Diffusion d'électrons par des alcalis neutres au premier seuil d'excitation

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Submitted on 1 Jan 1967

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Diffusion d’électrons par des alcalis neutres au premier seuil d’excitation

A. Salmona

To cite this version:

A. Salmona. Diffusion d’électrons par des alcalis neutres au premier seuil d’excitation. Journal de

Physique, 1967, 28 (10), pp.776-782. �10.1051/jphys:019670028010077600�. �jpa-00206580�

DIFFUSION D’ÉLECTRONS

PAR DES

ALCALIS

NEUTRES AU PREMIER SEUIL D’EXCITATION

Par A.

SALMONA,

Observatoire de Paris, 92-Meudon.

Résumé. - Nous nous proposons de montrer comment

peut

^{se calculer la section de choc}

lorsque

les électrons incidents ont exactement

l’énergie

suffisante pour

porter

^{l’atome de l’état}

fondamental au

premier

niveau excité.

La méthode

s’applique

aussi bien au cas où les électrons ont une

énergie

^nulle.

Il est en outre

possible

^d’avoir

numériquement

^{une idée du}

comportement

de certaines sections de chocs

partielles

^au

voisinage

^du

premier

seuil d’excitation.

Abstract. ²⁰¹⁴ In this paper ^we shall show how to

compute

collision cross-sections when the incident electrons have

precisely

the energy necessary ^to excite the atom from the

ground

state to the first excited level.

The method can also be

applied

^{to the case of zero} electron energy.

Furthermore ^it is

possible

^{to evaluate}

numerically

the behaviour of certain

partial

^cross-

sections in the

neighbourhood

of the first excitation threshold.

Introduction. ^-

L’analyse

^{en ondes}

partielles

conduit aux

equations

^suivantes

[1]

pour les fonctions d’onde diffusées :

Les

equations (1)

^{sont ecrites dans la}

repr6senta-

tion

ST,

^LT

respectivement spin

^{total et moment}

angulaire

^total. Une voie i est d6finie par les nombres

quantiques (LT, ST,

ni,

Li, h, Ki)

^{ou :}

N est le nombre total de

voies,

ni ^{est un} ensemble de nombres

quantiques

^ser-

vant a determiner 1’6tat

atomique i,

Li

^{est le moment}

angulaire

de 1’atome

(dans

1’6tat

i),

li

^{est le moment}

angulaire

^de 1’electron de diffusion dont

1’6nergie

^est

Ei = 1 _K2

Wij (Fj)

^{est un terme}

d’6change

s’annulant comme la fonction radiale

atomique Pi (r)

^{- donc}

exponentiellement,

Vij (r)

^{est une} fonctionnelle des fonctions radiales de

l’atome, Pi(r)

^et

Pj(r)

d6croissant asymp-

totiquement

^{comme une}

puissance

^enti6re

de

1 /r.

L’état fondamental de 1’atome est un etat S : L ⁼ 0.

Le

premier

6tat excite est un

6tat p :

^{L = 1}

(n

^est

le meme pour 1’etat s et pour 1’6tat

p).

^{Dans le cas}

de

l’hydrogène,

^ces deux niveaux sont

d6g6n6r6s.

^Il

n’en est

plus

^{de meme pour} les alcalins :

E8 i= E,.

Les niveaux

d’energie

^{ne sont} pas les

memes. Ki

^est

6gal

^{soit a}

KS

^{ou a}

Kp

^avec

Des que ^{r est} suffisamment

grand :

r > _ro, les

equations (1)

s’ ecrivent :

Vij (r) prend

alors la forme

[2] :

OU

Dans le cas d’un atome neutre,

at;

^{n 0.}

Soit N le nombre de voies considerees. N

depend

du nombre de niveaux

atomiques.

Le niveau fonda- mental donne une seule voie I ⁼

LT ;

^le

niveau p

^en

donne trois : I ⁼

LT, L7±

^1.

Notons que les

equations (1)

^et par

conséquent (4)

se subdivisent en deux groupes

d’6quations ind6pen-

dantes selon que :

ou que

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019670028010077600

777

Recrivant les

equations (4)

^{sous forme}

vectorielle,

on a :

CX)

p,

y ^sont des matrices ^N X N

symetriques

^{et K2 une}

matrice

diagonale.

^{Si on ne conserve que les termes}

1

en 2 :

^r

si

on a :

Dans ce cas, les voies

correspondant

^{aux niveaux}

d’energies d,

^{etc., sont fermees.}

Compte

^{tenu de}

(5’)

et

compte

^tenu du fait que

1’equation

oil y2

> 0 et K reel admet pour solution bornee ^à l’infini une solution dont le

developpement asympto- tique

^est

on

peut

facilement ^montrer

[3]

que l’on

peut ignorer

les voies fermées dans

(6)

^avec

l’approximation (7)

sans

changer

la matrice oc.

I1 en r6sulte que dans le cadre de

1’approxima-

tion

(7)

^on

peut

^{se borner a} la seule consideration des niveaux S ^et

p.

Laissant de cote

1’equation d6coupl6e

dont la solution est

immediate,

^on

prend

par cons6-

quent

^{N = 3 et l’on a :}

Si LT ⁼

0, 1’6quation (7)

^{devient exacte si on ne}

considère _que deux niveaux S et

P ;

^en outre, ^{N =}

2,

la troisi6me

ligne

^et la troisi6me colonne

disparaissent

des matrices

(8)

^avec la voie i ⁼ 3.

Le

probl6me

de calcul de section de choc se ram6ne a la resolution des

equations (1),

c’est-a-dire a la

recherche de toutes les solutions

independantes

^admet-

tant les conditions aux limites suivantes :

m est un indice

reperant

^{les M solutions}

independantes (M N).

La matrice de reactance R est alors d6finie par :

R, B,

^{A sont} des matrices M X

M, KM

^est la restriction de K a M dimensions. Dans l’intervalle

(ro, 00),

^les

equations (6)

^sont exactement

identiques

^aux

6qua-

tions

(1).

Comme d’autre

part

^les

syst6mes (6)

^et

(7)

sont

asymptotiquement identiques,

^si

F7

^{est une solution}

des

equations (7)

^et

F6

^une solution des

equations (6) identiques

pour ^{r -} oo, ^on pourra ecrire :

ou I est la matrice

unite, U1, U2

des matrices N X N.

I1 en resulte que, pour le but que ^{nous nous} propo- sons, a savoir determiner le nombre M de solutions vérifiant les conditions

(9)

^{au seuil et les termes} du pre- mier ordre dans le

developpement asymptotique

pour

une

approximation

de la matrice

R,

^{il nous suffit de}

considerer les

equations (7)

dans l’intervalle

(ro, oo ).

Un calcul

plus precis

de la matrice R necessiterait un

developpement asymptotique

tel que

(11).

Nous allons donner ^tout d’abord les solutions

exactes du

syst6me (7)

et montrer que la solution du

syst6me (1)

^avec les conditions

(9)

^{dans le cas ou}

K2 ⁼ 0 ou bien

Ks

^{= 0 est}

unique

^et que par cons6-

quent

^M =1. De Ih resulte le fait

qu’au

^{seuil la}

collision est enti6rement

élastique.

Cas du moment

angulaire

^{total nul}

(L = 0).

^-

Posons :

Les

equations (7)

s’ecrivent :

et par elimination

Les

equations (12)

^et

(13)

peuvent ^{etre r6solues}

exactement dans trois cas

particuliers :

1 ) K,

⁼

K2 :

^les

equations

^se factorisent. Dans ce cas

a

peut

^etre

diagonalise

^{avec K2 et les}

equations (7) peuvent

^etre

d6coupl6es [4].

Dans le cas

K2

^{= 0 ou}

K1= 0,

^les

equations (12)

et

(13)

^{se ramènent a des}

equations

de la forme

ou X = r2, Q(O)

^{est un}

polynome

^{du 3e}

degr6

^{en 0}

et

P(6)

^un

polynome

^{du 2e}

degr6

^{en 0.}

Y

s’exprime

^en fonction de fonctions

hyperg6om6- triques g6n6ralis6es [5]

^du

type 2F3.

Le _processus d’61imination introduit des solutions surabondantes. Celles-ci sont 61imin6es en ecrivant le

developpement

^{en serie :}

a(n) est une matrice

(2

^x

2)

^{et f (0) est vecteur} propre de oc

Les deux valeurs propres de a, a1 a2, donnent quatre valeurs de X.

Les quatre ^solutions

ind6pendantes

^du

syst6me (7)

sont :

avec a ⁼

Ài (Ài -1 ) ; iI, i2, i3, i

⁼

permutation

^de

1, 2, 3, 4.

Le

developpement asymptotique

^{de ces solutions}

est alors

[6] :

Les coefficients

M.

^{l sont tels que}

of

C1, i; G’2,

sont

indépendants

^{du choix}

de Ài

^{- done}

de i.

D’autre part,

A§"

^et

Ag"

^{sont non nuls :}

Cherchons

parmi

^cet ensemble de solutions lineaire-

ment

ind6pendantes

^celles

qui

^vérifient les condi- tions

(9 b) :

La solution

g6n6rale

^de

(7)

^s’6crivant

OÙ P(i) est l’une des solutions

(16),

^{on voit}

d’apr6s (17 b) qu’une

combinaison

(19)

satisfaisant

(9 b)

^doit

v6rifier

779

pour annuler les termes en 0 dans le

developpement asymptotique

^de

F2.

On voit

alors, d’apr6s (18)

^et

(17 a), qu’une

^telle

combinaison annulera le terme constant

apparaissant

dans le

developpement asymptotique

^de

Fl.

^{En con-}

clusion,

^il

n’y

^{aura que} trois solutions

independantes qui

satisferont les conditions

(9 b).

Si maintenant on veut satisfaire aux conditions

(9 a)

on elimine deux solutions ^sur les quatre

qui

^consti-

tuent 1’ensemble

complet.

On voit par

consequent

que les solutions de

(1)

v6rifiant simultanement

(9 a)

^et

(9 b)

^{sont de la}

forme SF ou F est un vecteur

unique

^{et S un facteur}

numerique

arbitraire

dependant

^{du choix de la}

normalisation :

R, U£, Vin,. ^Cn

^sont

compl6tement

determines.

La matrice R se r6duit a un seul

élément, Rll

^{= R.}

L’energie

des electrons incidents est

nulle, K2

⁼

K§.

Les solutions

independantes

^de

(7)

^{sont :}

et le

developpement asymptotique

^{de ces} solutions :

Les coefficients

A’ - 1, A 2.4

^sont tels que :

par

suite,

^toute combinaison lineaire eliminant les

exponentielles

croissantes sur une composante ^les elimine aussi sur 1’autre : la condition

(9 b)

^{ram6ne a}

trois le nombre de solutions lineairement

ind6pen-

dantes.

Les solutions vérifiant donc

(9 a)

^et

(9 b)

^{sont encore}

de la forme SF ^{ou F est}

unique.

Cas du moment

angulaire

^{non nul. - Prenons}

Les

equations (7)

s’ecrivent :

on pose :

Les

equations (25)

deviennent :

Eliminant F

^et G

successivement,

^{on obtient :}

Le

cas k1 = ks

⁼

0 n’offre physiquement

^{aucun int6r6t.}

Si k1

⁼

k2

^il y ^{a encore}

factorisation.

Il

est toutefois

plus simple

^de

diagonaliser

la matrice _{a ;} les

equations

^se

d6couplent.

Nous consid6rerons le ^cas

ou k2

⁼

kv

^{= 0. Les}

equations (28)

^{se reduisent} encore a des

equations

^de

fonctions

hypergeometriques g6n6ralis6es

de la forme

(14).

L’ensemble

complet

de solutions est donne _{par :}

où

Àil’ Àis’ h; , h; , h; , Ài

^{est une}

permutation

^de

À1, À2, Å3, Å4, À5, À6; a = Ài (Ài -1 )

^{est valeur} propre de ^a

(il

y

a trois valeurs

propres).

Les formes

asymptotiques

^{de F et de G sont les} suivantes :

781

Ces coefficients ont les

propri6t6s

suivantes :

- b1li.

_{1 0}

dli, 0 ;

_{1,0’ I,l} ^sont de la forme

ou U est un facteur

independant

^de

^i,

c’est-a-dire du choix

de Xi;

-

j 1 (1 # 0), dli,l (I =,4 0)

^sont de la forme

ou U et V sont

indépendants

^{de i.}

11 est clair que

l’op6rateur D(2)

^ou

D(3) applique

sur G ne va pas modifier la forme du

developpement asymptotique

de G. Par

consequent,

^la fonction G elle-meme doit v6rifier les conditions

(9 b).

^{On doit}

pour cela eliminer les termes croissants

commençant

par

d i, ^{Or’ 7’+ 2}

^dans

(30 b)

^au moyen d’une combinaison lineaire

I

Cette meme combinaison éliminera

d’apres (32) (30 b)

^et

(31)

^{tous les}

loga-

rithmes affectés d’une

puissance

^entière

positive

^{de r}

de la combinaison lineaire donnant G.

6

La meme combinaison

surF1: Fi = £ SiF(i>,

^elimi-

; = i

nera la combinaison en

rLT b1 o

ainsi que ^tous les

logarithmes

^de

F1 multiplies

par ^une

puissance

^enti£re

positive :

^les

S2

^sont tels que

Ils determinent un sous-espace ^a

cinq

dimensions

F12>, Gi) - i = 1, 2, 3, 4,

5. On voit

d’apres (33) qu’une

deuxi6me combinaison sur ce sous-espace

va faire

disparaitre compl6tement

^les

puissances posi-

tives de r des

d6veloppements (30 a)

^et

(30 b).

11 en resulte que la condition

(9 b)

r6duit le nombre de solutions de six a

quatre,

la condition

(9 a)

^r6duisant

d’autre

part

1’ensemble

complet

^{de six a} trois. Par

suite,

^il

n’y

^aura

qu’une

solution satisfaisant les condi- tions

(9 a)

^et

(9 b),

^{d6finie a un facteur}

multiplicatif pr6s.

^Son

d6veloppement asymptotique

^{sera :}

Co

⁼

C5 == Co = 0, D2=0 0

⁰

(1’application

^de

^D(2)

sur

r(LT-1)

donnant

zero).

Avec un choix de ^norme arbitraire ^- _par

exemple A’ 0

^{= 1 - tous les autres} coefficients ^sont

complete-

ment determines. La matrice R se r6duit encore a un

seul element

R11.

Comportement possible

de la matrice ^R

(dans

^le

cas ou LT -

0)

^au

^voisinage

^du

seuil d’excitation

^de la transition 3s

3p

^{du sodium. - Le}

comportement

de la matrice R dans le ^cas ou il

n’y

^a pas de

couplage

est bien connu

[7].

Posant

P est une matrice

symetrique

^{dont la}

dependance

^en

energie

^au

voisinage

^{du seuil} peut s’ecrire dans le

cas ou il

n’y

^a pas de

couplage :

P (0)

et p

^sont deux matrices

independantes

^de

1’6nergie.

Si

(38)

^est

valable,

^on obtient alors _pour la matrice R :

dans le cas ou

K§ «

^1.

Dans le cas du sodium neutre ou le

couplage

^entre

les 6tats S

et p

^est

fort,

les formules

(39)

^et

(40)

^sont

TABLEAU I

Rli

^{est 1’element de} matrice obtenu par resolution

numerique

^des

equations (1) - sans echange.

R 1

^{est 1’616ment} de matrice obtenu par raccordement

avec

l’expression analytique (39).

Les valeurs

marquees

^d’un

ast6risque (*)

^{ont servi}

au calcul des

paramètres

intervenant dans

(39).

TABLEAU II

.pA - p(O) + ^{P12 KW}

Les valeurs

remarquées (*)

^ont

servi a la determination des

param6tres P(lo 2

^et

PI2’

TABLEAU III

susceptibles

d’une verification

numerique

^{tres satis-}

faisante :

(38)

semblerait donc

s’appliquer

^{aux 616-}

ments

( 1,1 ), (1,2)

^et

(2,1)

de la matrice P.

Toutefois,

1’element

(2,2)

^{ne v6rifie} pas

(41)

^et semblerait

plutot

donner une relation du

type

YP ^lim

R22 =

^cst.

(42)

Kp - o ^o

K

p

( ) (au

^{lieu de}

(41)), ks

⁼

0,1416

^{au seuil.}

Manuscrit requ le 3 ^mars 1967.

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