : Une introduction aux variations quantifiées du temps absolu en présence d’un champ gravitationnel dans un espace quadridimensionnel platonicien.

hal-02397067, v1 : Déflexion gravitationnelle de la lumière dans un espace quadridimensionnel

platonicien.

5 2. Mesure de la déformation de l’espace platonicien

Compte-tenu des principes exposés en introduction, nous allons évaluer la mesure de la déformation de l’espace platonicien engendrée dans la cinquième dimension par une occurrence de l’onde de phase.

Afin de conserver une cohérence d’ensemble aux articles précédents, le point de départ adopté pour déterminer cette mesure va être le premier postulat de déclinaison

quantifiée proposé dans l’article hal-01577669 ; c’est-à-dire :

« la variation angulaire  

_{i j,}

correspondant à la modification de trajectoire subie par le corps C

_j

dans l’espace platonicien lors de la perception d’une occurrence de

l’onde de phase émise par le corps C

_i

est indépendante du référentiel d’observation R

_

et a pour valeur:

( )

, 3 2

,

sin cos

i j j

i j

Gh c d

  

 = . »

Il ressort

^(*)

de ce point de départ que le déplacement  x

₅

dans la cinquième dimension subi par un corps C

_j

lors de la perception d’une occurrence de l’onde de phase émise par le corps C

_i

est donné par :

( )

5 3

,

j

sin

i

i j

x C Gh

c d 

 = .

(

^(*)

Nous verrons dans le paragraphe suivant comment le choix de cette mesure permet de retrouver le premier postulat de déclinaison quantifiée).

• Remarques

 En désignant par v la vitesse de C

_j

observée dans le référentiel R

_i

lié au corps C

i

, on pose ^{ =} ( ^{C C}

^{i j}

^{', v} ) ; et la distance d

_{i j,}

considérée dans cet article (et dans ceux cités en référence) correspond à la distance mesurée dans le référentiel

R

_i

entre les deux corps en interaction. Elle est définie ainsi :

désignons par v

_i

la vitesse du corps C

_i

dans l’espace platonicien (cf. l’annexe 2 page 15 pour un rappel détaillé du concept de vitesse platonicienne);

par H

_i

l’hyperplan lié au corps C

_i

, c’est-à-dire l’hyperplan orthogonal à v

_i

et passant par C

_i

;

par C

_j

' la projection (selon la direction du vecteur e

₄

) du corps C

_j

sur H

_i

. Nous posons d

_{i j,}

= C C

_{i j}

' .

 Afin que le déplacement  x

₅

subi par le corps C

_j

ait pour valeur

₃

,

sin

_i

i j

Gh

c d  , la

déformation de l’espace platonicien dans la cinquième dimension pourrait être égale

à la moitié de cette valeur et être perçue cycliquement ainsi :

6

 Pour donner un ordre de grandeur de cette déformation, un électron situé à une distance d

_{i j,}

= 1 m conduit, pour

i

2

 =  , à :

12 0_i

2, 428 10

e

T w h m

m c

 =  =  

−

et   x

₅

1, 64 10 

⁻⁶⁹

m .

 Avec d

_{i j,}

= n

_{i j,}

 l

_P

, où n

_{i j,}



^*

et

₃

1, 62 10

³⁵

P

2

l Gh m

 c

=  

−

désigne la

longueur de Planck, nous avons :

_{5 3}

, ,

1 1

sin sin

2 2

P

i i

i j i j

l x Gh

c d n

  

 = = ; et par

conséquent cette quantité est inférieure à la longueur de Planck dès que n

_{i j,}

 3 .

 Dans l’annexe 3 page 18 est calculée comme cas particulier la période absolue  T

₀

de l’onde de phase correspondant à l’arrêt apparent du corps C

_j

dans l’espace platonicien. La résolution de l’équation  =  x

₅

T

₀

conduit ainsi à :

3 0 ,

sin

_{i i}

sin

_i

i j

Gh w

c d  =   , c’est-à-dire à :

_{, 3}

0 i j

i

d Gh

c w

=  ^.

Or, dans le référentiel

R

_i

, la masse au repos du corps C

_i

est

₀

0 i

i

m h

= c w

 ^. Nous avons donc

_{i j,}

G

_{2 0i}

d m

= c , i.e.

_,

1

i j

2

s

d = R , où R

_s

représente le rayon de Schwarzschild du corps C

_i

.

En d’autres termes, l’arrêt apparent du corps C

_j

dans l’espace platonicien pour

,

1

i j

2

s

d = R peut s’interpréter comme un déplacement cyclique de ce corps dans la cinquième dimension : après chaque déplacement égal à  x

₅

, le corps C

_j

perçoit une

nouvelle occurrence de l’onde de phase générée par C

_i

(puisque  =  T

₀

x

₅

) et est

contraint de se déplacer à nouveau d’une distance  x

₅

dans la cinquième dimension, etc.

7 3. Lien avec le premier postulat de déclinaison quantifiée

Fig. 2

Fig. 1

8

 Sur la Figure 1 sont schématisés les corps C

_i

et C

_j

, ainsi que leurs directions de déplacement dans l’espace platonicien.

Le corps C

_j

est supposé non ponctuel : le segment   ^AB , de longueur dl , représente un diamètre de C

_j

dans le plan dirigé par les vecteurs v

_j

et e

₄

.

j

'

C , A ' et B ' représentent les projections de ces points dans l’hyperplan H

_i

lié au corps C

_i

et nous notons A B ' ' = dl ' .

Nous obtenons ainsi (le détail des calculs est proposé sur l’annexe 1 page 12):

 sin

^{2 2 2}

' sin cos cos

sin

j

i i

i

dl dl 

  

=    + , où  désigne l’angle ( ^v

^absi

^{, v}

^absj

)

formé par les vitesses absolues des corps C

_i

et C

_j

(cf. l’annexe 1).

 Puis, avec dl  0 et C B

_i

' = C A

_i

' + A B ' ' , nous obtenons :

( ) ( )

, ,

'cos

i j i j

d B = d A + dl  , où ^{ =} ( ^{C A A B}

ⁱ

^{', ' '} ) ( ^{= C C}

^{i j}

^{', v} )

(en désignant par v la vitesse de C

_j

observée dans le référentiel R

_i

) ;

d’où :

,

( )

,

( )

^{2 2 2}

sin sin cos cos cos

sin

j

i j i j i i

i

d B d A dl 

   

= +    +  .

 La Figure 2 représente le changement de direction  

_{i j,}

du corps C

_j

occasionné dans l’espace platonicien par la perception d’une occurrence de l’onde de phase générée par le corps C

_i

.

Selon le paragraphe 2 page 5, les déplacements dans la cinquième dimension des extrémités A et B sont :

• pour A :

⁵

( )

³ ,

( )

sin

_i

i j

x A Gh

c d A 

 = ;

• pour B :

⁵

( )

³ ,

( )

sin

_i

i j

x B Gh

c d B 

 = .

Au cours d’une période  T , il en ressort que les distances parcourues par A et B dans l’espace platonicien sont :

• pour A : dA =  −  T x

5

( ) A ;

• pour B : dB =  −  T x

5

( ) B ; d’où : dB − dA =  x

5

( ) A −  x

5

( ) B ,

i.e.

( ) ( ) ( )

²

( )

3 3

, , , ,

1 1 'cos

sin sin

i i

'cos

i j i j i j i j

Gh Gh dl

dB dA

c d B d A c d A d A dl

  



 

− =    −    =  + ^;

9 puis, avec

_{i j,}

dB dA

 dl ⁻

 = , nous obtenons :

( ) ( )

2 2 2

, 3 2

, ,

sin sin cos cos cos

sin sin

'cos

j

i i

i

i j i

i j i j

Gh

c d A d A dl

    

  



 + 

 = 

+ ^;

et pour terminer, avec dl '  0 et en notant d

i j,

( ) A = d

i j,

, nous avons :

( )

^{2 2 2}

, 3 2

,

sin sin cos cos cos

i j j i i

i j

Gh c d

     

 =   +  . [1]

Cette relation correspond, de façon généralisée, au premier postulat de déclinaison quantifiée proposé dans l’article hal-01577669 où l’étude effectuée pré-supposait   =

et, dans ce cas particulier, nous retrouvons bien :

( )

, 3 2

,

sin cos

i j j

i j

Gh c d

  

 =   .

NB. : dans l’article hal-01577669, nous remarquons que ^{ =} ( ^{C C}

ⁱ

^'

^j

^{', v}

^absj

) ^{car }

ⁱ

^{= } ₂

et, dans ce cas, les vitesses v

_absj

et v sont colinéaires.

10 4. Une modélisation de l’accélération relativiste de la pesanteur

En conservant les notations des paragraphes précédents, la notion usuelle de vitesse (mesurée en m.s

^-1

) dans le référentiel

R

_i

conduit, pour le corps C

_j

, à :

( ^{1 cos cos cos} )

²

^sin

²

^sin

²

1 cos cos cos

i j i j

i j

v c

    

  

− −

= −

(cf. les détails de calcul dans l’annexe 2 page 15).

Pour simplifier les calculs, nous allons restreindre ce paragraphe au cas particulier où le mouvement du corps C

_j

s’effectue dans le plan passant par C

_i

et de vecteurs directeurs v

_i

et e

₄

, autrement dit pour ^{ = 0}   ^ , c’est-à-dire cos  =  1 . Nous obtenons alors :

( ^{1 cos cos} )

²

^sin

²

^sin

²

^{cos cos}

1 cos cos 1 cos cos

i j i j i j

i j i j

v c

     

   

 − 

= =

  ^.

Par ailleurs, nous supposerons que la masse du corps C

_i

lié au référentiel d’observation

R

_i

est grande par rapport à celle de C

_j

et que, par conséquent, l’angle



i

reste constant en fonction du temps absolu T.

Avec la relation sin

1 cos cos cos

i

i j

dT cdt



  

= − (cf. l’annexe 2), où t mesure le temps usuel (exprimé en secondes) dans le référentiel

R

_i

, nous obtenons ainsi, pour l’accélération usuelle a (mesurée en m.s

^-2

) du mobile C

_j

:

2

v v

d d

dv a c c dT

a dt c cdt dT cdt

   

   

   

=  = = 

i.e. (avec cos  =  1 ) :

( )

2

2 2

sin sin sin

1 cos cos 1 cos cos

j i j i

i j

i j

a d

c dT

   

 

 

= −  

  ou encore :

( )

3 2 3

sin sin 1 cos cos

j i j

i j

a d

c dT

  

 

= − 

 ^[2]

L’expression du facteur d

^j

dT

 s’obtient à partir de la relation d

^j _{i j, i j,}

dT f

 =    , où f

_{i j,}

représente la fréquence absolue de l’onde de phase perçue par le corps C

_j

.

11 Selon l’annexe 3 page 18, nous avons :

_,

0

1 cos cos cos sin

i j

i j

i i

f dT

cdt w

  



= = −

 ^{. [3]}

Ce qui conduit à, avec [1], [3] et cos  =  1 :

( )

²

0 3 ,

1 cos cos

sin cos sin

j i j

j

i i i j

d Gh

dT w c d

  

 



=    

 ^.

La relation [2] devient ainsi :

( ) ( )

3

2 3

2 3

0 ,

1 cos cos sin sin

sin cos

sin 1 cos cos

i j i j

j

i i i j i j

a Gh

c w c d

   

 

  

= −     

 

i.e.

( ) ( )

2 2

2 2

0 ,

sin sin

cos 1 cos cos

i j

i i j i j

a Gh

c w d

 

  

= −  

  ^.

(À noter que dans le cas particulier étudié dans ce paragraphe, nous avons cos  = 1 si ^{ =} ( ^{C C}

^{i j}

^{', v} ) ^{= 0 ou cos  = − 1 si  =} ( ^{C C}

^{i j}

^{', v} ) ^{=  ).}

Pour terminer, nous avons

₀

0 i

i

m h

= c w

 (masse au repos du corps C

_i

dans le référentiel

R

_i

- cf. l’article hal-01213062 -) et, selon la remarque effectuée dans l’annexe 2 page 15 :

( )

2 2 2

2 2

sin sin

1 1 cos cos

i j

i j

v c

 

  ^{= −}

 ^.

Nous retrouvons ainsi la formule relativiste :

( )

2 0

2 2

, i

1

i j

Gm v

a d c

 

=  − 

  ^.

12 5. Annexe 1 : calcul du rapport dl’/dl

• Rappelons tout d’abord brièvement le concept de vitesse d’un mobile M dans l’espace platonicien (cf. notamment les articles hal-01577669 et hal-01739986):

compte-tenu de la définition du temps absolu T (en m), la norme de la vitesse de tous les mobiles est égale à 1 et le vecteur vitesse dM

v = dT d’un mobile M quelconque est de la forme :

cos cos cos cos cos sin

cos sin sin v

  

  

 



 

 

 

=  

 

 

,

avec  quelconque,

2 2 ;

  − ^     ^   ^et ; 2 2

  − ^     ^   ^.

Sa vitesse absolue est donnée par : cos cos cos cos cos sin

cos sin 0 v

abs

  

  

 

 

 

 

=  

 

 

,

de norme égale à cos  .

• Pour alléger les lignes de calcul qui suivent, nous noterons

1 2 3 4 i

a v a

a a

   

=  

   

   

le vecteur

vitesse du corps C

_i

et

1 2 3 4 j

b v b

b b

   

=    

   

 

le vecteur vitesse du corps C

_j

.

Nous désignerons par H

_i

l’hyperplan lié à C

_i

, c’est-à-dire l’hyperplan orthogonal à

v

i

passant par C

_i

et par H

_j

l’hyperplan lié à C

_j

, c’est-à-dire l’hyperplan orthogonal

à v

_j

passant par C

_j

.

13

 Nous avons donc les équivalences suivantes :

un point M x x x x (

1

,

2

, ,

3 4

)  H

_i

si et seulement si :

a x

1

(

1

− x C

1

( )

_i

) + a

2

( x

2

− x C

2

^{( )}

_i

) + a

3

( x

3

− x C

3

^{( )}

_i

) + a

4

( x

4

− x C

4

^{( )}

_i

) = 0 [R1]

et M x x x x (

1

,

2

, ,

3 4

)  H

_j

si et seulement si :

^{b x}

¹

(

¹

^{− x C}

¹

( )

^j

) ^{+ b}

²

( ^x

²

^{− x C}

²

( )

^j

) ^{+ b x}

³

(

³

^{− x C}

³

( )

^j

) ^{+ b}

⁴

( ^x

⁴

^{− x C}

⁴

( )

^j

) ^{= 0 .}

 Le plan ( ) P

j

passant par C

_j

et dirigé par v

_j

et

₄

0 0 0 1 e

   

=  

   

 

admet pour représentation

paramétrique :

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

j

j

j j

x x C b

x x C b

x x C b

x x C b







 

 = +

  = +

 

= +

 

= + +



, avec ( ^{  ,} ) ^

²

^.

D’où M x x x x (

1

,

2

, ,

3 4

)  H

_j

 P

_j

si et seulement si  b

₁²

+  b

₂²

+  b

₃²

+  b

₄²

+  b

₄

= 0 . Avec b

₁²

+ b

₂²

+ b

₃²

+ b

₄²

= v

_j²

= 1 , nous obtenons

b

4

 = −  et M x x x x (

1

,

2

, ,

3 4

)  H

_j

 P

_j

si et seulement si :

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

4

1

j

j j

j

x x C b

x x C b

x x C b

x x C b

b









 = +

  = +

  = +

   

= + −

  

 



, avec   .

 Le rapport dl dl '/ ne dépendant pas de la longueur AB , nous pouvons choisir pour ces points deux valeurs arbitraires du paramètre  , par exemple  = 0 pour A et  = 1 pour B ; ce qui conduit à ^{A =} ( ^{x C}

¹

( ) ( ) ( ) ( )

^j

^{, x C}

^{2 j}

^{, x C}

^{3 j}

^{, x C}

^{4 j}

)

et

1

( )

1 2

( )

2 3

( )

3 4

( )

4

4

, , , 1

j j j j

B x C b x C b x C b x C b b

 

=  + + + + − 

  ^.

 En désignant par A’ la projection de A dans l’hyperplan H

_i

, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{1 2 3 4}

)

'

_j

,

_j

,

_j

, '

A = x C x C x C x A , dont les coordonnées vérifient [R1], ce qui conduit à :

( ) ( ( ) ( ) ) ( ^{( ) ( )} ) ( ^{( ) ( )} ) ^{( )}

4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

4

' 1

_{i j i j i j i}

x A a x C x C a x C x C a x C x C a x C

a

 

=  − + − + − + 

14 De même, en désignant par B’ la projection de B dans l’hyperplan H

_i

, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{1 1 2 2 3 3 4}

)

'

_j

,

_j

,

_j

, '

B = x C + b x C + b x C + b x B , dont les coordonnées vérifient [R1], ce qui conduit à :

( ) ( ( ) ( ) ) ( ^{( ) ( )} ) ( ^{( ) ( )} ) ^{( )}

4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3

4

' 1

_{i j i j i j i}

x B a x C x C a x C x C a x C x C a x C a b a b a b a

 

=  − + − + − + − − −  ^.

 Nous obtenons ainsi, avec b

₁²

+ b

₂²

+ b

₃²

+ b

₄²

= 1 :

2 2

2 2 2 2 2 4

1 2 3 4 2

4 4

1

1 b

dl AB b b b b

b b

  −

= = + + +  −  =

 

et

2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ² 2

(

1 1 2 2 3 3

)

²

1 2 3 4 2

4 4

' ' ' a b a b a b 1 a b a b a b

dl A B b b b b

a a

+ +

 + + 

= = + + +   = − +

  ^.

D’où :

² 2

(

1 1 2 2 3 3

)

² 4² 4² 2

(

1 1 2 2 3 3

)

²

4 4

2 2 2 2 2

4 4 4 4

' 1

1 1

a b a b a b b b a b a b a b

dl b a

dl a b a b

 + +   + + 

= −  +   =   + 

− −

   

   

.

Pour terminer, nous avons a b

_{1 1}

+ a b

_{2 2}

+ a b

_{3 3}

= v

_absi

. v

_absj

= cos 

_i

cos 

_j

cos  , où 

désigne l’angle ( ^v

^absi

^{, v}

^absj

) ^{; a}

⁴

^{= sin }

ⁱ

^{et b}

⁴

^{= sin }

^j

, d’où le résultat :

2 2 2

' sin

sin cos cos

sin

j

i i

i

dl dl

   

=   + .

15 6. Annexe 2 : calcul de la vitesse v (en m.s

^-1

) d’un mobile M dans le référentiel

d’observation R

 i

Dans ce paragraphe, nous allons déterminer la vitesse (en m.s

^-1

, au sens classique du terme) d’un mobile M observé dans le référentiel

R

_i

lié au corps C

_i

.

Dans l’espace platonicien, C

_i

se déplace suivant la direction d 

_i

et M suivant la direction d 

_j

.

Comme dans l’annexe 1, pour alléger les lignes de calcul qui suivent, nous noterons

1 2 3 4 i

a v a

a a

   

=    

   

 

le vecteur vitesse du corps C

_i

et

1 2 3 4 j

b v b

b b

   

=    

   

 

le vecteur vitesse du mobile M .

Nous désignerons par H

_i

l’hyperplan lié à C

_i

, c’est-à-dire l’hyperplan orthogonal à v

_i

passant par C

_i

et, comme précédemment, un point M x x x x (

1

,

2

, ,

3 4

)  H

_i

si et seulement si :

a x

1

(

1

− x C

1

( )

_i

) + a

2

( x

2

− x C

2

^{( )}

_i

) + a

3

( x

3

− x C

3

^{( )}

_i

) + a

4

( x

4

− x C

4

^{( )}

_i

) = 0 [R1]

 À un instant (absolu) T , le mobile M est en ^M

¹

⁼ ( ^{x M}

¹

( ) ( ) ( ) ( )

¹

^{, x}

²

^M

¹

^{, x M}

^{3 1}

^{, x}

⁴

^M

¹

)

et est perçu dans

R

_i

par l’observateur A

1

= ( x M

1

( ) ( ) ( ) ( )

1

, x

2

M

1

, x M

3 1

, x

4

A

1

) .

16 Comme A

₁

 H

_i

, nous avons, avec [R1] :

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

4 1 4 4 1 1 1 1 3 3 1 3

4

1

_{i i}

...

_i

x A a x C a x M x C a x M x C

a  

=  − − − − −  ^.

 À l’instant (absolu) T +  T , le mobile M est en M

₂

, avec :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 1 1 1

,

2 1 2

,

3 1 3

,

4 1 4

M = x M +  b T x M +  b T x M +  b T x M +  b T et est perçu dans

R

_i

par l’observateur ^B

²

⁼ ( ^{x M}

¹

( ) ( ) ( ) ( )

²

^{, x}

²

^M

²

^{, x M}

^{3 2}

^{, x}

⁴

^B

²

) ^.

L’observateur A est alors en A

2

= ( x M

1

( )

1

+  a T

1

,..., x M

3

( )

1

+  a

3

T x ,

4

( ) A

1

+  a

4

T ) ; et l’hyperplan H T

i

( +  T ) lié à C

_i

a pour équation cartésienne :

(

1

,

2

, ,

3 4

)

_i

( )

M x x x x  H T +  T si et seulement si :

a x

1

(

1

− x C

1

( )

_i

−  a T

1

) + + ... a

4

( x

4

− x C

4

( )

_i

−  a

4

T ) = 0 . [R2]

Comme B

2

 H T

i

( +  T ) , nous avons, avec [R2] :

( ) ( )

²

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

4 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3

4

1

_{i i}

...

_i

x B a x C a T a x M b T x C a T a x M b T x C a T

a  

=  +  − +  − −  − − +  − −  

 Selon le modèle platonicien (cf. les articles hal-01081576 et hal-01374546), la durée  t mesurée (en secondes) dans le référentiel

R

_i

entre ces deux événements est donnée par : c t  = x B

4

( )

2

− x

4

( ) A

1

. Nous avons donc :

2 2 2 2

4 1 1 1 2 2 2 3 3 3

4

c t 1 a T a b T a T a b T a T a b T a T

a  

 =   −  +  −  +  −  +   ^.

Or

4 2 1

i

1

i

a

=

 = , ce qui conduit à : 

1 1 2 2 3 3



4

c t 1 T a b T a b T a b T

 = a  −  −  −  ;

et pour terminer, nous avons a b

_{1 1}

+ a b

_{2 2}

+ a b

_{3 3}

= v

_absi

. v

_absj

= cos 

_i

cos 

_j

cos  , où 

désigne l’angle ( ^v

^absi

^{, v}

^absj

) ^{et a}

⁴

^{= sin }

ⁱ

, d’où le résultat : 1 cos cos cos

sin

_i ^{i j}

c t T   



  

 =  −  ^.

 La distance   mesurée (en mètres) dans le référentiel

R

_i

entre ces deux événements est donnée par :  =  A B

_{2 2}

(cf. l’article hal-01081576).

Nous avons donc

⁴

( ( )

2

( )

2

)

²

1

i i

i

x B x A



=

 =  − , ce qui conduit, avec les résultats ci- dessus, à : ( ^{1 cos cos cos} )

²

^sin

²

^sin

²

sin

_i ^{i j i j}

 T     



 =  − − .

17

 Pour terminer, nous obtenons ainsi le module (au sens classique du terme, exprimé en m.s

^-1

) de la vitesse du mobile M observé dans le référentiel

R

_i

lié au corps C

_i

:

( ^{1 cos cos cos} )

²

^sin

²

^sin

²

1 cos cos cos

i j i j

i j

v

c c t

    



  

− −

=  =

 − ^{. [R3]}

Remarques :

 deux cas particuliers sont à signaler :

• pour  = 0 , nous obtenons ainsi : cos cos 1 cos cos

i j

i j

v c

 

 

= −

− ^;

• et pour   = , nous avons : cos cos 1 cos cos

i j

i j

v c

 

 

= +

− ^.

 La relation [R3] conduit à :

( )

2 2

2 2 2

sin sin 1

1 cos cos cos

i j

i j

v c

 

  

− =

− ^.

18 7. Annexe 3 : calcul de la fréquence absolue de l’onde de phase générée par le

corps C

i

et perçue par le corps C

j

Nous reprenons et généralisons ici les concepts exposés dans l’article hal-01205805: « Vers une modélisation de l’onde de phase de De Broglie dans un espace quadridimensionnel platonicien ».

Suite à cet article et à l’article hal-01213062, la notion relativiste de la masse d’une particule est décrite comme une conséquence de son interaction avec une stratification de l’espace

quadridimensionnel platonicien par une suite d’hyperplans H

^{( )n}

orthogonaux à la direction de la projection e

₄

, régulièrement espacés d’une distance  w

_0i

 0 .

Cette distance  w

_0i

est égale à la longueur d’onde de Compton de la particule considérée.

 À un instant (absolu) T , le corps C

_j

perçoit le front F

^{( )n}

de l’onde de phase générée par le corps massif C

_i

; puis, après une période absolue  T (mesurée en mètres), le corps C

_j

perçoit l’occurrence F

⁽ⁿ⁺¹⁾

.

( )n

F correspond à l’intersection des hyperplans H T

i

( ) et H

^{( )n}

, dont une équation cartésienne est : ^x

⁴

^{= x}

⁴

( ^H

^{( )n}

) ^{et F}

⁽ⁿ⁺¹⁾

correspond à l’intersection des hyperplans

( )

H T

i

+  T et H

⁽ⁿ⁺¹⁾

, dont une équation cartésienne est : ^x

⁴

^{= x}

⁴

( ^H

^{( )n}

) ^{+  w}

⁰ⁱ

^.

19

 En reprenant les concepts et les notations abrégées utilisées dans les deux annexes précédentes, cela conduit aux relations suivantes :

• pour l’instant platonicien T :

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} ) ( (

^{( )}

) ^{( )} )

1 1 _j 1 _i

...

3 3 _j 3 _i 4 4 ⁿ 4 _i

0

a x C − x C + + a x C − x C + a x H − x C = ;

• et pour l’instant T +  T :

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

1 1 _j 1 1 _i 1

...

3 3 _j 3 3 _i 3

a x C +  − b T x C −  a T + + a x C +  − b T x C −  a T

( ) ^{( )}

(

^{( )}

)

4 4 ⁿ 0_i 4 _i 4

0

a x H w x C a T

+ +  − −  = .

Ce système entraîne :

^{4 0}

1 1 2 2 3 3

1

a w

i

T a b a b a b

 = 

− − − ^;

et pour terminer, avec a b

_{1 1}

+ a b

_{2 2}

+ a b

_{3 3}

= v

_absi

. v

_absj

= cos 

_i

cos 

_j

cos  , où  désigne l’angle ( ^v

^absi

^{, v}

^absj

) ^{et a}

⁴

^{= sin }

ⁱ

, nous obtenons :

0

sin 1 cos cos cos

i i

i j

T w 

  

 = 

− ^.

 La fréquence absolue f

_{i j,}

(mesurée en m

^-1

) de l’onde de phase générée par le corps C

_i

et perçue par le corps C

_j

est donc donnée par :

,

0

1 cos cos cos 1

sin

i j

i j

i i

f T w

  



= = −

  ^.

Remarque :

les déplacements du corps C

_j

dans la cinquième dimension engendrent une diminution apparente de sa vitesse platonicienne v

_j

.

Dans le cas particulier où sa vitesse apparente v

_j

devient nulle, nous avons alors cos 

_j

= 0 (car v

_j

=  0 b

₁

= b

₂

= b

₃

= b

₄

= 0 ) et la période absolue de l’onde de phase générée par le corps C

_i

et perçue par C

_j

devient :  =  T

₀

w

_0i

sin 

_i

.

La fréquence absolue f

_{i j,}

de l’onde de phase générée par le corps C

_i

et perçue par le corps

C

j

est alors donnée par :

_,

0 0

1 1

i j

sin

i i

f ⁼  T ⁼  w  ^.

Ces résultats sont utilisés page 6, remarque .

20 8. Conclusion

Depuis le début du vingtième siècle, les recherches scientifiques font souvent appel à des dimensions physiques supplémentaires (travaux de Kaluza-Klein, théorie des cordes, espaces de Calabi-Yau, …).

Les résultats obtenus dans les articles cités en référence à la page 3 conduisent à introduire ici une cinquième dimension dans laquelle l’espace quadridimensionnel platonicien serait immergé et subirait des déformations cycliques, en lien avec les ondes de phase de De Broglie générées par les corps en interaction gravitationnelle.

Le modèle platonicien euclidien-projectif, ainsi complété, tout en retrouvant l’uniformité de l’écoulement du « temps absolu » qui est l’un de ses principes fondateurs, offre ici à partir de ces très faibles variations une modélisation géométrique de l’accélération relativiste de la pesanteur.

Et cette modélisation s’applique aussi bien (cf. les articles hal-01949616 et hal-02397067) à plusieurs autres phénomènes relativistes : les variations de la mesure du temps dans un satellite en orbite autour de la Terre, le redshift gravitationnel, l’avance du périhélie des planètes et la déflexion de la lumière dans un champ gravitationnel.

Il convient en outre de noter que ces faibles déformations sont inférieures à la longueur de Planck (cf. la remarque  page 6).

Ce qui, de fait, rend cette modélisation compatible avec les théories qui introduisent des dimensions additionnelles dont la taille est égale à cette longueur.

Compte-tenu des fructueux résultats obtenus grâce à ces modèles multidimensionnels, cette

convergence semble ainsi ouvrir des voies de recherches prometteuses dans un nouveau cadre

géométrique.

21 9. Références

Einstein Albert (1916), Relativity: The Special and General Theory, New York: H. Holt and Company.

L.D. Landau & E.M. Lifshitz Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics) Pergamon Press 1969.

Isaac Newton, Andrew Motte : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica; CreateSpace Independent Publishing Platform, ISBN-10: 1536887056, ISBN-13: 978-1536887051.

De l’Allégorie de la Caverne à la Relativité Restreinte, Jégat Alain (2014) Les Éditions du Net,ISBN: 978-2-312-02454-7.

Physique quantique et représentation du monde, Erwin Schrödinger ; Seuil ISBN-10:

2020133199, ISBN-13: 978-2020133197.

Richard Feynman, The Character of Physical Law (Modern Library) ISBN-13: 978- 0679601272, ISBN-10: 0679601279.

Relativité : Fondements et applications ; José-Philippe Pérez ; Dunod ISBN-13: 978- 2100043736.

La Mesure du temps, Henri Poincaré dans La Valeur de la Science.

Space and Time: Minkowski's papers on relativity - Hermann Minkowski, Vesselin Petkov.

Minkowski Institute Press. ISBN-10: 0987987143; ISBN-13: 978-0987987143.

Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs.

Foundations of Space-time Theories. John Earman, Clark N. Glymour, John J. Stachel.

University of Minnesota Press. ISBN-13 : 978-0816657520.

Theodor Kaluza: « On the problem of unity in physics », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.

Berlin. (Math. Phys.) 966-972 (1921).

Oskar Klein: « Quantum theory and five dimensional theory of relativity », Z. Phys. 37 895- 906 (1926).

Edward Witten: « Search for a realistic Kaluza-Klein theory », Nucl. Phys. B186, 412 (1981).

Brian Greene (trad. Céline Laroche): L'Univers élégant, Paris, Robert Laffont, 2000, (ISBN 2-

2210-9065-9)