HAL Id: jpa-00233399
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233399
Submitted on 1 Jan 1936
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Sur l’équation du photon
J.J. Placinteanu
To cite this version:
SUR
L’ÉQUATION
DU PHOTONPar J. J. PLACINTEANU.
Sommaire. - D’après une hypothèse formulée autre part par l’auteur, un photon doit être représenté par un corpuscule complexe formé par l’association d’un électron et d’un positon, avec contraction de masse et annihilation de charge. Le processus du couplage nécessite la présence d’un troisième corps, à
savoir, un noyau matériel.
On établi l’équation du photon et l’on étudie ses propriétés. Cette équation contient des matrices
hermitiques et anticommutatives. Dans le cas d’une onde plane, on est parvenu à établir son invariance pour une transformation de Lorentz.
On trouve la distribution des spins et les conditions de disparition de l’onde longitudinale qui inter-vient dans la théorie de L. de Broglie.
La probabilité de densité correspond à celle prévue par la théorie de Dirac. On a établi l’équation de continuité et les expressions du courant de probabilité.
En général, dans ce travail on a trouvé non seulement les résultats contenus dans les développements
donnés par M. L. de Broglie, mais encore, on a établi quelques propriétés nouvelles qui peuvent faire éviter certaines difficultés survenues dans la théorie de M. de Broglie.
En
regardant
lephoton
comme uneparticule
com-plexe
formée d’un «corpuscule
de Dirac » et d’un canticorpuscule
»correspondant,
M. Louis deBroglie
u
proposé
une très intéressante et séduisante théorie de la lumière(’).
Pour lever la difficulté relative auxstatistiques
et pour satisfaire aux conditions des«
spins
», on attribuait à cesparticules
lespin 1
h,
et 2 donc une nature matérielle. Cela a conduit M. L deBroglie
à fairel’hypothèse
que cescorpuscules
peuvent
être assimilés aux « neutrinos », d’autantplus
que lesmasses des
particules
composantes
apparaissent
dansl’équation
finale ducorpuscule résultant,
àsavoir,
lephoton qui
doit avoir une massenégligeable.
Dans un travail paru avant
l’apparition
de la théorie de M. L. deBroglie
(~), j’avais proposé déjà
de consi-dérer lephoton
commeparticule
composée
parl’en-semble d’un électron de Dirac et d’un
positon.
Cettehypothèse
m’a étésuggérée
par le faitexpérimental
que dans la chambre deimilson,
1 absorption
d’unphoton
donne naissance à unepaire
électron-positon
dontl’ori-gine
esttoujours
le noyaubombardée
ou un noyaurencontré en chemin.
Le passage d’un neutrino de l’état des
énergies
posi-tives directement dans l’état clesénergies négatives
pourrait
difficilement être décelable parl’expérience.
De
plus,
ladistinction,
mêmeprincipielle,
entre un« neutrino » et un « anlineutrino » est difficile à
conce-voir,
car ces deuxparticules
n’ont pas descharges
(comme
l’électron etl’antiélectron !).
(1) Louis DE BROGL1E. C. R., i93!~, t. ’198, p. 135 et ’~~5; 1934,
t. 199, p. 1 165. Une 1wuvelle conception de la lumière. Hermann, Paris, 193L
(II) J. J. PLAcmTEANu. C. 1933, t. 197, p. 549.
D’après
laconception
queje
propose dans cetravail,
le
photon
étant le résultat ducouplage
d’un électron et d’unpositon,
le processus de création doits’accom-plir
en deuxétapes
que nousexpliciterons
dans cequi
suit.
§ l.
Soit doncl’équation
d’un électron àénergie
positive
où
Les matières y sont
hermétiques
et satisfont auxrela-tions d’anticommutativité ,
La fonction d’onde
’~
est une solution àénergie
posi-tive de(1).
Soit une ondeplane
128
avec la condition de
l’énergie
L’état initial serait caractérisé par
l’énergie positive
-H et
l’impulsion 1)
pour l’électronnégatif.
La pre-mièreétape
du processusenvisagé
serait le passage del’électron de l’état initial dans l’état intermédiaire
(’)
/2013Wi
=V 2
et 1),qui
est un étatinstable,
rendupos-sible par la
présence
d’un noyau absorbant. La se.conde
étape
du processus serait le saut de l’électron de cet étatintermédiaire, instable,
dans l’état finald’éner-+
gie
négative -
W etd’impulsion
-p. Mais
d’après
Dirac tous les niveauxd’énergie négative
doivent êtrecomplètement occupés.
Pour cemotif, j’envisage
cette secondeétape
par le processus inverse. A savoir unélectron
d’énergie cinétique négative,
donc unpositon,
doit sauter de son état
stable,
sous l’action du noyauqui
prend
part
au processus, dans l’état instableinter-/2013 -+
médiaire -
y 2
fF" et -p. Dans cet état
provisoire
instable,
lepositon
doitdisparaître
simultanément avecl’électron
qui
se trouvedéjà
dans l’étatprovisoire,
instable,
symétrique,
cequi physiquement
se traduitpar : le
positon
et l’électron sont absorbés par lama-tière
(le
noyau matérielqui prend
part
auprocessus !)
C’est à ce
moment,
alors,
qu’un
photon
serait émis.Pour écrire
l’équation
dupositon,
remarquons que cetteparticule
est caractérisée parl’énergie
-W,
+
l’impulsion
-p et la masse - m, si m est la masse de
l’électron (n).
Onpeut
aussi bienprendre
m- comme masse de l’électron et 1n+ comme masse dupositon,
de manière que m+ - m- soit extrêmementpetite
mais différente de zéro. Au lieu de la fonction d’onde~- (à
énergie cinétique négative)
prenons avec M. deBroglie
la fonction d onde D, définie par(3)
avec
où
l’astérisque signifie
laquantité complexe
conjuguée.
Transformons alorsl’équation (i)
de la manière sui-vante : 1. onchange
lesigne
desopérateurs àx
ô lt(zi=;2,3,4)et-)-
m_ dans - m+(ce
qui
signifie
-Voir p. ex. E. FERMI. Quantum theorie of radiation, Rev. of mod. phys., 1932, 4, p. 124.
(~) Car il est évident que (4) se conserve quand on change les
signes de W, p et de m. Le positon se comporte alors comme une particule d’énergie, d’impulsion et de masse positive et de
charge égale et de signe contraire à celle de l’électron, d’après
l’équation de propagation (~),
C) L. DE BROGLIE. conception, p. 12.
passage de
~~+
-~~L-~ ;
2. on construitl’imaginaire
conjuguée
’~2013
-~- 0 -(’~2013)+.
On trouve alorsoù Y sont les matrices
transposées
de Y. Si l’onregarde
les valeurs(i)
des matrices y, on trouvequi
doit être satisfaite par la fonction d’onde(5).
Ellereprésente
alorsl’équation
cherchée dupositon.
Pour les transformationsqui
vontsuivre,
on doit transcrireexplicitement
lessystèmes d’équations (1)
et(6),
ceque nous ne ferons pas ici pour
épargner l’espace.
§
‘~. Nous voulons maintenantexpliciter
le processus de la création duphoton.
D’après
ce processus, l’étatinstable,
intermédiaire doit êtreregardé
comme état final pour lesparticules
libres. Cet état final estéqui-valent à l’anéantissement des
particules
libresqui
sont absorbées par le noyaumatériel,
enprovoquant
ainsil’émission d’un
photon.
Cephoton
doit être décrit parune
équation d’onde,
ou par une fonctiond’onde qui
doitdépendre
de ~
et de ~, donc des antécédents des deuxparticules
composantes
et aussi de la manière dont le noyau intervient dans le processus. Je faisl’hypothèse
que la fonction d’onde duphoton
soit construite de la manière suivante :où,
donc,
l’intervention du noyau est caractésisée par le facteurqui
a le rôle d’assurer la conservation del’énergie
et del’impulsion
dans le processus total. Unedescription
exacte de cette action est évidemment
impossible.
Nous aurons alorsd’après (3), (5)
et(7)
..
d f 1
L’apparition
dufacteur 2013
est donc due auroces-V>
sus
envisagé
par nous et estnécessaire,
comme on le verra, pour assurer l’anticommutativité des matrices de Dirac dansl’équation finale,
cequi
physiquement
peut
être mis en relation avec l’intervention du noyaumatériel.
Pour former
l’équation
duphoton
multiplions
leséquations
dusyscème
(1)
par et lapremière
faisons l’addition. On
répète l’opération
avec 12, -~3 et 2013~(attention
auchangement
designe
pour les deux dernièresfonctions!)
On trouve de cette manière unsystème
de 16équations
qui
doit être satisfait par 16 fonctionset qui
peut
être écritoù S
d’après (7),
et où e doit êtreégal
àdans les huit
premières
équations,
etégal
à dans les huit dernières.Les coefficients matriciels r ont les valeurs
où ii
signifie
la matrice unité et uo = u+
14’ Les élé-ments des matrices rpeuvent
s’obtenir
par les relations suivantesCes matrices satisfont aux relations
rsrr
= 2or.
pour =1,2,:L
Par malheur la matrice
diagonale
ruz
f¡. contient dansla
diagonale
non seulement des 1 mais aussi deszéros !,
cequi
complique
un peu les calculs.Si nous supposons pour le moment les masses m+ et
-m- comme
différentes,
on obtient unequantité
carac-téristique IJ-
-- l1l+-ni-
0. Cette masse ppeut
êtreinterprétée,
d’accord avec la bien connuehypothèse
ancienne de M. L. de
Broglie,
comme masse duphoton,
extrêmementpetite,
maisquand
même différente de zéro.D’après
notreconception
cette masse est due àl’existenec d’une différence entre les deux
grandeurs
na+ et nl- àsavoir,
la masse de l’électron et la massedu
positon.
Malheureusement,
il est très peuprobable,
que dans l’état actuel desprobabilités
expérimentales,
cette différence pourra être mise en Mais il est
remarquable,
que toutes les foisquand
un électron et unpositon apparaissent
dans unphénomène
d’absorp-tion ou
d’émission,
cephénomène
doit êtreaccompagné
parl’apparitiun
d’une masse IJ.. Onpeut
sereprésenter
ce fait de la manièresuivante,
engénéralisant : chaque
phénomène
qui
met enliberté,
ou faitdisparaître
unepaire
électronpositon
sous l’action d’un noyaumatériel,
doit être
accompagné
par uneparticule
de masse il, Pour éviter lesmalentendus,
on doitpréciser
que cetteaffirmation- est loin d’assimiler un
photon
à unepar-ticule matérielle rle masse ~, par
exemple
à un «neu-trino o. Cela est évidemment faux. Mais il est très
probable
que les masses duphoton
et du neutrino ont la mêmevaleur,
déterminée par la susdite différence.On
peut
très bien penser que, si l’on a à faire avec unedisparition
simultanée d’un électron et d’unpositon
sous l’action d’un troisième corps
matériel,
la masse p.se manifestera sous la forme d’un
photon
émis;
et que, si lephénomène
faitapparaître séparément
un élec-’tron ou unpositon,
laparticule
émise seraaccompa-gnée
par uncorpuscule
matériel de masse V., à savoirun « neutrino ». On doit attribuer donc à la
particule >
cettequalité,
depouvoir
se manifester soit sous laforme d’une
particule
matérielle,
soit sous la formed’un
corpuscule
delumière,
d’après
la manière dedéveloppement
de processus d’interaction de lapaire
électron-positon
avec la matière. De cette manière onobtient une
nouvelle,
trèsimportante
constante de la nature ,.~, définie par la différence entre la masse del’électron et du
positon (si
toutefois une telle différenceexiste),
etqui
doitjouer
le même rôlecapital
aussi dans lesphénomènes
matériels que dans lesphénomènes
lumineux.Donc,
l’apparition
d’unphoton
s’accomplit
aveccontraction de masse et avec annihilation des
charges
designes
contrairesportées
par lesparticules
ini-tiales.Dans ce
qui
suit nousmett1-ons g= 0
(d’accord
avecles vues
courantes)
et doncV2
m,§
3. Lesystème
d’équations
(9)
possède
quelques
pro-priétés
évidentes. On reconnaît tout de suitequelesfonc-tions (P
présentent
certains caractères desymétrie,
de manièrequ’au
lieu des 16 fonttions 4) on aura un nombre sensiblement réduit.D’après
(7)
et(5),
ces fonctionspossèdent
dessymétries
qni
sontsimples
conséquences
de leur définition même. Envérité,
on a130
Prenons maintenant une onde
plane qui
se propagedans la direction .~~, à savoir,
Dans ce
qui
suitje
vais noter par(91)
la neuvièmeéquation
dusystème
(~J.
Alorsd’après
~93)
on trouve$11
=~33 ;
et de
(9g)
on trouve~22
=(11,
Nous pouvons alors écrire
d’où il suit que les
équations (91)
et(~~)
sontidentiques.
Puis,
après
l’introduction de cesexpressions
dans(913)
on obtientEn tenant
compte
de(911)
et(916)’
des relotions(li)
et(12’),
et de la relation del’énergie (4),
ontrouve,
en, . JV
’
ecrivant -
+
,
c
ll
apparaît
ainsi dans notrethéorie,
comme dans celle de M. L. deBroglie,
une ondelongitudinale a,f
qui,
d’ailleurs,
doit êtreregardée
comme unecuriosité,
car on a
affaire,
en somme, avec une théorie « de la lumière ». Pour être d’accord avec laconception
usuelle,
cette onde ne devra pastransporter
uneénergie
rayonnante
avecelle,
c’est-à-dire ne pasavoir sa réalité
physique.
Il doit se passerquelque
chose de semblable au
phénomène
connu à la surfaceséparatrice
dans la réflexion totale. Envérité,
on vavoir
plus
bas(§ 4)
que laprobabilité
qu’un
corpuscule
lumineux soitaccompagné
d’une ondelongitudinale
estégale
àzéro,
Les
équations
(9g)
et(9~B
parrapport
à(15)
sont satisfaitesidentiquement.
Puis on trouve de(92)
et(912)
en mettantles relations
et de la même
manière,
de(9g)
et(9t;))
en mettanton oblient
Les ondes
nif
etaz f
sont t des ondes transversalepolarisées.
Dansle § 4
on va voir que ces ondesaccompagnent
descorpuscules
lumitieux despin
+ r. Ce sont eifes doncqui
out une réalitéphysique.
On a en définitive 9
équations
pour les 9 fonctions ~indépendantes :
(1)1, $2’ ~5
(l’onde
4Ù,,
(D5, P6
(l’onde
ai fj
P8 et CP9(l’onde
Les autreséquations
sont satisfaites à cause dessymétrie,
soit
qu’elles
doivent assurer la valabilité du théorèmede l’énergie
(1).
Notre
photon
doitposséder
alors la masse [1. ~ 0.L’apparition
de lagrandeur
dans les coefficients des ondes (P est d’ailleurs toutenaturelle,
du moment que cettegrandeur
estcaractéristique
pour lescorpuscules
composantes,
donnés d’avance(à
savoir,
l’électron et lepositon).
L’équation
(9)
n’est pasidentiquement
construite comme uneéquation
habituelle deDirac;
c’est pour ce motif que m ne
peut
apparaître
dans(9)
comme masse de laparticule
résultante. La création duphoton
s’effectue non seulement avec annihilation des deuxcharges
designe
contraire descorpuscules
com-posants,
mais aussi avec contraction de la massetotale.
§
4. Ladisparition
de l’ondelongitudinale
est assurée par la relationqui
est satisfaite pour les électronsqui
prennent
part
auphénomène.
Dans ce cas on ad’ailleurs p
== 3, et lescomposantes
des deux ondes trans;ersaless’égalisent.
DoncSi l’on
envisage
cette solution(onde
plane
sepropa-geant
dans la directionx3)
on troue pourl’équation
du
photon (9)
despropriétés remarquables,
que nousvoulons étudier dans ce
qui
suit.§
5. Il est le moment de se demander si l’on doitadmettre,
avec laprescription
de lamécanique
ondulatoire,
comme densité deprobabilité,
la gran-deurou s’il n’est pas nécessaire d’admettre avec M. L. de
Broglie,
en contradiction avec lesreprésentations
de lamécanique
ondulatoire,
que cette densité deprobabilité
soit donnée parComme on va le voir
p~us
bas,
p est invariant pourune transformation
spatiale simple
et se transforme comme lacomposante temporelle
pour unetranforma-tion de Lorentz
proprement
dite. Cette circonstance (’) Le système (9) contient en réalité une série d’équations qui peuvent être regardées comme a équations de condition o.Dans la conception ci présente ces équations assurent la
vérifi-cation de la relation l’énergie (4). tandis que dans la théorie
parle
donc en faveur de lareprésentation
habituelle,
d’après laquelle
dans lamécanique
ondulatoire la den-sité deprobabilité
est donnée parl’expression
(16).
Il est aisé de vérifier que l’on a
ou,
d’après (15).
qui peut
êtreinterprété
comme ilsuit. p
doitrepré-senteur la densité de masse
(alors mc2 p
donne la den-situé initiale dePénergie
de laparticule),
tandis quereprésente
la densité de radiation sera donc ladensité de
l’énergie rayonnante).
§
6. Une circonstancequi parle
en faveur de cetteconception
est sans doutel’expression
du «spin ».
Envérité les matrices du «
spin
o sont données parFormons la ma.trice F,
r2
parexemple. Alors,
à l’aide de(16),
on obtient la valeur moyenne duspin. Il
vientCette
expression
nouspermet
maintenant de dire quela
probabilité d’apparition
duspin
-~- 1 ~z
pour l’ondelongitudinale ajj f
sera(si l’on
tientcompte
dessymé-tries des fonctions
~)
donc
égale
à zéro. Si l’on admet donc la valabilité de(16)
onpeut
conclure que laprobabilité d’apparition
d’une onde
longitudinale
est infinimentpetite,
cequi
est très satisfaisant pour une théorie de la lumièreDe la même manière on trouve comme
probabilités
d’apparition
duspin
+ fi
la valeur-qui exprime
que l’onde transversale est associée à laparticule
duspin -}-// (l’onde
aif).
De la même
manière,
on trouve laprobabilité
d’ap-parition
duspin - h
associée â l’onde transversale(fi, f),
~à
savoir
’
Ces
correspondances
sont d’accord avec les résultats de I. L. deBroglie.
Les deuxparticules qui
doivent s’associer pour donner lephoton qui
possède
lespin
fi, ont initialement lespin 1
ti chacune,
cequi
est enac-2
cord avec les données
expérimentales.
§
7. Avant deprocéder à
l’étude de la transforma-tionproprement
dite deLorentz,
je
veuxvérifier,
comme
d’habitude,
cequi
se passe si l’on soumetl’équation
(9)
à une transformationspéciale.
Si l’on pose dans(9)
on obtient les conditions de transformations
suivantes,
pour les fonctions 4>.
ce
qui
signifie
que les fonctions 1)qui
décrivent l’ondelongitudinale aof
conservent leurs valeurs. Puis on aqui correspondent
à l’onde transversale depolarisation
circulaire droite aif,
dont le «spin
» est+ fi ;
etqui
correspondent
à l’onde transversale depolarisation
circulairegauche
:~~f,
dont lespin
est - fi.Pour étudier maintenant l’invariance de
l’équation
(9)
à une transformation de Lorentz et pour formerl’équation
decontinuité,
nous devons effectuer d’abordquelques
transformationspréparatoires.
Il est néces-saire tout d’abord d’observerqu’à
cause des conditions desymétrie du §
4,
on a la relationoù
Introduisons maintenant une nouvelle matrice
et
multiplions l’équation (9)
àgauche
avec nous132
où
h’1
--- iT~
0 Fi 1 ~ matrice réellesymétrique;
r’2
=i Ir, FI
- matricehermétique ;
-,rg
rg F3 =matrice réelle
symétrique ;
rB
=rj
f 4-
=f!¡.2
et =1.Les matrices
Ir’,,
["2, f’3
sont anticommutatives. Lafonction
conjuguée
complexe
4>* satisfera alors àl’équation.
Si l’on
multiplie (18)
àgauche
par .p~ et(19)
àgauche
par 4S
et si l’on faitl’addition,
on obtientimmédiate-ment
l’équation
de continuité cherchéed’où il suit que p se transformera comme la variable
temporelle
duquadrivecteur,
dont lescomposantes
spa-ciales Ut, u2, u3 sont données par1 On
peut
représenter
la transformation de Lorentz par une rotation der angle hyperbolique
0 dans leplan
x~).
Alors,
on devra trouver une matrice Aqui
transformera la fonction 4) à l’aide de la relationdans les fonctions
4),
de manière quel’équation (18)
reste invariante. Une telle matrice sera donnée par
En remarquons
qu’après le ~
4,
l’on aainsi que
Alors,
si l’on tientcompte
de(t7),
l’on trouvedonc
et de la même
manière,
à cause de ranticommutativitéi,
2, 3).
Remarquons
à lafin,
qu’en
cequi
concerne lechamp
électromagnétique
dû auphoton (J) il
est trèsprobable
que celui ci ne pourra pas être obtenu de la mêmemanière que dans la théorie courante de
Dirac,
parce que laparticule (9)
n’est pasidentique
à uneparticule
de Dirac
(donc,
à un électronchargé).
Lephoton
apparaît toujours
sanscharge électrique
et alors si l’on+
a un
champ
extérieur A on nepeut
passubstituer,
comme
d’habitude,
dans(9)
lesopérateurs ih ôx
par( )
r1
. à e
l
les
opérateurs
ih2013
--
A,
parce que lephoton
nec
