Pour être mémorisés, les échantillons de signal doivent être codés avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que états.
Dès lors, les échantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent être approximés (quantifiés) au plus proche état codé (état de
quantification).
Quantification
2
NN
Exemple : Quantification linéaire entre et avec bits − A + A N
N
q A 2
= 2
Valeurs quantifiées
Valeurs initiales
tion quantifica de
états
16 2
4 → =
=
NN
-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A
-A -0.5A
0 0.5A
A
La quantification des échantillons peut être interprétée comme l'ajout d'un bruit :
Bruit de quantification
{
bruit
) ( ) ( )
( n x n e n x
q= +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-A -0.5A
0 0.5A
A
signal analogique x(t) échantillons x(n) valeurs quantifiées xq(n) erreur e(n)
Densité de probabilité du bruit de quantification
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 -0.5 0 0.5 1
signal initial x(t) signal quantifié xq(t) erreur de quantification e(t)
2
+ q
2
−q
Toutes les valeurs sont équiprobables dans cet intervalle.
2
+
q L’erreur de quantification est comprise entre et−
2qEn définitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, l’erreur de quantification peut être considérée comme un phénomène aléatoire dont les échantillons sont équiprobables entre
et et sont indépendants. 2
−
q 2+
q) (x fb
2 x
−
q+
2qq 1
) (n rbb
n Pb
n f
) (f Pb
2
+
Fe 2−
FeFe Pb
1 )
( =
∫
−+∞∞ fb x dx rbb(n)=Pbδ(n)∫
−+FeFe2Pb f df =Pb2
) (
TF
Bruit blanc
Puissance du bruit de quantification
) (x fb
2 x
−
q+
q2q 1
1 )
( =
∫
−+∞∞ fb x dx[ ]
2[ ]
222
3 3 1 2 1
2 1
2
( )
) (
q q q
q
x dx x
dx x f x n
b E
P
b b q + q +−− +∞
∞
−
= =
=
= ∫ ∫
PPbb ==1212qq22Explications : Imaginons un phénomène dont une période vaut :
{ 1 1 2 2 2 1 1 4 }
) ( n = s
La puissance du phénomène peut être calculée de la manière suivante :
(
2 2 2 2 2 2 2 2) (
2 2 2)
2
4 1 3 2 1 4
8 4 1
1 1 2 2 2 1 8 1
) 1
1 ( = + + + + + + + = × + × + ×
= ∑
n
n N s
P
Soit encore : et donc :
{ {
{ {
{ {
23 2 2
3 2
2 1
1
8 4 2 1 8 1 3 8 4
v p v
p v p
P = × + × + × = ∑ ×
n
k
k
v
p
P
2Dans le cas d'une variable continue :
= ∫
−+∞∞1 2 3
Px
dx x f x
P
2( )
Rapport Signal à Bruit
Dans le cas d'un signal sinusoïdal occupant la pleine échelle
[
− A;+ A]
( )
A Nq A
b x
N
A P
P B
S
22 2 2
2
12
2
2
2 6 3
2 2
×
=
=
=
=
Soit encore en dB :
4 4 3 4
4 2 43 1
42
1
NdB
B N S
02 . 6 76
. 1
) 2 log(
2 2 10
log 3
10 + × ×
×
=
B N S
dB
