Applications des cat´egories de foncteurs aux repr´esentations des groupes alg´ebriques

Applications des cat´ egories de foncteurs aux repr´ esentations des groupes alg´ ebriques

Antoine Touz´e

Universit´e Lille 1

Congr`es SMF 2016 06/06/2016

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 2/12

Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations

alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V)

ρ application r´eguli`ere.

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧vd) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v₁. . .v_d) = (g.v₁). . .(g.v_n)

I M_n(k), action deG par conjugaison.

Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations

alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V)

ρ application r´eguli`ere. Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧vd) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v₁. . .v_d) = (g.v₁). . .(g.v_n)

I M_n(k), action deG par conjugaison.

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Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V) ρ application r´eguli`ere.

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧vd) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v₁. . .v_d) = (g.v₁). . .(g.v_n)

I M_n(k), action deG par conjugaison.

Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V) ρ application r´eguli`ere.

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧vd) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v₁. . .v_d) = (g.v₁). . .(g.v_n)

I M_n(k), action deG par conjugaison.

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Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V) ρ application r´eguli`ere.

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧v_d) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v1. . .vd) = (g.v1). . .(g.vn)

I M_n(k), action deG par conjugaison.

Introduction (1) Les objets

G ⊂M_n(k) groupe classique sur k (kcorps alg´ebriquement clos) : SO_n(k), Sp_n(k), SL_n(k), GL_n(k)

Repr´esentations alg´ebriques (”rationnelles”)

V +ρ:G →GL(V) ρ application r´eguli`ere.

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.

I Λ^d(kⁿ) action deG par

g.(v1∧ · · · ∧v_d) = (g.v1)∧ · · · ∧(g.vn)

I S^d(kⁿ) action deG par

g.(v1. . .vd) = (g.v1). . .(g.vn)

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Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur '1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0 Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p= 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle

, et difficile `a calculer en g´en´eral.

p= 2 Ext¹_Rep(GL

n(k))(S²(kⁿ),Λ²(kⁿ))'k

Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur'1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0

Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p= 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle

, et difficile `a calculer en g´en´eral.

p= 2 Ext¹_Rep(GL

n(k))(S²(kⁿ),Λ²(kⁿ))'k

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Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur'1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0 Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p= 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle

, et difficile `a calculer en g´en´eral.

p= 2 Ext¹_Rep(GL

n(k))(S²(kⁿ),Λ²(kⁿ))'k

Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur'1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0 Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p = 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle

, et difficile `a calculer en g´en´eral.

p= 2 Ext¹_Rep(GL

n(k))(S²(kⁿ),Λ²(kⁿ))'k

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Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur'1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0 Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p = 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle

, et difficile `a calculer en g´en´eral.

p= 2 Ext¹_Rep(GL

n(k))(S²(kⁿ),Λ²(kⁿ))'k

Introduction (2) Des questions

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Cark = 0 :

I Construction explicite des simples (Schur'1900 pourGLn(k))

I Toute repr´esentation est somme directe de simples.

I Pas de cohomologie : Extⁱ_Rep(G)(V,W) = 0 pouri >0 Cark = p :

I On a une liste des simples, mais pas de construction explicite.

I Il y a plusieurs mani`eres de recoller des repr´esentations : p = 2 S²(kⁿ)⊕Λ²(kⁿ) 6= (kⁿ)^⊗2

I Cohomologie non nulle, et difficile `a calculer en g´en´eral.

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 4/12

Introduction (3) Contenu de l’expos´ e

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Param`etres :

I n = taille de G (G ⊂M_n(k)),

I p =Car(k)

→M´ethodes : int´erˆet principal pour n ≥p. Plan :

I. Representations polynomiales et foncteurs II. Cup produits

Introduction (3) Contenu de l’expos´ e

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Param`etres :

I n = taille de G (G ⊂M_n(k)),

I p =Car(k)

→M´ethodes : int´erˆet principal pour n ≥p. Plan :

I. Representations polynomiales et foncteurs II. Cup produits

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Introduction (3) Contenu de l’expos´ e

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Param`etres :

I n = taille de G (G ⊂M_n(k)),

I p =Car(k)

→M´ethodes : int´erˆet principal pour n ≥p.

Plan :

I. Representations polynomiales et foncteurs II. Cup produits

Introduction (3) Contenu de l’expos´ e

Pb1 :d´ecrire repr´esentations simples de G.

Pb2 :comprendre la structure des repr´esentations ”utiles”.

Pb3 :comprendre la cohomologie de G.

Param`etres :

I n = taille de G (G ⊂M_n(k)),

I p =Car(k)

→M´ethodes : int´erˆet principal pour n ≥p.

Plan :

I. Representations polynomiales et foncteurs II. Cup produits

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 5/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k)

polynomiale (homog`ene deg d) :

V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var.mi,j (homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V). ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale

(homog`ene deg d) :

V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j

(homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V). ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) : V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j (homog`ene deg d)

Repr´esentation de G ⊂M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) (V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V).

ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) : V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j (homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V).

ρ polynomiale (homog`ene deg d)

Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) : V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j (homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V).

ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) : V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j (homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V).

ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (1)

Repr´esentation de M_n(k) polynomiale (homog`ene deg d) : V +ρ:M_n(k)→End(V)

ρ([mij]) polynome var. mi,j (homog`ene deg d) Repr´esentation de G ⊂M<sub>n</sub>(k) polynomiale (homog`ene deg d)

(V, ρ:G →GL(V)) t.q.ρ s’´etend en ρ:M_n(k)→End(V).

ρ polynomiale (homog`ene deg d) Exemples :

I kⁿ action deG par multiplication des matrices.→ deg 1

I Λ^d(kⁿ)→ deg d

I S^d(kⁿ) → degd

I M_n(k), action deGL_n(k) par conjugaison.→ pas polynomiale

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρF :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial

(deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn.

(degd)

Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 6/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρF :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial

(deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn.

(degd)

Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρ_F :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g)

Foncteur (strictement) polynomial

(deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn.

(degd)

Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρ_F :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial

(deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn.

(degd) Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρ_F :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial (deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn. (degd) Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρ_F :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial (deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn. (degd) Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V), avec partition λded

I L^d :V 7→ L^d(V) (composante de l’alg. Lie libre )

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (2)

”Foncteurs = constructeurs de repr´esentations”

Foncteur F : {k−evdim<∞} → {k−evdim<∞}

V 7→ F(V)

Repr´esentation (F(kⁿ), ρ_F) deG

avec ρ_F :G ⊂ GLn(k) → GL(F(kⁿ)) g 7→ F(g) Foncteur (strictement) polynomial (deg d)

F polynomial si toutes les (F(kⁿ), ρ_F) sont repr´es polyn. (degd) Exemplesde foncteurs polynomiaux degd :

I Λ^d : V 7→Λ^d(V) I S^d : V 7→S^d(V)

I Plus g´en´eralement les foncteurs de SchurSλ:V 7→Sλ(V),

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles

Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk.

Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Autres groupes classiques (T09) :

Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk. Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Autres groupes classiques (T09) :

Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk. Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Autres groupes classiques (T09) :

Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk.

Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Autres groupes classiques (T09) :

Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

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I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk.

Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F)

'

Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Autres groupes classiques (T09) : Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk. Thm(Friedlander Suslin 97) :

Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Autres groupes classiques (T09) : Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 7/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk. Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Autres groupes classiques (T09) : Thm :Si degF ≤n

Ext^∗_P(⊕_d≥0Γ^d◦Λ²,F)'Ext^∗_Rep(Sp

n(k))(k,F(kⁿ))

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (3)

Cat´egorieP :

(objets = foncteurs polynomiaux

morphismes = transformations naturelles Cat´egorie ”gentille”

I ab´elienne,

I cat´egorie de modules sur alg`ebre Schur End_Σd(k^n⊗d)

I injectifs S^d1⊗ · · · ⊗S^dk, projectifs Γ^d1⊗ · · · ⊗Γ^dk. Thm(Friedlander Suslin 97) : Si degE,degF ≤n

Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Autres groupes classiques (T09) :

Thm :Si degF ≤n

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 8/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables. Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dans P

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ)) Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables. Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dans P

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 8/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables. Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dans P

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k)

2. Techniques de calcul fonctoriel dans P

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 8/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dansP

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]... 3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dansP

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]... 3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 8/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dansP

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dansP

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques

Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 8/12

I. Repr´ esentations polynomiales et foncteurs (4)

Thm(Friedlander Suslin 97) :Si degE,degF ≤n Ext^∗_P(E,F) 'Ext^∗_Rep(GL

n(k))(E(kⁿ),F(kⁿ))

Qu’est-ce qu’on perd ?

1. Toutes les repr´esentations ne sont pas polynomiales 2. Seuls calculs pour n grand concern´es.

Qu’est-ce qu’on gagne ?

1. Le n a disparu `a gauche : bon cadre pour calculs stables.

Fonctorialit´e↔ induction/restriction GL_n(k) -GL_m(k) 2. Techniques de calcul fonctoriel dansP

Composition des foncteurs ↔? ?

⇒ D´ecouverte de ”propri´et´es stables”, invisibles `a droite

⇒ Nombreux calculs possibles [FS97], [FFSS99], [C05]...

3. Les foncteurs apparaissent dans d’autres contextes

⇒ nouvelles interpr´etations de cohom groupes alg´ebriques Ex [T13] :L

d≥0Ext^∗_P(S^d,Λ^d)'H∗^sing(K(Z,3),k)

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V.

Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Pas

pratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] !

Exemple : G =GLn(k), i =j = 0 Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 9/12

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V. Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Pas

pratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] !

Exemple : G =GLn(k), i =j = 0 Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V. Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Pas

pratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] !

Exemple : G =GLn(k), i =j = 0 Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 9/12

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V. Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Pas

pratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] !

Exemple : G =GLn(k), i =j = 0 Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V. Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Pas

pratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] ! Exemple : G =GLn(k), i =j = 0

Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 9/12

II.

: Cup produits (1)

Pb :U,V deux repr´esentations deG. ComprendreU ⊗V. Un outil : le cup produit.

Extⁱ_Rep(G)(V,W)⊗Ext^j_Rep(G)(X,Y) → Ext^i+j_Rep(G)(V ⊗X,W ⊗Y)

[c1]⊗[c2] 7→ [c1⊗c2]

Paspratique !

I mais aucune garantie que [c1⊗c2]6= 0 !

I mais les classes ne sont pas toutes de la forme [c₁⊗c₂] ! Exemple : G =GLn(k), i =j = 0

Hom_Rep(G)(k^n∗,k)⊗Hom_Rep(G)(kⁿ,k)

| {z }

→ Hom_Rep(G)(Mn(k),k)

| {z }

0 6= 0

II.

: Cup produits (2)

Thm(T09) : SiE,F,H,K foncteurs polynomiaux,

Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_P(E,F)⊗Ext^∗_P(H,K) → Ext^∗_P(E⊗H,F ⊗K) [c₁]⊗[c₂] 7→ [c₁⊗c₂]

Cor :V =E(kⁿ),W =F(kⁿ),X =H(kⁿ),Y =K(kⁿ), G =GLn(k). Avec n assez grand :

Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_Rep(G)(V,W)⊗Ext^∗_Rep(G)(X,Y) → Ext^∗_Rep(G)(V⊗X,W ⊗Y)

Resultats injectivit´e analogues pour les autres groupes classiques. Thm(T15) : Sous certaines conditions, le cup produit est un

isomorphisme ! dans les bas degr´es cohomologiques.

Congr`es SMF 2016 - A. Touz´e 10/12

II.

: Cup produits (2)

Thm(T09) : SiE,F,H,K foncteurs polynomiaux, Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_P(E,F)⊗Ext^∗_P(H,K) → Ext^∗_P(E⊗H,F ⊗K) [c₁]⊗[c₂] 7→ [c₁⊗c₂]

Cor :V =E(kⁿ),W =F(kⁿ),X =H(kⁿ),Y =K(kⁿ), G =GLn(k). Avec n assez grand :

Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_Rep(G)(V,W)⊗Ext^∗_Rep(G)(X,Y) → Ext^∗_Rep(G)(V⊗X,W ⊗Y)

Resultats injectivit´e analogues pour les autres groupes classiques. Thm(T15) : Sous certaines conditions, le cup produit est un

isomorphisme ! dans les bas degr´es cohomologiques.

II.

: Cup produits (2)

Thm(T09) : SiE,F,H,K foncteurs polynomiaux, Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_P(E,F)⊗Ext^∗_P(H,K) → Ext^∗_P(E⊗H,F ⊗K) [c₁]⊗[c₂] 7→ [c₁⊗c₂] Cor :V =E(kⁿ),W =F(kⁿ),X =H(kⁿ),Y =K(kⁿ),

G =GLn(k). Avec n assez grand : Injectivit´e ! du cup produit

Ext^∗_Rep(G)(V,W)⊗Ext^∗_Rep(G)(X,Y) → Ext^∗_Rep(G)(V⊗X,W ⊗Y)

Resultats injectivit´e analogues pour les autres groupes classiques. Thm(T15) : Sous certaines conditions, le cup produit est un

isomorphisme ! dans les bas degr´es cohomologiques.