NOUVELLES PROCÉDURES TRIDIMENSIONNELLES DE CARACTÉRISATION DES MATÉRIAUX PIÉZOÉLECTRIQUES

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Submitted on 1 Jan 1990

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NOUVELLES PROCÉDURES

TRIDIMENSIONNELLES DE CARACTÉRISATION DES MATÉRIAUX PIÉZOÉLECTRIQUES

M. Brissaud

To cite this version:

M. Brissaud. NOUVELLES PROCÉDURES TRIDIMENSIONNELLES DE CARACTÉRISATION

DES MATÉRIAUX PIÉZOÉLECTRIQUES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-

579-C2-582. �10.1051/jphyscol:19902136�. �jpa-00230431�

Colloque C2, supplément au n°2. Tome 51, Février 1990 C2-579 1er Congrès Français d'Acoustique 1990

NOUVELLES PROCÉDURES TRIDIMENSIONNELLES DE CARACTÉRISATION DES MATÉRIAUX PIÉZOÉLECTRIQUES

M. BRISSAUD

INSA, Laboratoire de Génie Electrique et Ferroélectricité, F-69621 Villeurbanne Cedex, France

Résumé : La caractérisation des matériaux piézoélectriques s'effectue au moyen de procédures décrites dans les normes IEEE. Elles sont basées sur l'utilisation de modèles unidimensionnels (MASON ou KLM) qui supposent que les modes de vibration sont découplés. Or, pratiquement, cette hypothèse est mise en défaut du fait de l'exis- tence des couplages dus aux effets POISSON et piézoélectriques. La modélisation tri- dimensionnelle proposée reposant sur des hypothèses indépendantes du mode et de la géométrie considérés, conduit à un ensemble de résultats cohérents où existent cer- taines redondances. Elle fournit pour un mode particulier toutes les fréquences de résonance correspondant aux modes longitudinaux. Enfin, les relations générales tri- dimensionnelles se réduisent aux expressions simplifiées unidimensionnelles lorsque sont introduites les conditions de vibration unimodale et unidimensioanelle.

Abstract : Piezoelectric material characterization is carried out by means of proce- dures described in IEEE Standards. They are based on the MASON'S one-dimensional model or the KLM one. In these models, the vibration modes are assumed to be non- coupled. In practice this hypothesis fails because there are always POISSON's ratios and piezoelectric effects. The three-dimensional modelling which is proposed uses hypotheses which do not depend on the considered mode and the sample geometry. It leads to a set of coherent results where there is a certain redonduncy and gives all the resonance frequencies related to longitudinal modes. Finally general relation- ships reduce to one-dimensional equations when one-dimensional assumptions are intro- duced in the 3D-modelling.

I- INTRODUCTION

La détermination des paramètres, élastiques, piézoélectriques et diélectriques, des matériaux céramiques piézoélectriques nécessite habituellement l'utilisation de plu- sieurs échantillons dont la forme et les dimensions sont définies dans les normes IEEE [1][2]. La réalisation de ces échantillons est une opération longue et bien qu'ils pro- viennent du même lot, il peut, lors de la polarisation, se produire une petite dispersion des résultats. Il serait plus judicieux de pouvoir déterminer tous les paramètres à partir d'un même échantillon. Les modèles unidimensionnels décrits dans les normes en supposant les vibrations découplées ne permettent pas de réaliser la caractérisation complète au moyen d'un seul élément. Ce n'est pas le cas de la modélisation tridimensionnelle proposée qui fait intervenir, pour une géométrie donnée, l'ensemble des paramètres liés aux ondes de type longitudinal. Il est par exemple possible à partir d'un disque d'obtenir les qua- tre constantes élastiques à induction constante ( C ^ , C1 2 • C1 3 et C3 3) .

Après une description des hypothèses générales utilisées, nous donnerons les prin- cipaux résultats théoriques correspondant à la modélisation tridimensionnelle.

II- HYPOTHESES GENERALES

Contrairement aux modèles unidimensionnels pour lesquels les hypothèses simplifi- catrices varient avec le mode et la géométrie considérés [1]-[A] les modèles tridimension- nels utilisent les mêmes hypothèses pour toutes les géométries. Elles se rapportent l'une au type d'onde se propageant dans les matériaux piézoélectriques et l'autre aux conditions aux limites sur les faces latérales des échantillons.

La vibration globale d'un corps s'effectue sous l'action de trois ondes planes de mode longitudinal se propageant chacune selon un axe de coordonnées; Par suite, tous les points d'une face vibrent en phase et les déplacements correspondants sont égaux et indé- pendants des deux autres coordonnées, soit :

Ui (Xj) = UCxj) exp j«t (1) Ces trois ondes sont couplées par les coefficients de POISSON et les paramètres

piézoélectriques du corps. Tout se passe finalement comme si trois-modes-pistons étaient couplés par les constantes élastiques et piézoélectriques de la céramique.

La mise en oscillation des corps est réalisée par l'application d'une force élec- tromotrice sinusoïdale sur les électrodes déposées sur les faces supérieures et inférieu- res perpendiculaires à l'axe de polarisation 3 ou z.

Les faces se déplaçant parallèlement à elles-mêmes, seules les composantes E3et D3

du champ et de l'induction électriques ne sont pas nulles.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902136

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Du fait de la propagation d'ondes planes selon les axes de coordonnées, les tersies d'indices croisés (13,31 ou 23,32 ou 12,211 du tenseur des déformations sont nuls : S, = S, = S, = O. Il s'ensuit que les composantes du tenseur des contraintes correspondant au cisaillement sont aussi nulles : T, = Tg = Tg = 0.

On supposera d'autre part que les faces latérales sont libres quelle que soit la géométrie des échantillons, ce qui n'est pas toujours le cas pour les modèles-unidimen- sionnels C23.

Notons enfin qu'il n'est pas nécessaire de supposer les matériaux sans pertes. En effet celles-ci peuvent être aisément introduites en considérant des paramètres élastiques complexes de la forme C_B=C,e(l+jp) où le terme de perte "pl1 est petit devant l'unité [Ill.

III- HODE DE RESONANCE DES ELEMENTS CERAMIQUES PIEZOELECTRIQUES

Les hypothèses précédentes ont été appliquées à trois géométries différentes : parallélépipédique, cylindrique et sphérique. Pour chaque géométrie, diverses formes serent concernées. Du fait des hypothèses générales utilisées, les résultats seront vala- bles quelles que soient les dimensions des échantillons céramiques. Par exemple pour la géométrie cylindrique, les résultats seront applicables aux cas d'un disque, d'un cylin- dre, d'un anneau ou d'un tube.

La détermination des fréquences de résonance des matériaux comporte trois étapes qui sont tout d'abord le calcul des vitesses de propagation des ondes dans le matériau, puis celui des amplitudes respectives de ces ondes, et enfin le calcul de l'impédance électrique présentée par le corps lorsqufil est connecté à un générateur. L'utilisation pour chaque géométrie d'un système d'axes appropriés et l'utilisation de la loi de NEWTON conduit dans chaque cas à une équation d'équilibre permettant le calcul des vitesses de propagation des opdes et la détermination de l'écriture des déplacements u(x) relatifs à chaque direction (sinusoïde ou fonction de Bessel). Les conditions aux limites sur les faces permettent la détermination des amplitudes des ondes au sein du milieu. A ce stade des calculs, on montre que les célérités des ondes selon les trois axes principaux de l'échantillon considéré sont les mêmes pour toutes les géométries. Nous avons rappelé dans le tableau 1 les expressions de ces célérités en fonction des constantes élastiques du milieu. Notons que dans la direction de polarisation (x3, z et r en coordonnées cartésien- nes, cylindriques et sphériques respectivement), la célérité est toujours la même, que le milieu soit indéfini ou non. Par contre, lorsque le milieu vibre dans son ensemble, la célérité selon les deux autres directions est différente de celle obtenue dans le cas d'un milieu indéfini. Cela provient du fait que dans ce dernier cas, l'onde est générée à ltex- térieur du milieu piézoélectrique et celui-ci sert simplement de support de propagation.

Ce n'est pas le cas d'un élément vibrant, car l'onde prend naissance à l'intérieur du corps et s'y propage ensuite.

Tableau 1

-

RECTANGULAIRE

.

quelconques

CYLINDRIQUE Rayons :

interne b externe a hauteur a, quelconques SPHERIQUE Rayons :

interne b externe a quelconques

.

CELERITES

v',= -

P

e l

v'= -

P

~ 1 3

\$= -

P c i

vl= -

P

~ 3 3

\$= -

P

FORMES

Plaques

~arres à section rectangulaire

Disques, cylindres,

anneaux, tubes

et coques sphériques

RESULTATS COEFFICIENTS DE COUPLAGE

kZ=

-

Ci,

hz,, kf=

- ~ 5 ,

cl

h3 3

kt=

- ~3~

CL

h : ⁱ kf=

-

cl

h : 3

k:=

-

MECANIQUES S,,S,,S3d T11Tz'T3*

S,=S,=S,=B T ~ = T ~ = T ~ = E ~

Sr,Se,Sx*O

Tr*Te vTz*O S4=S,=S,=0 T,=T5=T6=0 S,.Se,Sv*O T, ,Te, T,+,sO S4=S5=S6=0 T,=T,=T,=O

KYPOTHESES ELECTRIQUES

E3rO;D3d El=Ez=O D,=D,=O Vxi,XZ

E3*O;D3*0 Er=Ee=O D,=D,=O 'J'r .O E,#O,DrSO EF=E,=O DV=De=O t?r,B,V

intégrant la composante du champ électrique dirigée selon l'axe de polarisation qui est aussi celui des lignes de champs, et en exprimant l'induction électrique qui représente la densité surfacique de charge en fonction du courant traversant la céramique, on en déduit l'expression générale de l'impédance électrique des matériaux.

Les conditions de résonance sont obtenues en écrivant que l'impédance électrique devient infinie pour certaines fréquences qui sont les fréquences d'anti-résonance de l'élément çéraiiiique piézoélectrique.

Les exp~essions générales des impédances relatives à chaque géométrie sont rappe- lées dans le tableau 2. Elles ont la même structure et sont constituées d'un terme corres- pondant à la capacité seule de l'échantillon, puis d'un second terme relatif au couplage latéral ou radial, et enfin d'un troisième terme correspondant à la vibration selon l'axe de polarisation. La complexité des termes croît avec la géométrie. Lorsque l'impédance de- vient infinie, on a affaire à une anti-résonance C21 et lorsqu'elle devient nulle on a une résonance, On peut donc retrouver avec ces relations toutes les résonances possibles rela- tives à une géométrie donnée : les modes latéraux et épaisseur pour l'échantillon rectan- gulaire, les modes radiaux et en épaisseur pour le disque et les deux types de modes ra- diaux (symétriques et anti-syniétriques) et le mode épaisseur pour l'anneau E101. Notons que l'expression générale de l'impédance d'un anneau se réduit ^à celle du disque de même diamètre externe lorsque son rayon interne tend vers zéro. De plus, lorsque l'on introduit les conditions de fonctionnement unidimensionnel, c'est à dire soit h,, = O et

, : c

soit h,, = O e c

~ 3 ,

Tableau 2

Impédances électriques tridimensionnelles correspondant à diverses-géométries GEOMETRIES

Rectangulaire

Cylindrique

Disque

Anneau

Sphérique sphère creuse

IMPEDANCES z=- 1

jCo*

='393

h3, h 3 3 ( ~ y l + ~ ~ 2 ) - 2 h 3 1 ~ ~ 3

tF

1-

-

2 a3a3

(C:~+C:~)

-

2 2 2

Co = a1a21a3 , = mlV, or3 = wlV3

z = - 1 j Cou

"3%

h2~~%-h33c:3 Qh31 h33 ~ ~ h ~ ~ - h ~ ~ ~ : ~ a ~ ~ ( a a )

tF

1

-

- -

JaC~3-C~~aJ,(aa) 't3 3:' J,C~~-C$J,(Q~) 53%

-

L 2

C, = IT aZ/a3

,

cyi

- ( c ~ ~ - c / ~ )

z = - 1

j C o w r

"3%

hg 1~33-~33~:3 ah3 1 hg 3

1

-

- -

- tT

A

PL

-

2 c0=~~,~(a2-b2)/a3; J, Y, et Y, ont la même forme que Ja en introduisant b et Yi à la place de a et J i ; A et N s'expriment en fonction de Jo,Jl,Yo,Y, Cl01

1 M ^{h31 h33} A Jisb + 'ab

jcow A p33 G 3

~ = - [ l - - - ' A

1

Co= ~;,4nab/(a-b) ; J,,= a'(5~u(cu,a)+b-'~v(03b) Y,,i J,, en introduisant Y dans J,, ; 5 , A, B, M sont fonction de J,.Yy Cl11

v = 0.5 [1+8 (c~,+c~,-c~~)Ic~,I'

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Il est ^à remarquer que la permittivité et les coefficients de couplage électromé- canique sont les mêmes pour toutes les géométries. Ce n'est pas le cas pour les modèles unidimensionnels pour lesquels ces paramètres varient d'un mode à 3'autre et d'une géomé- trie à l'autre. Cela provient du fait que les calculs sont, dans ces derniers cas, con- duits avec un nombre limité de coefficients.

Le tableau 2 montre que dans le cas d'une sphère piézoélectrique, l'indice des fonctions de Bessel est quelconque, mais voisin de la valeur fractionnaire 312. Il devient exactement égal à cette valeur lorsque le matériau est élastiquement ISotrope, ce qui n'est généralement pas le cas des céramiques piézoélectriques. Ce résultat est à rappro- cher de celui obtenu, en statique, pour un capteur sphérique piézoélectrique. Dans ce cas le déplacement u(r) est de la forme u(r) = ~r'' + ~r'' où, du fait de l'anisotropie, v i et

v, - ne sont pas entiers C121.

Notons enfin que la capacité Co du matériau correspond dans tous les cas à la ca- pacité de lvéchantillon libre de vibrer, et est reliée à la permittivité a:,. Or, il est d'usage d'appeler celle-ci la permittivité du matériau "clampé" ou bridé latéralement.

Cette dénomination est erronée et est liée aux conditions aux limites inexactes que l'on prend habituellement pour le mode en épaisseur.

IV- CONCLUSION

Nous avons montré que la caractérisation des matériaux céramiques piézoélectriques est possible en utilisant des hypothèses indépendantes à la fois de la géométrie et du mode considérés. Il s'ensuit une plus grande cohérence entre les résultats. De plus, il y existe des redondances ou des recoupements, ce qui permet d'améliorer la précision des résultats. Les expre8sions générales fournissent l'ensemble des fréquences de résonance de mode longitudinal relatif à une géométrie dom&. Ils complètent et précisent les domaines de validité des modèles unidimensionnels et sont applicables dans une large gamme de fré- quences.

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