MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2003 1/4
MATHÉMATIQUES I Filière TSI
L’épreuve est constituée par deux problèmes indépendants.
Partie I -
étant un réel donné, on désigne par la fonction définie sur par : ,
et, dans le cas où l’intégrale est convergente, on pose : .
I.A -
I.A.1) On suppose .
Déterminer la limite de la fonction quand tend vers . L’intégrale de la fonction est-elle convergente sur ? I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où . I.A.3) Montrer que :
.
L’intégrale de la fonction est-elle convergente sur quand vérifie ?
α fα IR+
fα( )x x 1+xαsin2x ---
=
I( )α fα( )x dx
0
∫
+∞=
α<0
fα x +∞
fα IR+
α = 0
fα( )x x 1+xα ---
≥
fα IR+ α
0<α≤2
Concours Centrale-Supélec 2003 2/4
Filière TSI
MATHÉMATIQUES I Filière TSI
I.B - On suppose . On pose :
,
,
et .
I.B.1) Montrer que l’intégrale de la fonction est convergente sur si et seulement si la série
est convergente.
I.B.2) Montrer que : , . I.B.3) Montrer que
et .
I.B.4) étant un réel strictement positif, calculer
et en déduire et . α>0
vn n 1 2---
–
π dx
1 n 1
2---
+
π
αsin2x +
---
n 1 2---
–
π n 1
2---
+
π
∫
=
un fα( )x dx
n 1 2---
–
π n 1
2---
+
π
∫
=
wn n 1 2---
+
π dx
1 n 1
2---
–
π
αsin2x +
---
n 1 2---
–
π n 1
2---
+
π
∫
=
fα IR+
un
n=1 +∞
∑
n∈N∗
∀ vn≤un≤wn
wn (2n+1)π du
1 n 1
2---
–
π
αsin2u +
---
0 π 2---
∫
= vn (2n–1)π du
1 n 1
2---
+
π
αsin2u +
---
0 π ---2
∫
=
h
1
1+h2sin2x ---dx
0 π 2---
∫
vn wn
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Concours Centrale-Supélec 2003 3/4
I.B.5) Montrer qu’il existe une constante strictement positive telle que
pour tout entier naturel non nul et une constante strictement positive telle que
pour tout entier naturel strictement supérieur à .
I.B.6) En déduire que l’intégrale de la fonction est convergente sur si et seulement si .
I.C - On pose
pour tout réel strictement supérieur à .
I.C.1) Montrer que est décroissante sur .
I.C.2) En utilisant la minoration de établie à la question I.B.5, montrer que tend vers l’infini quand tend vers .
I.C.3) En utilisant la majoration de établie à la question I.B.5, montrer que tend vers quand tend vers .
Partie II -
On considère la série de fonctions
avec .
On pose
.
II.A - Pour quelles valeurs de la série est-elle convergente ? K
vn Kπ2
α 2--- –
n+1
( )
α ---2–1
---
≥
n K′
wn K′π2
α ---2 –
n–1
( )
α 2---–1
---
≤
n 1
fα IR+
α>4
φ α( ) π fα( )x dx
2---
∫
+∞=
α 4
φ ]4,+∞[
vn
φ α( ) α 4
wn
φ α( ) 0 α +∞
un( )x
n=1
+∞
∑
un( )x = n---n!xSn( )x uk( )x
k=1
∑
n=
x
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Concours Centrale-Supélec 2003 4/4
On pose alors
.
II.B - Montrer que est à valeurs strictement positives et que la fonction est strictement croissante.
II.C - Calculer .
II.D - Montrer que, pour tout réel strictement négatif et tout entier naturel strictement supérieur à 1 :
.
On remarquera que, lorsque est strictement supérieur à , on a :
et .
II.E - En déduire une valeur approchée de à près.
II.F - Étudier les limites de quand tend vers , quand tend vers . II.G - Donner l’allure de la représentation graphique de , en précisant la nature des branches infinies.
II.H - Démontrer que :
, , .
II.I - Démontrer que l’intégrale
est convergente.
II.J - Démontrer que .
••• FIN •••
S x( ) un( )x
n=1 +∞
∑
=
S S
S( )0,S( )1 ,S( )2 , S( )3
x n
0< S( )x Sn–1( )x nx
n!--- 1 1
n---
+
≤ +
k n
k n---
x<1 n!
k!--- 1
n+1 ---
k–n
≤
S( )–1 10–2
S x +∞ x – ∞
S
x∈[0 1, ]
∀ ∀p∈N∗ xk
k!---
k=0
∑
p ex ---xk!k exp---p!
+
k=0 p–1
∑
≤ ≤
et–1 ---dtt
0
∫
1et–1 ---t dt
0
