HAL Id: jpa-00212578
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Étude des lentilles faibles électrostatiques : la deuxième
approximation
F. Bertein
To cite this version:
25 A
Conclusion. - Cette étude
expérimentale
de la-cinétique
de lapile
de Châtillon nous apermis
ladétermination des coefficients
CI, C,, C3
de la for-mule(1).
Dans le domaine de variation
linéaire,
nousécrirons,
pour lapile
de ChâtillondE
exprimant
en p. c. m. la variation deréac-tivité que subit la
pile lorsque
laplaque Pi
estdéplacée
deApi
mm, laplaque P2 de
0394p2
mm, le niveau d’eau lourde de t1N mm etlorsque
latempé-rature a varié de 46 en
degrés.
En dehors de cette formule
pratique, les
courbestracées
permettent
des déterminationsprécises,
si l’une ouplusieurs
des variables sont dans un domaine rion linéaire.On constatera l’effet très
important
de latempé-rature sur la
réactivité,
qui
est dû à la dilatationde l’eau lourde et à la
présence
del’oxyde
d’uranium. Remerciements. - Nous tenons à remercier toutparticulièrement
M.Kowarski
pour tous lesconseils
qu’il
nous adonnés
au cours de ce travail.Manuscrit reçu le 1 er mars
i fis 1.
ÉTUDE
DES LENTILLES FAIBLESÉLECTROSTATIQUES :
LA
DEUXIÈME
APPROXIMATION
Par F. BERTEIN.
Sommaire. 2014 On
reprend une étude des lentilles faibles électrostatiques [1] en adoptant une approximation d’ordre supérieur; on obtient une formule fournissant ici encore la déviation 03B4 qui
caractérise la réfraction imprimée aux rayons par la lentille. Cette formule s’applique tout particu-lièrement aux lentilles à deux dimensions ou à symétrie axiale, aux fentes et aux ouvertures
circu-laires, par exemple, dont elle permet de calculer les aberrations d’ouverture pour les faisceaux larges.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.
PHYSIQUE APPLIQUÉE. TOME
12,
OCTOBRE1951,
PAGE 1h5A..
L’étude des lentilles faibles
exposée
dans unprécédent
article[1]
a conduit
à des résultatssimples,
mais toutefoistrop
sommaires
dans
certains casparticuliers importants.
Citons,
parexemple,
celui d’une lentille à deux dimensions(ou
derévolution)
disposée
entre deuxrégions
dechamp
nul;
l’étude
indique
alors une convergencenulle,
cequi témoigne
bien d’une
approximation
insuffisante.Nous nous proposons de
procéder
ici à un calculplus approfondi;
il y aura lieu à cet effet d’écrireles
équations
exactes destrajectoires
électroniques
et de les soumettre à unprocédé
de résolution parapproximations
successives,
approprié
aux ordresde
grandeur
misen j eu:
-Nous traiterons tout d’abord les
équations
dansle cas
général
dénué desymétrie;
lesrésultats
seront ensuiteappliqués
aux deuxcatégories :
lentilles àdeux
dimensions,
et lentilles de révolution.Notations.
- Onreprendra
en lescomplétànt
les notations
précédemment
adoptéès.
La loi depotentiel
v(z)
en l’absence de- la lentille estsupposée
formée par deuxchamps
uniformesEl
etE2
régnant
respectivement
àgauche
et à droite duplan z
= o;on pose
La f onction v
(z)
elle-même
peut
présenter
unediscontinuité à la traversée de ce
plan :
onnotera
(vo - u),
(vo
+
u)
les valeurs depart
etd’autre;
en d’autres termes .On
simplifiera
l’écriture enprenant
Vo = 1..Desconsidérations
d’homogénéité permettraient
à toutinstant
de rétablir lagrandeur
vo.Le
potentiel supplémentaire
q(x,
y,z)
dû à la lentille L offre les discontinuitésopposées
à celles de v(z), puisque
la loitotale
(v
+
cp)
estrégulière.
Nous aurons à considérer les racines carrées desfonctions
précédentes
et nousnoterons,
du moinsdans les calculs du début
d’où
l’expression
suivantede 03C9
dans le casoù
l’onpeut
en faire ledéveloppement
Il sera, d’autre
part,
commode de considérer lafonc-tion
régulière
C’est le
potentiel
total dont on a retiré la loi uni-formerégnant
au loin àgauche,
de sorte que w = 9pour z o.
On
envisagera
enfinl’intégrale
de ~
parrapport
à z(x
et y sont fixes lors del’intégration)
C’est une fonction continue.
Les diverses
expressîons y,
03A6,
... seront àenvi-sager tout
particulièrement
pour z = oet +00;
ce sont alors des fonctions de x et y
seulement,
notéessimplement.
à l’aide des indices o et oo(03A6 ~
est la fonction notée (D dans lapremière
étude).
Les
équations
du mouvement : leurdéveloppe-ment. - A l’aide du
principe
de moindreaction,
leséquations
du mouvement des électrons dans le -champ
depotentiel
(v
+ al)
peuvent
être misessous la forme du
système
suivantrégissant
les deuxfonctions x
(z)
et y(z),
destrajectoires
T[2] ( on
poseNous
n’envisagerons
que letraitement
de lapremière équation,
la deuxième donnant des calculstout à fait
parallèles.
(5)
peut
s’écrire
,
K = constan e
d’intégration,
intégrale prise
lelong
de latrajectoire
elle-même,
autrement dit
les,
fonctions x, y,x’,
y’
yfigurant
sont les fonctions de z inconnues a
priori : x(z),
y(z),....
Telle est
l’équation
à résoudre parapproxima-tions successives.
A cet
effet,
ilimporte
depréciser
lesquantités
devantjouer
le rôle d’infinimentpetits.
Dansl’étude,
bien connue, des lentilles de révolution en
optique
électronique
[2],
l’on sait parexemple
que les élémentsinfiniment petits
sont essentiellementles
distances
x, y à l’axe Oz. La situation est icidifférente,
envisager
des lentilles faibles c’estessentiellement
supposer faibles parrapport
à v,les quantités
telles que cp, u,E,, E2.
Nous
considérons,
enconséquence,
ces élémentscomme étant des
infiniment petits
dupremier
ordre,
de même en cequi
concerne leurs dérivées(ces
dernières
appellent
une remarque que l’on verra un peuplus
loin).
Revenons alors au calcul d’une
trajectoire
T : apriori,
T est déterminée parquatre paramètres;
il est commoded’adopter
les suivantsqui
corres-pondent
à des données relatives à latrajectoire Tl
asymptote
àgauche :
(x, y) :
intersection deTl
avec leplan
z = o;(oc,
03B2) :
composantes
de lapente
deTl
en cepoint.
Dans ces
conditions,
nous chercherons àdéter-miner les deux fonctions x
(z),
y(z)
en les mettantsous la forme
les fonctions xi
(z),
x2(z),
... et leurs dérivées étantdes infiniment
petits
d’ordres croissantsindiqués
par les indicescorrespondants.
Lasuite
justifiera
cettedécomposition.
Enconséquence,
étant donnéeune fonction g
(x,
y,z),
sa valeur lelong
de latrajectoire
Tpeut
s’obtenir à l’àide dudéveloppe-ment,
sous réserve de convergenceen convenant
de
désigner
par9,
~g/~x,
... lesfonc-tions 9,
L9
quand
on1 y
donne à
x, y, ... .les
valeurs Z,
y.
Dans ces
conditions, l’équation (6)
peut
sedéve-lopper
suivant lespuissances
infinitésimales
crois-santes ;
on se limitera au deuxième ordreinfini
tésimal;
enconséquence
Les
intégrales
sontprises
maintenant pour les valeurs(x, y)
de l’intersection del’asymptote Tl
avec le
plan z
=.o; il en sera de même dans toutela suite et nous
prendrons
dorénavant des notationsnon
surlignées
pouralléger
l’écriture;
il n’en résultepas d’ambiguïté.
La
justification
dudéveloppement (8) appelle
une remarque. Nous considérons les fonctions telles
d03C9 ,
t-à=- -dure
d~
étan t d queox’
, ..., c’est-à-diredx’
, ..., comme étant dedx dx
infiniment
petits
dupremier
ordre,
alorsqu’elles
peuvent
en fait devenir infinies sur l’électrode :infini-ment minces
présentent
ce genre desingularités.
Mais nous avons vu dans les cassimples
desymé-trie
[1]
]
que cessingularités n’apparaissaient
pas surd03A6~
..., c’est-à-dire sur lesintégrales
en z.sur
dx
..., c’est-à-dire sur lesintégrales
en z.On
peut
ainsi penser, sans démonstrationrigoureuse,
que trèsgénéralement
lesirrégularités
des fonctionsdisparaissent
dans lesintégrales
et que lesdéveloppe-ments tels que
(8)
seront valables de la sorte dans toute l’ouverture de L.Exprimons ffi
en fonction de yd’après (2’);
l’ona en
particulier
(au
2 eordre) :
et
(8)
s’écritNotons, à
propos de cescalculs,
une remarque 1/xconcernant la fonction
qui apparait
par V-2
on
peut
appliquer
à une telleexpression
undévelop-pement
infinitésimal àpartir
de(1)
tantqu’on
reste dans la zone d’action deL;
tel est le cas pourles- termes sous les,
signes
dudeuxième membre
car les élémentscorrespondants
restent localisésdans cette zone d’action.
Résolution de
l’équation (9).
- On calculed’abord xl (z)
en annulant les termes dupremier
degré
,d’où l’on passe par
intégration
à lafonction x1
(z)
Déterminons les constantes K et K’ en fonction
des
paramètres
définissant latrajectoire
T;
d’après (11)
l’asymptote
Tl
doit avoirl’équation
ce
qui
s’écriten vertu des valeurs de son intersection et de sa
pente
en z = o; on en déduit les valeurs de Ket K’ et
(11)
devientainsi,
en yjoignant l’équation
pour yl
Si l’on
remplace
x1 (z)
par sa valeur(13)
dans lestermes du deuxième ordre de
l’équation (9),
cetteéquation
nous fournit alorsl’expression
de[x, (z)
+x2 -(z)],
c’est-à-dire la deuxièmeapproxi-mation. L’on obtient
ainsi, moyennant
desinté-grations
parparties
et en introduisant la fonction wpour
simplifier
lesexpressions
oùd’où par
intégration
(Les
limites inférieuresd’intégration
résultent del’expression
(12)
del’asymptote
T,.)
~ ~
Passage
deT,
àT2 :
d et 8. - Nous pouvonsalors,
à l’aide des donnéesprécédentes
définir,
àl’approximation
du deuxièmeordre, les
propriétés
de la
lentille,
à savoir le passage del’asymptote 7B
àl’asymptote
T2.
Apriori
T2
doit avoir uneéqua-tion
de la formeLes
quantités
(03B4x, 0))
et(âx,
dy)
constituent desvecteurs
8,
d,
définissant le passage deTi
àT2
~dans le
plan z =
o ; 0représente
unchangement
de~
Or
(15)
peut
être mis sous la formeil en résulte immédiatement
Notons que la
grandeur 6
est apriori plus
impor-~tante que d : L’effet
optique
dû auchangement
de~ ~
pente
ô
augmente,
tandis que celui dû àd
resteFig.i. .
.
constant
quand
ons’éloigne
deL;
onpeut
donc ~s’attendre à ce que seule l’existence de n intervienne
pratiquement,
sauf auvoisinage
immédiat de L.Donnons
l’expression
dedx
d’après (17)
Limitée à
l’approximation
du I erordre,
cette relation se réduirait àce
qui
est bienl’expression
obtenue antérieure-ment(relation (5)
dans[1]).
Lentilles à deux dimensions. - Nous
appli-querons aux lentilles à deux dimensions
(z,
x).
PosonsOn vérifie facilement les relations
03C8
est lafonction’
conjuguée
de la fonction w[3].
L’étude antérieure a montré que
D’autre
part,
onpeut
écrire comme suit :d’où
et par suite
(18)
devient enrétablissant vo
La
quantité
Oy
n’a iciguère
d’intérêt;
sonobten-tion n’offre pas de difficultés.
On voit que la loi de
potentiel
p de la lentille elle-même intervient-
par les
constantes h,
h’ calculables àpartir
des
intégrales (20)
et(21);
-par
l’intégrale
Le terme
renfermant
cetteintégrale,
soit,
présente
uneimportance
particulière :
si l’on aaffaire à des
trajectoires
Tprovenant
d’uneligne
objet (x, z
=const.),
c’est le seul terme de8x
qui
soit non linéaire en x; c’est donc de lui que découlent les aberrations
optiques.
,La formule
(22) présente
des
casparticuliers
importants;
dans le cas d’unpotentiel
~,symétrique
29 A Dans le cas de lentilles
disposées
dansun
champ
nul
(El
= E2 = u = o),
wz=y etDéveloppement
deOx
enfonction
de x. - On vérifie par substitution dansl’équation
deLaplace
que lepotentiel
à deux dimensionsprésente
undéveloppe-ment de la forme
d’où
q
(z)
est une fonction arbitraire apriori,
caracté-ristique
de la lentille.L’expression
w d03C8
fait ainsiintervenir des termes en z tels que
qq"
dz,
qq(4)
dz,
q" q (4)
dz,
...qui
se ramènent àq’2
dz,
q "2
dz,
.... ,par
intégration
parparties
et l’on obtient ainsiLe
premier
termeDl x
est àadjoindre
aupremier
terme de
(22’);
il fournit en vertu de sa linéaritéen x une
contribution
dudeuxième
ordre auxpro
-priétés
de convergence deGauss.
Ilprésente
de l’intérêt dans le cas des lentilles de vconstant
puisqu’il
fournit alors le seul terme de convergenced’après
(23);
sa valeur est alorsLes autres termes
fournissent les aberrations des divers
degrés
en x; on a(...,
an, ..., nombrespositifs
aisémentcalcu-lables).
On voit que ces coefficients sont tous
négatifs :
les aberrations’ des diversdegrés
en x sont toutes du mêmesigne,
la convergence pour les rayonsmar-ginaux
estsupérieure
à celle des rayons voisins del’axe;
l’on nepeut
espérer
aucunecompensation
moyenne entre les divers
degrés lorsqu’on
s’éloigne
de l’axe.
Calcul de l’écart
d.,.
- Le calcul ded.’C
esta
priori
plus
difficile que celui deOx
puisqu’il
exige
une/
intégration
supplémentaire,
conformément auxexpressions
(17).’ La
difficulté est toutefois moinssérieuse
qu’il n’y paraît
en raison dessimplifications
accompagnant
unchamp
à deux dimensions.Nous nous bornerons à le montrer ici en
suppo-sant une fonction y
présentant
deuxplans
desymé-trie : x = o et z = o. Un tel cas est réalisé si les
électrodes et les tensions
correspondantes
pré-sentent ces mêmes
symétries;
il est réaliséégale-ment
lorsque
L est une fentepercée
dans uneplaque
infiniment mince z = o, si les deux
demi-plaques
sont à la même
tension,
etquels
que soient leschamps
Ei,
E2.
-Le nombre des termes dont se compose la
fonc-tion
g (z)
d’après (14)
rend le calcul un peulong;
nous montrerons ici le calcul
correspondant
auterme
ce terme devient
d’après
(19)
-- 1 w
On
peut
écrire ’Les fonctions dz sont
paires
en z en vertu des
symétries
admises parhypothèse;
leur combinaison donne une contribution nulledans
dx
en vertu de la structure(17)
de cette expres-sion.On
peut
ainsi substituer à(28’) 1*expression
Transformons ~03C8
par(19’)
etl’intégrale
dudèrnier
dx
terme comme suit :
La contribution de
l’expression (28)
dansdx
apparaît
Les
propriétés de 03A600
donnent. en
posant
d’où
l’expression
définitiveNous obtenons
ainsiCette
expression présente,
de même quedx.,
des termes non linéaires en xqui
conduiront à desaberrations
optiques;
rappelons
toutefois que sonimportance
sera souvent secondaire.Application
à unefente
pratiquée
dans uneplaque
infiniment
mince z = o(fig.
2).
- On sait[3]
qu’il
Fig. 2.
est commode d’utiliser les coordonnées
elliptiques 03BE,
~, définiespar ’
03BE
La loi du
potentiel
total est alorsd’où l’on tire aisément les diverses fonctions
suscep-tibles .
d’intervenir,
enparticulier
On
voit
que la fonctionq’
estsymétrique
en xet z, d’où u == o;
l’expression
de la fonctioncon-.
juguée 03C8
s’obtientcommodément,
non pas à l’aidedes relations
(19’),
mais àpartir
du faitqu’il s’agit
d’une loi de
potentiel particulière
dont leséqui-potentielles
sont normales à L.L’application
des relations telles que(25)
met ici enjeu
des calculssimples
surlesquelles
iln’y
apas lieu de s’arrêter. Notons la valeur de la tension vo
en fonction de V et E
d’après (31)
qu’on peut
réduire à vo= V dans les termes du 2e ordre. Il est commode de poser commeparamètre
c’est
là,
au exordre,
la valeur de ladéviation ôx
du rayon extrême
(x = b).
L’application
de(22’),
(25)
dohneles coefficients
D,, D3
ayant
après
calcul del’inté-grale
~
w d03C8
les valeurs suivantes :Considérons le rayon
extrême ;
ilprésente
uneaberra-tion
angulaire
totale1 - 1 A o
l’aberration du 3e
degré
en xdonne,
d’après (35),
et pour ce même rayon la contribution
On pourra
alors,
en tenantcompte
destrajectoires
paraboliques
depart
etd’autre,
calculer lalargeur
de la tache
d’aberration,
grandeur qu’il
y a lieu deconsidérer par
exemple
dans l’étude des sourcesd’ions
[4].
Prenons maintenant une fente de même
largeur
2 bet de même distance
focale,
c’est-à-dire de même4,
mais
percée
dans uneplaque
relativementépaisse;
l’aberration
d’ouverture
0 pourra devenir alorssensi-blement
plus faible;
lafonction q
(z)
définie en(24)
est,
eneffet,
plus
étirée lelong
de 0 z que pour uneplaque
infinimentmince,
cequi
conduit à desvaleurs
plus
faibles pour les coefficientsD3, D,,
....Il pourra d’ailleurs arriver alors que seul le terme du 3e
degré
D3x3
intervienne dans toute l’ouverture.Lentilles de révolution. - Elles forment le
bornerons à
envisager
des rayons situés dans desplans
méridiens,
cas réalisé si lepoint
objet
est surl’axe de révolution Oz. Dans ces
conditions,
leproblème
ne fait intervenir que les deux coordonnéescylindriques
(z, r)
et conduit à desdéveloppements
analogues
à ceux des lentilles à deux dimensions.Il est commode
d’envisager
ici lafonction x
définie par
d’où résultent les relations
La dernière relation met en évidence une
diffé-rence entre les
comportements
desfonctions 03C8
et x. On a ici en vertu de l’étude antérieure-
Le calcul de la
déviation
qu’on
notera ici0,.
faitintervenir
(18)
où l’onremplace
ifx par.’
L’on doit évaluerl’expression
dulaplacien
en
coordonnéescylin-. driques
--permet
d’écrire d’où - ~ et par suiteNous
envisagerons
ici les deux dernierstermes;
ce sont ceuxqui
mettent en évidence les aberra-tions :Un
potentiel
de révolutionprésente
undévelop-pement
de la formed’où
et l’on obtient aisément
ce
qui
conduit à des observationsdéjà
formulées dans le cas des lentilles à deux dimensions.Le
premier
termeprésente
de l’intérêt chez les lentilles de v constantpuisqu’il
enexprime
laconver-gence de Gauss
expression
connue[2].
Les autres termes fournissent les aberrations
des
divers
degrés
en r .ces coefficients sont tous
négatifs.
L’aberrationdu 3e
degré correspondant
àD;
a étéenvisagée
par Scherzer[5]
dans la recherche d’une lentille faibled’aberration minimum.
Nous obtenons ainsi. des résultats
analogues
àceux dés
lentilles
à deux dimensions. A l’étude dela fente indéfinie
correspond
ici celle du trou circu-laire dans uneplaque
mince et dont la loi depotentiel
estégalement
connue[6];
c’est là la lentille laplus
simple
et les formulesprécédentes
nous fourniraientle moyen d’étudier ses
propriétés
de focalisation’
dans toute son
ouverture;
onpeut
prévoir
qu’à
unedéviation à pour les rayons extrêmes
correspond
une aberration de l’ordre de
grandeur
auplus
de 02
[CI.
(36)].
On sait que les
pinceaux
étroits et de forteconver-gence de la
microscopie
électronique
sont fournis commodément par des lentilles à trois électrodes àchamps
extrêmes nuls. c’est-à-dire E = o ; de telleslentilles
s’appliqueraient
mal à desfaisceaux larges
de convergencefaible puisque
les aberrations sont du même ordre que la convergence[formules
(42),
(43)] ;
c’est à de tels faisceaux que
peut
doncs’appliquer
avec
avantage
lasimple
ouverture circulaire.Manuscrit reçu le 9 février I95 1.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] BERTEIN F. - J.
Physique Rad., I95I, 12, 595.
[2] C f . par exemple : ZWORYKIN, RAMBERG. 2014 Électron microscope.
[3] GRANIER J. - Introduction à l’étude des
champs physiques.
[4] BERTEIN F. - C. R. Acad.
Sc., I950, 231, I448. [5] SCHERZER O. 2014 Z. Physik, I936, 101, 23.
